精品解析：广东省东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年高二上学期港澳台班期中考试数学试卷

东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高二数学（港澳台联考） 考试时间120分钟，试卷满分150分 一、单选题：本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】由，得的斜率为． 故选：A 2. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 3. 已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线的方程化为一般式，利用平行的条件求得，进而利用两平行线间的距离为公式求解即可. 【详解】直线的方程化为一般式为， 又因为， ，所以，解得， 所以的方程为，即， 所以与间的距离为. 故选：C. 4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 5. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面、线线位置关系的向量表示求解判断． 【详解】对A，若，则，，A错； 对B，若，则，，B错； 对C，若，则，，C正确； 对D，若，则，即，此时，或， 故不成立，D错． 故选：C． 6. 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】讨论直线截距是否为0，应用待定系数法或直接法求直线. 【详解】若所求截距不为，设直线为，则，故所求直线为， 若所求直线过原点和，所以直线方程为. 故选：C 7. 已知圆与圆外切，则（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆外切建立方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 8. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 9. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【详解】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 10. 已知，和圆，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得以为直径的圆的圆心和半径，根据圆与圆有公共点列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由于圆C上存在点P，满足，故以为直径的圆与圆有公共点，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，而，所以，解得. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，关键点是利用圆和圆的位置关系求出r的范围，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 二、填空题 11. 两条直线与的交点到直线的距离为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的交点坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】由，解得，则直线交于点， 所以点到直线的距离. 故答案为： 12. 设分别是平面的法向量，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，所以，所以，解得， 故答案为： 【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题. 13. 若多项式被除后的余式为，而被除后的余式是，则被除后的余式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，再利用赋值法，令与代入计算即可得. 【详解】由被除后的余式为，则可设， 由被除后的余式为，则可设， 设被除后的余式为， 则令可得，令，可得， ，解得，故， 即被除后的余式是. 故答案为：. 14. 若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，由被除之余式为，则代入可得，从而可化简，即可得解. 【详解】由被除之余式为，被除之余式为， 则可设， 且有，故， 则， 故被除所得余式为. 故答案为：. 15. 已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 三、解答题 16. 已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得到，结合模长公式求得即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，因为，则设， 故，则， 则，即或. 【小问2详解】 ， ， ， 得，即， 则或. 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，然后联立直线的方程组，求出解即可得到点的坐标. （2）先求出点的坐标，然后求出直线的方程，即可求出截距. 【小问1详解】 由题意可得边上的高线所在的直线方程为， 设直线的方程为， 将代入可得：，即， 所以直线的方程为：， 由题意可得为直线与的交点，即， 解得， 即. 【小问2详解】 设，则的中点， 则， 解得，即， 可得， 所以直线的方程为：， 令，得 所以直线在轴上的截距为． 18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明： ，M是的中点.，， 平面平面， 平面平面，平面， 平面，平面， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，是正三角形， 两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设是平面BCE的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面ABE垂直，是平面ABE的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故 二面角的余弦值为 【小问3详解】 假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线与平面所成的角为， ， 由，解得， 线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，且 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 所以离心率. 【小问2详解】 如图： 设，， 由直线l与椭圆C交于异于P的两点、，得， 由，得，则， ，即， 整理得，而，于是， 此时直线，过定点，所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高二数学（港澳台联考） 考试时间120分钟，试卷满分150分 一、单选题：本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知圆与圆外切，则（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 8. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 9. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 10. 已知，和圆，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 两条直线与的交点到直线的距离为___________ 12. 设分别是平面的法向量，若，则实数的值为__________. 13. 若多项式被除后的余式为，而被除后的余式是，则被除后的余式是_________. 14. 若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 15. 已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是_______________． 三、解答题 16. 已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $