精品解析：山东省菏泽市经济技术开发区2024-2025学年九年级数学上学期11月期中考试题

九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校､姓名､准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液､胶带纸､修正带不按以上要求作答的答案无效． 一､选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ） A B. C. D. 2. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（　　） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 3. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 4. 视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是 A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A B. 1 C. D. 2 6. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 8. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C D. 9. 下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为；⑤两个相似多边形的面积比为，则周长的比为．”中，正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图4-2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二､填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 12. 甲、乙两地的实际距离为，如果画在比例尺为的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是________cm． 13. 一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体（如图1），要得到一个几何体，使其从正面和左面看得到如图2，平台上至少还需再放____________个正方体． 14. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有________． 15. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 16. 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 三､解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解下列方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 18. 根据所给立体图形的三视图． （1）写出这个立体图形的名称：________； （2）求出这个立体图形的表面积． 19. 可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 20. 如图，中，，交于F． （1）求证：； （2）求与周长之比； （3）如果的面积为，求的面积． 21. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当为何值时，小明和小刚获胜概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值． 22. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 23. 中，点O是上一动点，过点O作直线，若交的平分线于点E，交的平分线于点F，连接、． （1）、的数量关系：________． （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形，证明你的结论． （3）在（2）条件下，当满足________时，四边形为正方形． 24. M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C’PB’，当射线PC’经过点D时，射线PB’与BC交于点N． （1）依题意补全图形； （2）求证：△BPN∽△CPD； （3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校､姓名､准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液､胶带纸､修正带不按以上要求作答的答案无效． 一､选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 2. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（　　） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分． 【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分． 故选A． 【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角． 3. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是 A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 【答案】D 【解析】 【分析】开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A． 【详解】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换， 故选D． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 6. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是根据题设条件推出四边形是菱形． 设两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形ABCD是平行四边形，再由，进而得到四边形是菱形，然后再根据菱形的相关性质来判断各选项即可． 【详解】设两张等宽的纸条的宽为h，交叠放在一起，则有 ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴四边形是菱形． ∴，． 故选项A、C、D均成立． 不一定成立，只有两张纸条垂直叠放时，,四边形变成正方形才成立． 故选：B． 7. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的含义，取出再放回型概率问题，列表或画树状图求概率，是解决本题的关键． 画出树状图，得到等可能结果总数，两次都给弟弟洗的结果数，代入概率计算公式解答即可． 【详解】画树状图： 由树状图可知，共有4种等可能结果，两次都给弟弟洗（设为事件A）的结果有1种， ∴两次都给弟弟洗的概率为，， 即此事件发生的概率 故选：A． 8. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为， 由题意得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键． 9. 下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为；⑤两个相似多边形的面积比为，则周长的比为．”中，正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义和各图形的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①正方形四个角都是直角，四条边都相等，所以对应成比例，所以都相似，正确； ②等腰三角形的两底角相等，而与另一个等腰三角形的两个底角不一定相等，所以不一定相似，本选项错误； ③等腰直角三角形都有一个直角，且另两角都是45°的锐角，所以都相似，正确； ④直角三角形斜边上的中线与斜边的一半，所以比为1：2，正确； ⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比应为2：3，本选项错误． 所以①③④三项正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查相似图形的判定和相似三角形的性质，比较简单． 10. 如图，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图4-2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到中点时，，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意和图象可得： 当时，， 当点运动到点时， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当点运动到中点时，， 故选：C． 二､填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【详解】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 甲、乙两地的实际距离为，如果画在比例尺为的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键． 13. 一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体（如图1），要得到一个几何体，使其从正面和左面看得到如图2，平台上至少还需再放____________个正方体． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案． 【详解】解：由题意画出草图，如图， ∴平台上至少还需再放2个正方体， 故答案为：2． 14. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案：． 15. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 16. 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 三､解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解下列方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵ ， ∴ 18. 根据所给立体图形的三视图． （1）写出这个立体图形的名称：________； （2）求出这个立体图形的表面积． 【答案】（1）圆锥 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【小问1详解】 解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. 【小问2详解】 解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 19. 可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 【答案】（1）方程另一个根在2和3之间；（2）-3<c<0. 【解析】 【分析】（1）分别计算出x=2和x=3时x2+2x-10的值即可得出答案； （2）根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知或，解之可得． 【详解】（1）∵当x=2时，= -2 <0， 当x=3时，= 5 >0， ∴方程另一个根在2和3之间． （2）∵方程有一个根在0和1之间， ∴或 解得． 【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法． 20. 如图，中，，交于F． （1）求证：； （2）求与周长之比； （3）如果的面积为，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）与周长之比为； （3）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）运用相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可解决问题； （3）运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴与周长之比为； 【小问3详解】 解：∵， ∵的面积为 ∴的面积为． 21. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值． 【答案】（1）见详解；（2）m=-1 【解析】 【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解； （2）取一个符合条件的m的值，即可． 【详解】解：（1）画树状图如下： ∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能， ∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=； （2）当m=-1时，画树状图如下： 此时，小明和小刚获胜的概率相同． 【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键． 22. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【答案】4cm 【解析】 【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264． 整理，得 x2 -25x + 84=0． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 23. 中，点O是上一动点，过点O作直线，若交的平分线于点E，交的平分线于点F，连接、． （1）、的数量关系：________． （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形，证明你的结论． （3）在（2）的条件下，当满足________时，四边形为正方形． 【答案】（1），理由见解析； （2）当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析； （3）为直角的直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由已知分别平分和可推出所以得； （2）由（1）得出的点运动到的中点时，则由所以这时四边形是矩形． （3）由已知和（2）得到的结论，点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，则推出四边形是矩形且对角线垂直，所以四边形是正方形． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵当点运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形， ∵由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形， ∵ 当则， ∴四边形是正方形， 故答案为：为直角的直角三角形． 【点睛】此题考查了是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24. M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C’PB’，当射线PC’经过点D时，射线PB’与BC交于点N． （1）依题意补全图形； （2）求证：△BPN∽△CPD； （3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BM=BN． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）由旋转性质知∠BPN=∠CPD，再由∠PCD+∠BCP=∠PBN+∠BCP=90°知∠PCD=∠PBN，从而得证； （3）先证△MPB∽△BPC得，再由△PBN∽△PCD知，从而得，根据BC=CD可得答案． 【详解】（1）补全图形如图所示； （2）证明：由旋转可得∠BPN=∠CPD． ∵四边形ABCD正方形， ∴∠BCD=90°． ∴∠PCD+∠BCP=90°． ∵BP⊥MC， ∴∠CPB=90°． ∴∠PBC+∠PCB=90°． ∴∠PBC=∠PCD． ∴△PBN∽△PCD． （3）BM=BN． 证明：∵BP⊥CM，∠MBC=90°， ∴∠MBP=∠MCB． ∴△MPB∽△BPC． ∴． 由（2）可知△PBN∽△PCD． ∴． ∴． ∵BC=CD， ∴BM=BN． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$