精品解析：河南省周口市川汇区2025--2026学年上学期九年级11月期中数学试卷

2025-2026学年度上期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1、本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，方程解是（ ） A. B. 1， C. ，2 D. 2. 若将一元二次方程配方得到，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A. B. C. D. 4. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 5. 由抛物线方程与轴交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8. 端午节又称端阳节，是中华民族重要传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，射线交于点则等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，其与轴交于点、点，下列4个结论：①；②；③有两个不相等的实数根；④若是抛物线上两点，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是___________． 12. 已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为___________． 13. 烟花厂为国庆节特别设计制作了一种新型礼花，这种礼花的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼花在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___________s． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 15. 如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根． （1）求实数的取值范围； （2）在（1）问取值范围内，选取一个合适的正整数，若方程的两个实数根分别为和，求的值． 18. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 0 ．．． （1）表中___________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像； （3）当时，，则___________． 19. 在社区公园项目中，计划建造一个正方形的沙坑供儿童玩耍．沙坑无盖，深度为1米，底部使用防渗膜，造价为每平方米100元，侧壁使用防腐木板，造价为每平方米50元，已知沙坑的总造价为1500元，求该沙坑底部的边长． 20. 如图1，在中，，，和关于直线对称，和关于直线对称． （1）图1中哪两个三角形旋转后可以重叠在一起？说明旋转过程； （2）如图2，当，时，求的长． 21. 便利店销售一种自制手工饼干．已知该便利店每天经营这种饼干的固定成本为120元．饼干每天售出的数量（单位：盒）与售价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系（是整数），部分数据如下表所示： 饼干售价（元/盒） 8 14 售出饼干数量（盒） 36 18 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该便利店每天销售这种饼干的利润（利润销售收入-固定成本）为（单位：元），该便利店将饼干售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22. 某俱乐部采用发球机训练发球，如图1，乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．发球机出球口在桌面中线端点正上方的点．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度（）关于运动的水平距离的（）函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系（乒乓球看作为点）． （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）保持发球角度、速度不变情况下，发球机高度向上调整，从点上方点射出，记为（向下调整记为负），若发出的乒乓球能越过球网，并且不飞出底线，求的取值范围（发球探网、擦边均视为发球无效）． 23. 在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． （1）如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； （3）如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1、本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，方程的解是（ ） A. B. 1， C. ，2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 将方程移项化为标准二次方程，然后通过因式求解求解即可． 【详解】解： 解得或， 故选C． 2. 若将一元二次方程配方得到，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为的形式，比较系数得出的值． 【详解】解：， ， ， ， 得， 即． 故选：B． 3. 直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，点的坐标平移规律，利用数形结合思想解题是本题的解题关键． 根据图象平移规律（左加右减，上加下减）求出平移后的解析式，再求出顶点坐标． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位， 平移后的解析式为， 其顶点坐标为． 故选：D． 4. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 5. 由抛物线方程与轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意把求抛物线与x的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 抛物线与x轴的交点坐标由方程求得，即解．判断哪个选项与该方程等价． 【详解】解：抛物线与x轴的交点对应方程，即， ∴可以求出方的近似解． 故选：A． 6. 如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的全等性质，垂直定义，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又绕着点按顺时针方向旋转，， 故，， 故， 故选：C． 7. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 8. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，射线交于点则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，掌握矩形和旋转的性质是解决本题的关键． 由题意可证是等腰直角三角形，再根据旋转和矩形的性质证明是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选A． 10. 二次函数的图象如图所示，其与轴交于点、点，下列4个结论：①；②；③有两个不相等的实数根；④若是抛物线上两点，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 结合图象及性质依次进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，对称轴， ， ， ①是错误的，不符合题意； 设点的横坐标为，由对称轴可知， ， 由图象可知，即， 解得， ②是正确的，符合题意； 令，由图象可知， 二次函数的图象与的交点有两个， 有两个不相等的实数根， ③是正确的，符合题意； 是抛物线上两点，且， ， 函数的对称轴是直线， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ， ④是正确的，符合题意； 正确的是②③④，个数有3个． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件． 将方程化为一般形式后，即可求出一次项系数． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， 其中一次项系数为． 故答案为． 12. 已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为___________． 【答案】0或4 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法，设，将方程转化为，利用已知根和是原方程的根，得到的值，进而求解． 【详解】解：设，则方化为， ∵和3是关于的一元二次方程的两根， ∴和是方程的根， ∴或． 当时，，解得； 当时，，解得； 故方程的根为，． 故答案为：0或4． 13. 烟花厂为国庆节特别设计制作了一种新型礼花，这种礼花的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼花在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___________s． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先将二次函数化为顶点式，然后求出结果即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，函数有最大值， 故从点火升空到引爆需要的时间为． 故答案为：3． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 15. 如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到点的运动轨迹．再由全等三角形的性质以及菱形的性质得到是等腰三角形，用等腰三角形的性质证明，得到线段最小值就是的长度．最后用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 由题意得，，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 直线为定直线， 线段的最小值为点到直线的距离． 如图，连接，作， 菱形的边长为2，且， ，． 又， ． ， ， 是等腰三角形， ，， ，， 线段的最小值就是的长度． 在中， ， ， 线段的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，含30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 由此可得， ； 【小问2详解】 解：． 方程化为， ， ， ， 即． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根． （1）求实数的取值范围； （2）在（1）问取值范围内，选取一个合适的正整数，若方程的两个实数根分别为和，求的值． 【答案】（1） （2）取时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，选取正整数． 原方程可化为 ∵方程的两个实数根分别为和， ∴， ． 18. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 0 ．．． （1）表中___________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像； （3）当时，，则___________． 【答案】（1）5 （2）见解析 （3）或1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、图象绘制及函数值的取值范围，解题的关键是利用二次函数的轴对称性确定函数值，结合图像分析取值范围． （1）利用二次函数的轴对称性，确定对应的对称点的函数值得到； （2）根据表格对应值描点后用平滑曲线连接； （3）结合函数值的范围，确定长度为1的区间，进而得的值． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 因为与时的点关于直线对称，且时， 故． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据表格中与的对应值描点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的图像． 小问3详解】 解：由表格知，时或，时或； 要使时，观察图象可得， 当时，内，从到，符合条件； 当时，在内，从到，符合条件． 故答案为：或． 19. 在社区公园项目中，计划建造一个正方形的沙坑供儿童玩耍．沙坑无盖，深度为1米，底部使用防渗膜，造价为每平方米100元，侧壁使用防腐木板，造价为每平方米50元，已知沙坑的总造价为1500元，求该沙坑底部的边长． 【答案】3米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设沙坑底部的边长为米，分别计算池底与池壁的面积，再乘以造价，列出一元二次方程，再由因式分解法解题即可． 【详解】解：设沙坑底部的边长为米， 依题意，得， 解方程，得， ， （不合题意，舍去），． 答：沙坑底部的边长3米． 20. 如图1，在中，，，和关于直线对称，和关于直线对称． （1）图1中哪两个三角形旋转后可以重叠在一起？说明旋转过程； （2）如图2，当，时，求长． 【答案】（1）与，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和旋转对称的性质，勾股定理，理解对轴对称和旋转对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称性质及旋转的定义即可求解； （2）根据轴对称和旋转的性质可得，在根据勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 解：和，理由如下： 根据轴对称性质，得到，， ， 绕点顺时针旋转可以得到． 【小问2详解】 由轴对称可知， ， 三点在一条直线上． 在中． 21. 便利店销售一种自制手工饼干．已知该便利店每天经营这种饼干的固定成本为120元．饼干每天售出的数量（单位：盒）与售价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系（是整数），部分数据如下表所示： 饼干售价（元/盒） 8 14 售出饼干数量（盒） 36 18 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该便利店每天销售这种饼干的利润（利润销售收入-固定成本）为（单位：元），该便利店将饼干售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）饼干售价10元时每天获利最大，最大利润180元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设与之间的函数关系式，利用待定系数法即可求解； （2）根据利润销售收入-固定成本可以求出与之间的函数解析式，把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式． 时；时， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 时，． 饼干售价为10元时每天获利最大，最大利润180元． 22. 某俱乐部采用发球机训练发球，如图1，乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度（）关于运动的水平距离的（）函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系（乒乓球看作为点）． （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）保持发球角度、速度不变情况下，发球机高度向上调整，从点上方点射出，记为（向下调整记为负），若发出的乒乓球能越过球网，并且不飞出底线，求的取值范围（发球探网、擦边均视为发球无效）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得乒乓球运动轨迹函数表达式：，再根据时，，时，，即可求解 ． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式． 代入点，得， ， 即． 【小问2详解】 解：设调整高度后出球口点坐标． 乒乓球运动轨迹函数表达式：， 由题意可知：当时，， 得， 解得：； 当时，， 得， 解得：， ． 23. 在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． （1）如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； （3）如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）不成立，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． 【小问3详解】 不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $