第五章平行四边形练习题 2025-2026学年鲁教版(五四制)(2012)八年级数学上册

第五章平行四边形练习题 一、单选题 1．如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，平分交于点E，交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 5．如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 7．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 8．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 10．如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 12．如图，是的中线，过点D作，与相交于点E，连接，恰好有平分，若，则的长是（ ） A．5 B．8 C．10 D．12 13．如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 15．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，中，点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点，延长，相交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B．点到的三个顶点的距离相等 C． D．点到的三边所在直线的距离相等 二、填空题 17．如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 18．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 19．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 20．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为 米． 21．如图，在和中，，，．连接，取的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，当点，，在同一直线上时，的长为 ． 22．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是 ． 三、解答题 23．如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标； (2)在平面内有一动点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 25．如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 26．【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 27．如图，在中，将沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 28．如图，河的北侧有，两点，河岸可视为一条直线．现欲在上找一点，使得线段与的长度之和最小． （）小明在图中，先作了点关于直线的对称点，连接交于点；又作了点关于直线的对称点，连接交于点．关于点和，下列说法中正确的是_____（填序号）． ①和不重合，为所求点；②和不重合，为所求点； ③和重合，但不是所求点；④和重合，即为所求点； （）实际情况下，受条件限制，一切测量都只能在河的北侧完成． ①小明发现，河的中央有一个固定的标志物（点）有可能是点关于直线的对称点．为检验点与点是否确实关于直线对称，他先在上找到两个点，，使得点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，如图．因为和的长度无法测量，接下来，他需要在河的北侧测量某些线段的长度或某些角的角度，当测量结果满足怎样的条件时，就可以判定点与点关于直线对称？直接写出这些条件，用等式表示． ②小明受“架桥问题”启发，又想到了一个只需要在河的北侧作图，就可以找到点位置的方法，如图： 步骤：过作直线，垂足为，再过作直线． 步骤：过点作直线，在上截取_____（在北方）；连接交于点． 步骤：_________________________________，则所得点为所求．请按照小明的思路，补全作图步骤． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第五章平行四边形练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D D D C C C 题号 11 12 13 14 15 16 答案 A C C D B B 1．B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确运用性质求解是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，，计算即可得解； 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 2．B 【分析】根据平行四边形的判定和性质得，由角的平分线得定义得，然后利用平行线的性质求解即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 4．C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 5．D 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据平行四边形判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、由，，无法判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 7．D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 8．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行四边形的性质（对边平行且相等），解题的关键在于利用对角线互相平分的性质判断四边形为平行四边形，再应用平行四边形的对边平行且相等的性质．先根据已知条件判断四边形的形状，再根据平行四边形的性质判定即可． 【详解】O是的中点，即， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 9．C 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 10．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形，所以，再根据，得到，于是可得到，从而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 11．A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 12．C 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等角对等边是解题的关键．根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，再根据三角形的中线的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 13．C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 14．D 【分析】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵点，是，的中点 ∴米， 故选：D． 15．B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键． 先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内外角和定理可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 16．B 【分析】根据角平分线的性质定理可判断选项B、D；根据角平分线的定义和平角的定义，可求得，结合四边形的内角和为，可判断选项A；根据三角形外角的性质和三角形内角和定理，可求得，结合和，，可推出，然后由，可知，即可判断选项C． 【详解】解：A、∵点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、∵点是，角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故B选项说法不正确，符合题意； C、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； D、∵点是两外角，的角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及其性质定理，三角形内角和定理，四边形的内角和，三角形外角的定义和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 18． 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 19． 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，， ∴， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 21．或/或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质判定和性质，勾股定理，中位线的性质定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况进行讨论，即点C在线段上和点C在线段得延长线上，分别延长，交于点F，证明为等腰直角三角形，及为中位线，进而求解即可． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 22．②③④ 【分析】根据可进行判断；②证即可进行判断；③延长交于，证即可进行判断；④证即可进行判断；⑤由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】解：①∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故①错误； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故②正确； ③延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③正确； ④∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④正确； ⑤∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤错误． 综上所述：②③④正确 故答案为：②③④ 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，角平分线的定义等知识点．掌握相关图形的性质定理是解题关键． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 24．(1)作图见详解， (2)点的坐标为 【分析】本题考查旋转作图、作平行四边形等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）将的三个顶点分别绕着点逆时针旋转，得到，连接顶点即可得到，数形结合写出点的坐标即可得到答案； （2）连接点得到，过的顶点分别作对边的平行线，三条平行线的交点即可与点构成平行四边形，数形结合写出点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求， 则； （2）解：如图所示： 点即为所求， 则． 25．(1)证明见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性． （1）由平行四边形的中心对称性可得， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，由平行四边形对边平行可得，，由此可证，即可得出结论； （2）由可得，由可得，再由平行四边形的中心对称性可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点是平行四边形的对称中心， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ． ． （2）解：， ． ， ． ． ． ． 26．(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； (3)延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； (2) ∵，，， ∴，， ∴， 解得． (3)证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 27．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（折叠前后对应角相等）及四边形内角和定理，解题的关键是利用折叠性质得到对应角相等，结合平角定义将、转化为四边形的内角，再通过内角和关系推导求解． （1）先由内角和求；再由折叠得、，结合平角定义得、；最后在四边形中，用四边形内角和为列等式求即可； （2）将（1）中替换为，同理推导与的关系． 【详解】（1）解：∵ 在中，，且，， ∴ ； ∵ 沿对折，点落在处， ∴ ，，且； ∵ （平角定义），， ∴ ； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 又∵ （平角定义）， ∴ （2）解：∵ 在中，，且， ∴ ； 由折叠性质得，，； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 代入，得； 化简得． 28．（）④；（）①且；② ，过点作于点 【分析】（）根据轴对称的性质判断即可求解； （）①由可得，进而可证，即得，即可求证；②延长交直线于点，可证四边形是平行四边形，得，即可得四边形也是平行四边形，得到，进而得到，即得到点关于直线对称，即可得点为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：（）如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作的垂线，与的延长线交于点，线段与直线的垂足分别为， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点和点关于直线对称， ∴和重合，即为所求点， 故答案为：④； （）①当且时，可以判定点与点关于直线对称，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点与点关于直线对称； ②解：步骤：过作直线，垂足为，再过作直线； 步骤：过点作直线，在上截取（在北方）；连接交于点； 步骤：过点作于点，则所得点为所求． 理由如下：延长交直线于点， ∵直线，直线，， ∴， ∵直线，，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形也是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴点关于直线对称， ∴点即为所求， 故答案为：，过点作于点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $