第一章 特殊平行四边形 分层作业 2025-2026 学年北师大版数学 九年级 上册

九年级上册第一章特殊平行四边形分层作业 基础层（必做题) 知识要点：特殊平行四边形的基本性质识别与简单应用 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 2.在矩形ABCD中，CD=6,点E是DA边延长线上一点，AE=2,点F是 E AB边上一点，AF=AB,连接EF并延长交BC于点G,则EG的长 为 3.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG,使 GF经过点D,则矩形AEFG的面积为 4.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,∠BDC的平分线分别交 BC、AC于M、N两点.如果BM=√2，那么线段ON的长 为」 5.在菱形ABCD中，AD=5,AE⊥BC于点E,EC=2,连接 BD交AE于点F,则AF的长为 提高层（选做题) 知识要点：特殊平行四边形的判定与性质的综合运用，涉及计算与简单证明 6.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=15,点E是CD边上的一点，连接AE, D 将△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，则 第页 7.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD,垂足为点E.若AB=5,CE=3,则△BCE 的面积为 8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，连接AE并延长交BC 的延长线于点F,连接BE,且BE=EF, (I)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=6,tan∠AFB=青，求AF的长.。 9.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E为线段OD上一点，且 AE=CE. (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=BE=5,tanCAE=专，求AC的长. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,O为AB的中点，作点D关 于点O的对称点E,连接DE,AE,BE. D (I)求证：四边形AEBD是矩形： (2)若tanDEB=,CD=2,求BC的长. 11.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，AE=FC (I)求证：四边形EBFD是平行四边形： (2)连接EF.若AB=2,AE=1,ED=3,求EF的长. 拓展层（挑战题) 知识要点：特殊平行四边形的综合应用，涉及复杂证明、探究性问题和综合计算 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E为CD的 A 中点，连接OE并延长至点F,使OE=EF,连接CF、DF. (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若BD=16,菱形ABCD的周长为40，求sin∠DEF的值. 13.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB=BC,E是AB的中点，F是对角线ACA 的中点，DF‖AB, (I)求证：四边形AEFD为菱形； (2)连接DE交AC于点G,若DE=2,sinzACD=寺，求AF的长. 14.在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD上的动点（不与顶点重合）， EG与FH相交于点O.下面四个结论中， ①如果EG=FH,则EG⊥FH; ②如果EG⊥FH,则EG=FH; ③如果EG为FH的垂线平分线，则S四边形AFOE=S正方形ABcD: ④如果EG与FH相互垂直且平分，则AE+AF=CD: 所有正确结论的序号是() A①③ B.②④ C.①④ D.②③ 15.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,O为对角线的交点.将矩形ABCD绕点O逆 时针旋转90°得到矩形AB'CD,连接AD,BA,CB,DC,给出下面三个结 论： ①连接0C,则∠A0C=90°； ②点O到AB的距离小于点0到AD的距离； ③若AB=a,则八边形ABAB CDCD的面积为3a2. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A①② B.①③ C.②③ D.①②③ 16.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕点A逆时针 旋转180°一2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF‖AB,交直线BC于点F. 第页 D 图2 C(D) B 图1 E (1)如图1，《=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明. (1)数量关系，并证明. 作业说明 1.基础层（必做题）：主要考查特殊平行四边形的基本概念、性质识别和简单计算，适合所有学生完成。 2.提高层（选做题）：涉及特殊平行四边形判定与性质的综合运用，需要一定的逻辑推理能力，建议中 等及以上水平学生完成。 3.拓展层（挑战题）：包含复杂的证明题和探究性问题，需要较强的数学思维能力，适合学有余力的学 生挑战。 学习建议 ·做题前先复习特殊平行四边形的性质与判定定理 ·注意观察题目中的条件，选择合适的性质或判定方法 ·证明题要注意逻辑的严密性，计算题要注意运算的准确性 ·遇到困难可以先分析己知条件和要证明的结论之间的关系 第页 参考答案与解析 1.A 2.10 3.4 4号 5.号 6 在矩形ABCD中，根据折叠的性质，可得AD=AF=15,DE=EF,∠AFE=∠ADE=90°， ·BF=VAF2-AB2=V152-92=12, :∠AFE=90°， :∠AFB十∠EFC=90o, :AFB+∠FAB=90°， :∠EFC=∠FAB, :∠ABF=∠FCE=90°， ·△FBAM△ECF, =器==， 设DE=EF=x,则EC=9-x, ·亮=景，解得x=5, …器=是=有， :△ECF∽△FBA, …==(集=(=专 7号 8. (I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC,AD=BC, ∠1=∠2， D 点E是DC的中点， E ED=EC, :∠3=∠4， ·△ADE≌△FCE, AD=CF, 第页 AD=BC, :CF=BC, BE=EF, ·∠ECB=90°， :四边形ABCD是矩形. (2)解：：AD=6, CF=BC=6. BF=12 :四边形ABCD是矩形， ABC=90°. :tanAFB=寺， AB=4· 在Rt△ABF中，∠ABF=90°， ÷AP=VAB2+BF=4W10 (1):四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O :0A=0C :E为线段OD上一点，且AE=CE ·OE⊥AC,即BD⊥AC :四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC ·四边形ABCD是菱形 (2)如图，AB=BE=5,tanCAE=青，设0E=m :∠A0E=90o ·货=tanCAE= ●0E ÷0A=0C=30E=3m :0A2+0B2=AB2,且0B=5-m (3m2+6-m2=52 解得m1=1,m2=0(不符合题意，舍去) 0A=3 :AC=20A=6 ·AC的长是6 10 第页 (1):点D关于点O的对称点为点E, :ED必过点0且0E=OD. :O为AB的中点， :.0A=0B. :四边形AEBD是平行四边形， :BD⊥AC于D, ADB=90°. ·四边形AEBD是矩形 (2):四边形AEBD是矩形， :∠EBD=90°，AD=BE,AB=ED· 在Rt△DBE中，tan∠DEB=器=. 设BD=3x,则EB=4x,ED=5x :AD=4x,AC=AB=ED=5x. :CD=x=2, :在Rt△BDC中，BC=VBD2+CD2=V10x=2V10. 11. (I):四边形ABCD是矩形 AD BC,AD=BC AE=FC DE=FB :四边形EBFD是平行四边形 (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G ·∠ECB=90o :四边形ABCD是矩形 ·∠A=∠ABG=90° ·∠A=∠ABG=∠EGB=90° ·四边形ABGE是矩形 ·EG=AB=2,BG=AE=1 (1)知：四边形EBFD是平行四边形 ÷BF=ED=3 ·GF=BF-BG=3-1=2 EG=GF=2 ·△EGF是等腰直角三角形 第页 .EF=2EG=2V2 12. (I):E为CD的中点 :EC=ED EF=EO :四边形OCFD是平行四边形 :四边形ABCD是菱形 ·AC⊥BD :∠D0C=90° :四边形OCFD是矩形 (2)过点D作DH⊥OF于点H, 设EH=X :BD=16,菱形ABCD的周长为40 E :CD=10,0B=0D=8 在Rt△0DC中，0C=V102-82=6 在Rt△OCD中，：E是CD的中点 .0E=CD=5,DE=5 :EF=0E=5 由(1)知：四边形OCFD是矩形 ·DF=0C=6 :.FH=5-x 由勾股定理得：DH2=DE2-EH2=DF2-FH2 452-x2=62-6-x2 “x=号 0=52-(图)=等 SDEF=器-誉=等 13. (1)证明：：E是AB的中点，F是AC的中点， :AE=专AB,EF是△ABC的中位线. :EFBC,EF=专BC. AB=BC, 第页 ·AE=EF AD BC, AD‖EF :DF‖AB, :四边形AEFD是平行四边形. ·口AEFD是菱形 (2)解：：四边形AEFD是菱形，DE=2, :AF⊥DE,GF=AF,DG=DE. ∠DGF=90°，DG=1. 又在△DGC中，sinzACD=, CD=4, :GC=VCD2-DG2=v15, :F为AC中点， :AF=FC. GF=FC. :GF=GC=国 3 2AF 14.B 结论①：假设EG=FH,但EG与FH不一定垂直。例如，当B、G分别在AD、BC中点，P、H分别在 AB、CD中点时，EG=FH(均为正方形边长)，但EG与FH平行，不垂直。因此结论①错误。 结论②：若EG⊥FH,则EG=FH。可通过全等三角形证明：过点O作AD、AB的平行线，构造全等 直角三角形，得到EG=FH。因此结论②正确。 结论③：若EG为FH的垂直平分线，则0为正方形中心。此时S四边形AFOE由两个全等三角形组成，其面 积为宁S正方形ABD。因此结论③正确。 结论④：若EG与FH垂直平分，则四边形EFGH为正方形。设AE=x,AF=y,由对称性得 X+y=AB=CD。因此结论④正确。综上，正确结论为②④，对应选项B。 第页 15.D 16. (1):ACB=90°，∠ABC=45° ·∠BAC=∠ABC=45° :线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45·=90·得到线段AE,点D与点C重合 ÷AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45° ·∠EAB=∠ABC ·BC‖AE ·EF‖AB :四边形ABFE是平行四边形 ·BF=AE ·BF=AC (2)DF=2BC,证明： 如图，在DB上取一点G,使得AG=AB, AGB=∠ABG=C ∠BAG=180°-2 图2 :将线段AD绕点A逆时针旋转180·-2α得到线段AE :DA=EA ·∠DAE=∠GAB=180°-2a ·∠DAG=∠EAB (AG-AB 在△DAG和△EAB中， ∠DAG=∠EAB DA-EA ·△DAG≌△EAB(SAS ÷DG=BE,∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-a 又：∠ABC=a ÷∠FBE=ABE-∠ABC=180°-X-=180-2a :EF‖AB ·∠BFE=∠ABF=C ÷∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=x ·BE=BF ·DG=BF :AG=AB,AC⊥BC GC=BC DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC 第页