第一章《特殊的平行四边形》章末练习题（1）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 章末复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 3．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．菱形的两条对角线长分别为，，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是BC、OB的中点，连接DE，EF．若EF＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填AD＝CB D．（4）处可填∠A＝90° 7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 8．如图，某校准备在一个矩形场地ABCD中修建两条甬道，一条是矩形甬道EFGH，一条是平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若AB＝a，BC＝b，MN＝2EF＝2c，则草坪面积是（　　） A．ab﹣bc﹣2ac+2c2 B．ab﹣ac﹣2bc+2c2 C．ab﹣ac﹣2bc+c2 D．ab﹣bc﹣2ac+c2 9．如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为（　　） A． B．4 C． D． 10．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的动点，且满足BECF．连接AE，DF，G，H分别是AE，DF的中点．连接GH，求GH的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 　 　 ． 12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上的一点，EA平分∠BED，则BE的长为 　 　 ． 14．如图，菱形ABCD中，，BD＝4，点E在BD延长线上，DE＝DC，则sin∠AEC的值为　 　 ． 15．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论： ①△COE≌△BOF； ②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的； ③EF平分∠OEC； ④DE2+BF2＝EF2． 其中正确的是 　 　 （填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在正方形ABCD中，连接BD，延长BC至点E，使BE＝BD，连接DE，求∠CDE的度数． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，且A为BE的中点，连接CE，CE＝CB，连接DE，求证：四边形ACDE是矩形． 18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF＝∠DAE，求证：BE＝DF． 19．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE． 20．如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF＝CE，连接AF，DF． （1）求证：四边形ADEF是矩形． （2）若AB＝3，DF＝4，DF⊥CD，求DE的长． 21．已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC， （1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE． 22．如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积． 23．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连接DB、DE和CE，且AD＝DE． （1）求证：四边形BDCE是矩形； （2）若AB＝2，DE＝4，求点A和点C之间的距离 24．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在边AD上，延长EO交BC于点F，连接BE、DF，∠CBD与∠DEF互余． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形BEDF为正方形的是　 　 （填序号），并请加以证明． ①AC＝2OE； ②； ③AE＝3，BE＝4，CD＝5． 25．如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）求证：EF＝ED； （2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A C D A C D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2． 12．2.5． 13．2． 14．． 15．①②④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CBD＝∠CDB＝45°， ∵BE＝BD， ∴， ∴∠CDE＝∠BDE﹣∠CDB＝67.5°﹣45°＝22.5°． 17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵A为BE的中点， ∴AE＝AB＝CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵CE＝CB，A为BE的中点， ∴CA⊥AE，即∠CAE＝90°， ∴四边形ACDE是矩形． 18．证明：在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠DAE， ∴∠BAE+∠EAF＝∠EAF+∠DAF， ∴∠BAE＝∠DAF， 在△BAE和△DAF中， ， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF． 19．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝BC﹣CF， 即BE＝BF， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∵BF＝CE． ∴BF+BE＝CE+BE，即EF＝BC， ∴EF＝AD，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形． ∵DE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴▱ADEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∵DF＝4， ∴， ∵DF⊥CD， ∴∠CDF＝90°． ∴△CDF的面积， 即， 解得：． 21．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC.， 在△EAB和△ECB中， ， ∴△EAB≌△ECB（SAS）； （2）解：由（1）知△EAB≌△ECB， ∴， ∵∠BDC＝45°， ∴∠DCE＝∠BDC﹣∠DEC＝22.5°， ∴∠DEC＝∠DCE＝2.5°， ∴DE＝DC＝6． 22．（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）知：四边形AECF是菱形， ∵， ∴AC＝BD＝6， ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝2， ∴菱形AECF的面积． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴四边形BDCE是矩形； （2）解：如图，连接AC． ∵AD＝DE，DE＝4， ∴AD＝4， ∵∠DBA＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得，． ∵四边形BDCE是矩形， ∴， ∵AB＝BE，AB＝2， ∴BE＝2， ∴AE＝4， ∵∠BEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 24．（1）证明：∵▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴BO＝DO，AD∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD，∠OED＝∠OFB， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴OF＝OE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵∠CBD与∠DEF互余．∠DEF＝∠BFO， ∴∠CBD与∠BFO互余． ∴∠BOF＝90°， 即FE⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）添加②， 证明：∵FE⊥BD， ∴DE2＝DO2+OE2， ∴， ∴， 解答， ∴OE＝OD， ∴BD＝2OD＝2OE＝EF， ∴菱形BEDF是正方形， 添加③AE＝3，BE＝4，CD＝5， ∵AE2+BE2＝32+42＝25＝CD2＝AB2， ∴△ABE是直角三角形，∠AEB＝90°， ∴∠BED＝90°， ∴菱形BEDF是正方形， 故答案为：②或③． 25．（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC， ∴EN⊥BC， ∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形， ∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN， ∴∠1+∠2＝90°， ∵EF⊥DE， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， ∵EM⊥AD，∠DAC＝45°， ∴△AME是等腰直角三角形， ∴AM＝EM， ∵MN＝AD， ∴EM+EN＝DM+AM， ∴EN＝DM， 在△ENF和△DME中， ， ∴△ENF≌△DME（AAS）， ∴EF＝ED； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2， ∴AD＝AB＝2， 设AM＝EM＝BN＝a， ∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a， 在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2， ∴， 整理得：a2﹣2a+1＝0， 解得：a＝1， ∴AM＝EM＝BN＝a＝1， ∵△ENF≌△DME， ∴FN＝EM＝1， ∴BF＝BN+FN＝2， 故答案为：2； （3）∵点E为对角线AC上一点， ∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况： ①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示： ∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， 在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°， ∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°， ∴∠EFC＝120°； ②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， 在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°， ∵∠BCA是△CEF的外角， ∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC， ∴45°＝15°+∠EFC， ∴∠EFC＝30°， 综上所述：∠EFC的度数是120°或30°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $