广东省汕尾市陆丰市东海新龙中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试数学试题

新龙中学2025-2026学年度第一学期第二次阶段考试卷高二级 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，其中为虚数单位，则为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．5 5．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，，则； 6．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 8．函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，全对给满分，部分对给相应比例分数，有错误选项0分） 9．下列说法中，正确的有（    ） A．已知直线：，始终过定点 B．直线在轴上的截距是2 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程 10．下列说法正确的有（   ） A．的圆心是 B．的半径是5 C．斜率为，且过点的直线方程为 D．过点和的直线方程为 11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（  ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 三、填空题（每题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分） 12．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 13．已知圆的方程为，其面积为，则 . 14．设直线则直线恒过定点 ；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知圆经过，，三点.（共13分） (1)求圆的方程；（5分） (2)求过点且与圆相切的直线方程.（8分） 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（共15分） (1)求A．（6分） (2)若，，求的周长．（9分） 17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点.（共15分） (1)求证：；（4分） (2)求证：平面；（5分） (3)求二面角的大小.（6分） 18．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（共17分）    (1)求图中的值；（4分） (2)根据此频率分布直方图依次求出众数、中位数、平均数、与80%分位数；（6分） (3)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（7分） 19.鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系：（共17分） ①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组； ②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组； ③败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 已知三位选手实力不分伯仲： （1） 求小黄在第一场比赛中获胜的概率；（4分） （2） 求小单在败者组比赛中被淘汰的概率；（6分） （3） 求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率.（7分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《新龙中学2025-2026学年度第一学期第二次阶段考试卷高二级 数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A C D C AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为， 所以， 故选：B 2．B 【详解】． 故选：B 3．C 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 4．C 【详解】由,所以. 故选：C 5．A 【详解】因为，所以平面内必存在直线， 又因为，所以，即，故A正确； 根据题意虽然平面内有直线与平行，也有直线与平行， 但不一定是相交直线，所以虽然有，，也不能推出， 所以也就不能推出，故B错误； 虽然，但仅由一条直线，是不能推出，，故C错误； 虽然，，，但不能确定是否在一个平面内，所以不能推出，故D错误； 故选：A． 6．C 【详解】因为函数是上的减函数， 函数在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7．D 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 8．C 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 9．AD 【详解】对于A，∵，可知A正确； 对于B，由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距是，B不正确； 对于C，由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误； 对于D，根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式， 再根据经过点，∴直线的方程为，故D正确. 故选：AD 10．ACD 【详解】对于A：可化为，所以圆心为，A正确； 对于B：圆的半径为，B错误； 对于C：由点斜式得直线方程为，即，C正确； 对于D：直线斜率为，所以直线方程为，即，D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【详解】对于A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯， 所以概率为，故A正确； 对于B：设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为， 则由题意可得解得.  故B正确； 对于C：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故C不正确； 对于D：设“从甲袋中取到白球”为事件A，则， 设“从乙袋中取到白球”为事件B，则， 故取到同色球的概率为，故D正确. 故选：ABD 12． 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 13． 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 14． 【详解】由题意， 令，解得，所以直线恒过定点为； 因为，所以点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆， 则圆心为，半径， 所求表示圆上的点H与原点O距离的平方，即 因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：； 15．(1) (2)或. 【详解】（1）因为，，所以，即， 所以为圆的直径，且为的中点，所以，故， 故圆的方程为. （2）若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为， 故直线不为切线. 设切线方程为，即； 由题意可知， 所以，即， 所求直线方程为或. 16.(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法四：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）证明：由题意可知：平面建立如图所示的平面直角坐标系：以A为坐标原点，以AC方向为轴，AB方向为轴，AP方向为轴建立直角坐标系O-xyz 设 故，，， ， 故，故可知 （2）证明：设平面的法向量为 因为底面为平行四边形，所以， 故D点坐标为：，点E是的中点，故点 所以 于是 设，于是可得： 故可知：平面的一个法向量为 故和平面的一个法向量垂直，而平面，故平面 （3）由题意可知平面的一个法向量为 由（1）（2）可知 ，故两法向量的夹角为 故二面角的平面角为. 18．(1) （2）众输：75、中位数：75、平均数：74.5、80%分位数：86 (3)， 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）众数：75、中位数：75、平均数：74.5、80%分位数：86 （3）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. 19. （1）由三位选手实力不分伯仲可知，小黄在第一场比赛中获胜的概率为. （2） 设小宁在一次比赛中获胜为事件A，小单在一次比赛中获胜为事件B. 小单在败者组比赛中被淘汰分为两种情况： 1、 第一场与小黄比赛输，第二场在败者组的比赛输，即； 2、 第一场与小黄比赛赢，第二场与小宁比赛输，第三场在败者组的比赛输，即； 综上所述，小单在败者组比赛中被淘汰的概率为P（）+P（）=× + ×× = . （3） 小宁最终获胜的情况可分为两种情况： 1、 小宁第一场比赛获胜，第二场比赛也获胜，即AA； 2、 小宁第一场比赛落败，第二场比赛获胜，第三场比赛也获胜，即AA. 综上所述，小宁最终获胜的概率为P（AA）+P（AA）=× + ×× = . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $