第01讲 实数及其运算（复习讲义，5考点5题型2重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦实数模块，覆盖中考必考的实数运算、无理数估值、科学记数法等核心考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-分层练习”六环节设计，构建“真题导向-知识梳理-方法提炼-能力提升”的复习体系，帮助学生系统突破运算顺序、估值逻辑等难点。 亮点在于考情数据支撑与分层突破策略，如结合近三年天津中考T1/T3/T5固定考点，设计“非负性应用”“数轴与实数结合”等专题，通过2025年真题“科学记数法表示806700”典例训练，培养学生运算能力与符号意识。分层练习覆盖基础到新趋势，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试效率。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 实数的运算 题型01实数的运算 命题点二 实数相关概念及性质 题型01无理数的识别 题型02实数的性质 命题点三 科学记数法 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 05·重难突破·思维进阶 12 06·优题精选·练能提分 13 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的运算 T1 T1 T1 能进行含二次根式、绝对值、幂的实数混合运算；掌握运算顺序与运算律. 无理数的估值 T3 T3 T2 能估算无理数的大致范围，确定其所在的整数区间. 科学记数法 T5 T5 T5 会用科学记数法表示大数、小数. 命题预测 2026 年天津中考实数模块命题将延续 “题型以选择、计算为主，考点聚焦无理数的估值、科学记数法（结合实际问题）、实数混合运算（整合绝对值、二次根式、特殊角三角函数、零 / 负指数幂）” 的特点，注重实际应用关联与运算过程的准确性。 备考建议 备考实数模块时，可围绕核心考点针对性练习：日常通过数轴题强化实数对应、式子正负及绝对值的几何意义理解；结合实际数据练习大数、小数的科学记数法表示，熟悉规范形式；每周集中训练含绝对值、二次根式、特殊角三角函数值、零 / 负指数幂的混合运算，标注步骤避免符号与漏项错误，同时熟记零 / 负指数幂规则、特殊角三角函数值，确保基础题全对。 考点一 实数的运算 1.四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值①___________ 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为②________； 绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值③___________较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的④__________. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把⑤___________相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的⑥___________； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 2.几种常见的运算 3.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 4.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 5.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α ⑦ ⑧ ⑨ cos α ⑩ ⑾ ⑿ tan α ⒀ ⒁ ⒂ 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 考点二 实数的相关概念及性质 1.实数的分类： 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 1.实数的相关概念及性质 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是①_____________对应的. 相反数 只有②_____________的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=③_____________ 2）0的相反数是④_____________ 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离⑤_____________且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是⑥_____________； 2）若ab=⑦_____________a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为⑧_____________； 2.用正、负数表示相反意义的量 用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 1．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 3．（2025·天津河东·二模）若整数a满足，则a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点三 科学记数法 定义：把一个数A表示成①_____________的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点②_____________的位数 a=④_____________， n=⑤_____________ 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点⑥_____________的位数 a=⑧_____________， n=⑨_____________ 【温馨提示】对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 1．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 3．（2025天津西青一模）自从电子扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”．已知，一根头发丝的直径约为，则一根头发丝的直径约为（    ） A． B． C． D． 考点四 算术平方根，平方根，立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 正数有一个①_______的算术平方根； 0的算术平方根是②_______； 负数没有算术平方根. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根，它们互为③_______；0的平方根是④_______；负数没有平方根 立方根 如果，则x叫做a的立方根，记作 正数的立方根是一个⑤_______，0的立方根是⑥_______，负数的立方根是一个⑦_______ 1．（2025·天津市模拟）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．7和8之间 D．9和10之间 3．（2025·天津南开·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 考点五 实数的比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，左边的数①_______右边的数. 类别比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而②_______. 差值比较法 设a，b是两实数，若 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则ab；若，则 A⑥_______b. 求商比较法 设a，b是两正实数，若 估算法 设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈⑨_______，≈⑩_______，≈⑾_______； 1．（2025·天津武清·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 2．（2025天津河东区模拟）比较大小 （填“”，“”或“”） 3．（2025·天津·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 命题点一 实数的运算 ►题型01实数的运算 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）有理数的减法，对于小数减大数的运算不能像小学阶段学习的那样直接减，而是要把它转化为加法，借助加法进行计算，其关键是要正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算. 4）几个不为0的数相乘，先确定积的符号，然后把绝对值相乘.积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 5）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【典例1】（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式1-1】（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】（2025·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A．75 B．10 C． D． 【变式1-3】（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 命题点二 实数的相关概念及其性质 ►题型01 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-1】（2025·天津·一模）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-2】（2025·天津南开·二模）已知为两个连续的正整数，且，则的值是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式2-3】（2025·天津南开·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 题型02 实数的性质 【典例3】（2025天津市模拟）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【变式3-1】（2025·河东区·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【变式3-2】（2025·津南区·一模）的相反数是 ； ． 【变式3-3】（2025·南开区·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 命题点三 科学记数法 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 / 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 【典例4】（2025·天津河西·二模）河西区是天津市中心城区之一，因地处海河西岸而得名．据统计，2024年初河西区的常住人口约为806700人．将数据806700用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·天津河东·二模）2025年4月24日17时17分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号F遥二十运载火箭搭载神舟二十号载人飞船点火升空！此次随神二十乘组一起出征的，有一位特殊的“迷你航天员”——拥有500000000年进化智慧的东亚三角涡虫，将500000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·天津滨海新·二模）2025年4月30日，《天津日报》在“在新征程上建功立业  创新创造”文章中提到，我国接受高等教育的人口达到2.5亿；技能人才总量超过200000000，将数据200000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例5】（2025天津市模拟）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·东丽区模拟预测）气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是 ． 【变式5-2】（2025·天津市·模拟预测）2024年7月，我国科研人员在嫦娥五号带回的月球样本中，发现了月球上一种富含水分子和铵的未知矿物晶体——．我们知道水分子由氢、氧原子构成，一个氧原子的直径为0.000 000 000 148米，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为 ． 突破一 非负性的应用 【典例1】（2025·东丽区·二模）已知实数x、y、z满足，则的值是 ． 【变式1-1】（2025·武清区·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1-2】（2025·天津市·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 突破二 实数与数轴相结合的应用 【典例2】（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式2-1】（2025·河北区·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【变式2-2】（2025·天津市·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 1．（2025天津市模拟预测）温度由上升后是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B．2 C．8 D．8 3．（2025·天津红桥·三模）将数据2680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）若a＝3，|b|＝6，则a﹣b的值（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣9 D．﹣3或9 5．（2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 6．（2025西青区模拟）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（2025·滨海新区模拟）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 1．（2025天津市模拟）已知，，求的值为 ． 2．（2025·武清区模拟）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 3．（2025·天津市·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 2．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以，则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为，所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即，得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一实数的运算 题型01实数的运算 命题点二 实数相关概念及性质 题型01无理数的识别 题型02实数的性质 命题点三 科学记数法 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 非负性的应用 突破二 实数与数轴相结合的应用 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的运算 T1 T1 T1 能进行含二次根式、绝对值、幂的实数混合运算；掌握运算顺序与运算律. 无理数的估值 T3 T3 T2 能估算无理数的大致范围，确定其所在的整数区间. 科学记数法 T5 T5 T5 会用科学记数法表示大数、小数. 命题预测 2026 年天津中考实数模块命题将延续 “题型以选择、计算为主，考点聚焦无理数的估值、科学记数法（结合实际问题）、实数混合运算（整合绝对值、二次根式、特殊角三角函数、零 / 负指数幂）” 的特点，注重实际应用关联与运算过程的准确性。 备考建议 备考实数模块时，可围绕核心考点针对性练习：日常通过数轴题强化实数对应、式子正负及绝对值的几何意义理解；结合实际数据练习大数、小数的科学记数法表示，熟悉规范形式；每周集中训练含绝对值、二次根式、特殊角三角函数值、零 / 负指数幂的混合运算，标注步骤避免符号与漏项错误，同时熟记零 / 负指数幂规则、特殊角三角函数值，确保基础题全对。 考点一 实数的运算 1.四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 2.几种常见的运算 3.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 4.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 5.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键． 3．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键； 根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可； 【详解】 解：原式 ， 故答案为：D． 考点二 实数的相关概念及性质 1.实数的分类： 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 3.实数的相关概念及性质 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=0 2）0的相反数是0 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）若ab=1a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为负倒数； 4.用正、负数表示相反意义的量 用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 1．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 2．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示点落在第③段， 故选；C． 3．（2025·天津河东·二模）若整数a满足，则a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵，， ． 故选：C． 考点三 科学记数法 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=-6 【温馨提示】对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 1．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示应为． 故选：B． 2．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【答案】C 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原；指数为正整数，只要把用科学记数法表示的数中的小数点向右移9位即可得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 3．（2025天津西青一模）自从电子扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”．已知，一根头发丝的直径约为，则一根头发丝的直径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用科学记数法表示出0.000000001=1×10-9，再代入用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂相乘，科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 考点四 算术平方根，平方根，立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 立方根 如果，则x叫做a的立方根，记作 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 1．（2025·天津市模拟）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 2．（2025·天津和平·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．7和8之间 D．9和10之间 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的估算，掌握常见整数的立方值是解题的关键． 因为，，所以的值在4和5之间，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 的值在4和5之间， 故选：A． 3．（2025·天津南开·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了立方根，平方根及算术平方根．根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，的立方根为， 则的立方根为． 故答案为：；． 考点五 实数的比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，左边的数小于右边的数. 类别比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 差值比较法 设a，b是两实数，若 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则a＞b；若，则a＜b. 求商比较法 设a，b是两正实数，若 估算法 设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236； 1．（2025·天津武清·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 2．（2025天津河东区模拟）比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 3．（2025·天津·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，结合题意，举出例子进行分析，即可作答． 【详解】解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 命题点一 实数的运算 ►题型01实数的运算 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）有理数的减法，对于小数减大数的运算不能像小学阶段学习的那样直接减，而是要把它转化为加法，借助加法进行计算，其关键是要正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算. 4）几个不为0的数相乘，先确定积的符号，然后把绝对值相乘.积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 5）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【典例1】（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式1-1】（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-2】（2025·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A．75 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，按照计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1-3】（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 命题点二 实数的相关概念及其性质 ►题型01 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 【变式2-1】（2025·天津·一模）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数，解题的关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 先由，即，然后通过即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（2025·天津南开·二模）已知为两个连续的正整数，且，则的值是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．估算出即可求得，的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：D 【变式2-3】（2025·天津南开·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键． 首先计算得，结合，即可获得结果． 【详解】解：， 又∵，即， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 题型02 实数的性质 【典例3】（2025天津市模拟）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义，是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解： ∵的倒数为 ， ∴ 故选：B. 【变式3-1】（2025·河东区·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数等基础知识，由数轴可得四点表示的数，这些数中找出互为相反数的两个数即可． 【详解】解：数轴上A、B、C、D四个点表示的数分别为，而2与互为相反数， 即点B与点D表示的数互为相反数， 故选：D． 【变式3-2】（2025·津南区·一模）的相反数是 ； ． 【答案】 【详解】解：的相反数为； ． 故答案为：，1 【变式3-3】（2025·南开区·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，有理数的加法，注意绝对值方程的解有两个． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的可能值，再分别计算． 【详解】∵ x的相反数是2， ∴． ∵， ∴或． 当 时，； 当 时，． ∴ 的值为 1 或 -5． 故选C． 命题点三 科学记数法 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 / 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 【典例4】（2025·天津河西·二模）河西区是天津市中心城区之一，因地处海河西岸而得名．据统计，2024年初河西区的常住人口约为806700人．将数据806700用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数位数减1，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4-1】（2025·天津河东·二模）2025年4月24日17时17分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号F遥二十运载火箭搭载神舟二十号载人飞船点火升空！此次随神二十乘组一起出征的，有一位特殊的“迷你航天员”——拥有500000000年进化智慧的东亚三角涡虫，将500000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 【变式4-2】（2025·天津滨海新·二模）2025年4月30日，《天津日报》在“在新征程上建功立业  创新创造”文章中提到，我国接受高等教育的人口达到2.5亿；技能人才总量超过200000000，将数据200000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键． 【详解】解：； 故选D． ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例5】（2025天津市模拟）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法—表示较小的数，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 按照科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：． 【变式5-1】（2025·东丽区模拟预测）气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将数据0.00002232用科学记数法表示是． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·天津市·模拟预测）2024年7月，我国科研人员在嫦娥五号带回的月球样本中，发现了月球上一种富含水分子和铵的未知矿物晶体——．我们知道水分子由氢、氧原子构成，一个氧原子的直径为0.000 000 000 148米，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 突破一 非负性的应用 【典例1】（2025·东丽区·二模）已知实数x、y、z满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 则，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（2025·武清区·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·天津市·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 突破二 实数与数轴相结合的应用 【典例2】（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算的取值范围，进而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选A． 【变式2-1】（2025·河北区·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·天津市·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 1．（2025天津市模拟预测）温度由上升后是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据用上升的温度减去原来的温度列出式子，求出最后的结果即可． 【详解】解：（）， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握加法法则是关键． 2．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B．2 C．8 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．先算乘方，再算除法即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．（2025·天津红桥·三模）将数据2680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 4．（2025·天津·模拟预测）若a＝3，|b|＝6，则a﹣b的值（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣9 D．﹣3或9 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义求出b的值，再求a-b的值． 【详解】∵|b|＝6， ∴b＝±6， ∴a﹣b＝3﹣6或3﹣（﹣6）， 即a﹣b＝﹣3或9， 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质．根据已知条件求b的值是解题的关键，同时考查了分类讨论的思想． 5．（2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值，二次根式的加减运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值及二次根式的加减运算即可解答． 【详解】解：． ∴ 故选：B． 6．（2025西青区模拟）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】估算出无理数的大小，进而可以求解． 【详解】解：， ， ， ， 点距离此点最近． 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值． 7．（2025·滨海新区模拟）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 8．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 1．（2025天津市模拟）已知，，求的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了绝对值的应用和有理数的加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值是解答本题的关键．根据绝对值和求得a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，或1， ∴或， 故答案为：或． 2．（2025·武清区模拟）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 3．（2025·天津市·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 1．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解； 【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 2．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $