精品解析：云南省昆明市第十中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

昆十中教育集团2025-2026学年上学期期中学业质量监测联考 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，用时120分钟） 注意事项：本卷为试题卷．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，，交点为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是（　　） A. 80° B. 120° C. 130° D. 140° 9. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为（　　） A. 3 B. 15 C. 9 D. 3+3 11. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 15. 二次函数的图象如图所示．下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点与关于原点对称，则________． 17. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗. 18. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 19. 如图，四边形是的内接四边形，对角线过点，若，则的度数为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围___________； （3）结合图象，直接写出满足的的取值范围___________． 23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水筒的最大深度为1米（即米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的6米变为8米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 24. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，有关数据记录如下表． （元） 20 30 （千克） 300 280 （1）求与的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为元，求的最大值． 26. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）___________． （2）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，则的最大值为___________． （3）若、是抛物线上两点，且，当时，求的值． 27. 如图1，的直径为10，为上一点，连接，且，点为边上的动点，且点不与点重合，过点作于点，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数． （2）若平分，求四边形的面积． （3）如图2，连接，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆十中教育集团2025-2026学年上学期期中学业质量监测联考 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，用时120分钟） 注意事项：本卷为试题卷．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 2. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线经过平移得到，平移方法是：向左平移1个单位，再向下平移2个单位． 故选择：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 3. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 5. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数． 【详解】解：∵AB＝OB，OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝∠AOB＝30°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，，交点为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出相等的角，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即的值为， 故选：A． 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是（　　） A. 80° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠A，再利用圆内接四边形性质得出∠BCD＋∠A＝180°，即可求出∠BCD的度数． 【详解】解：∵∠BOD＝80°， ∴∠A＝∠BOD＝40°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＋∠A＝180°， ∴∠BCD＝140°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解答此题的关键． 9. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则，即 ∴x=8 故选C． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为（　　） A. 3 B. 15 C. 9 D. 3+3 【答案】B 【解析】 【分析】先确定△ADC与△ACB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AB的长． 【详解】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A ∴△ADC∽△ACB ∴AD：AC=AC：AB ∵AD=3，AC=3 ∴AB=15 故选B． 【点睛】此题考查学生对相似三角形的性质的理解及运用，解题关键是由相似三角形的性质得出比例式．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序． 11. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 12. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 14. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 15. 二次函数的图象如图所示．下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，观察图象可得，，，，可得，可判断；由，可得；即时y的值；因二次函数与x轴有两个交点，故；根据函数图象即可判断⑤． 【详解】解：观察图象可得，，，， ∴， ∴， 故①符合题意， ∵， ∴， 故②符合题意， 将代入二次函数中，得， 故③符合题意， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，即， 故④符合题意， 由图可知，当x的值接近3时，，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点与关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标求得m、n的值，然后再计算即可；掌握关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为． 17. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗. 【答案】14 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得n=14． 经检验n=14是原方程的解 故估计盒子中黑珠子大约有14个． 故答案为：14． 18. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 19. 如图，四边形是的内接四边形，对角线过点，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，，根据角的和差求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ＋， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的混合运算，先计算零指数幂、代入特殊角的三角函数值、计算绝对值、负整数指数幂，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 21. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 【答案】（1）6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P为 【解析】 【详解】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）画树状图得： 由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）； （2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果， ∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P=. 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围___________； （3）结合图象，直接写出满足的的取值范围___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式． （1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值即可； （2）分别求出、、对应的，再结合函数图象即可得的取值范围； （3）根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，不等式表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的下方（含交点），再根据点A，B的坐标，结合函数图象求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴点C坐标，对称轴， ∵B、C关于对称轴对称， ∴点B坐标， 由图象可知，满足的x的取值范围为． 故答案为：． 23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水筒的最大深度为1米（即米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的6米变为8米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面上涨的高度为1米 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得米，设圆的半径为米，则米，米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点，根据垂径定理得米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可知，米，米， ，且经过圆心，米， 米， 设圆的半径为米，则米，米， 在中， ，即， 解得， 即该圆的半径为5米； 【小问2详解】 解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点， ，且经过圆心， 米， 连接，在中，米，米， 米， （米）， 即水面上涨的高度为1米． 24. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）根据，即可得出结论； （2）设，，根据△和△相似得，将，，代入比例式整理得，由此解出即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 25. 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，有关数据记录如下表． （元） 20 30 （千克） 300 280 （1）求与的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为元，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围即可解答本题． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为 根据题意，得：， 解得：， 与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由已知得： ， 当时，随的增大而增大， ∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元， ∴， 当时，最大，最大值为元． 26. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）___________． （2）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，则的最大值为___________． （3）若、是抛物线上两点，且，当时，求的值． 【答案】（1）6 （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，易得要使最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可； （3）抛物线的对称轴为直线，根据得点、关于对称，则，，代入中化简即可得解． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间且时，，为直线与抛物线的交点横坐标， 要使最大，则经过顶点，，为与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称， 又直线之间的距离为16，为定值， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点， 即：时，最大，此时另一条直线的解析式为， 如图： 当时， 解得：， 即：， 的最大值为：， 故答案为：8； 【小问3详解】 解：由（1）知：， 对称轴为直线， ， 点、关于对称， ，即， ， ． 27. 如图1，的直径为10，为上一点，连接，且，点为边上的动点，且点不与点重合，过点作于点，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数． （2）若平分，求四边形的面积． （3）如图2，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用“直径所对圆周角是直角”进行解答即可； （2）先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，可求出；再运用勾股定理求出，，根据可得结论； （3）通过证明得出点是以点为圆心，为半径的圆上，分别证明，得和，运用相似三角形的性质得，得出．设，得，运用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：是的直径， ； 【小问2详解】 为的直径， ， ∵平分， ∴， ， 是等腰直角三角形， 设 ，解得 ， ， ； 在中，， 设， ，解得 ， ∴ ， ； 【小问3详解】 解：， ， 和都是以为斜边的直角三角形，作中点为，连接 ， 故点是以点为圆心，为半径的圆上， ， ， 又在中， ， ， ； ， ， ，即； ． 在中，， 设， 则， 当点E与点D重合时最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． ，开口向下，有最大值，且， 当时，； 【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质等知识，证明点四点共圆是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $