5.3.1 函数关系的建立（教学课件）数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数关系的建立”，通过人口增长等现实情景引入，衔接函数定义与性质，搭建从理论到应用的学习支架，引导学生掌握建模步骤，实现知识迁移。 其亮点在于以数学建模为主线，结合矩形面积、喷水池设计等典例及指数、二次等多题型探究，落实逻辑推理与数学抽象素养。课堂小结梳理建模流程，助力学生提升解决实际问题能力，教师可高效备课。

5.3.1 函数关系的建立 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的一个重要数学语言和工具. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题中有关量的变化规律. 3 了解建立函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性. 情景引入 某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问: (1)写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式; (2)计算10年后该城市的人口数； (3)计算大约多少年后，该城市人口将达到120万? (4)如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少? 　　函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具．利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题． 典例分析 例1 如图所示，一个长为a、宽为b的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形． 试用表达式将图中阴影部分的面积S表示成x的函数. 解：由题意得 所求函数为 典例分析 例2 如图，把边长为1的正方形沿x轴正方向平移，设平移的起点为边AB与y轴重合之处且OA=x，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积S表示为x的函数. 解：根据题意，设平移的起点为边AB与y轴重合之处且OA=x， 当 时，可得 ； 当 时，如图所示，因为OA=x，可得 MA=2-x，OD=x-1；在等腰直角和 可得AE=2-x，DF=x-1,又由NA=x-1，且DN=2-x， 所以 典例分析 例2 如图，把边长为1的正方形沿x轴正方向平移，设平移的起点为边AB与y轴重合之处且OA=x，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积S表示为x的函数. 解：根据题意，设平移的起点为边AB与y轴重合之处且OA=x， 当 时，可得 ； 当 时，可得 ， 所以公共部分的面积S表示为x的函数 典例分析 例3 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度） 解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为 设所建造的居室总面积ym2，则 当居室的宽为5m时，居室的面积最大，居室的最大总面积是75m2. 典例分析 1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. 3.求模——求解数学模型，得出数学模型. 4.还原——将数学结论还原为实际问题. 典例分析 例4 某小区要建造一个直径为16米的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高高度4米.为了在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此汇合，问这个装饰物的高度应如何设计. 解 过水池的中心任取一个截面，如图,根据力学的原理，喷出的水珠轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的.为了建立水平距离x与距水面的高度y之间的函数关系y=f(x),建立如图所示的直角坐标系. 典例分析 例4 某小区要建造一个直径为16米的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高高度4米.为了在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此汇合，问这个装饰物的高度应如何设计. 设图中右半部分的曲线所对应的函数为 y=-a(x-b)2+c,0≤x≤8. 其中点(b,c)是此抛物线的顶点.由题意，可得b=3,c=4.又由f(8)=0,解得a=0.16. 这样，装饰物距水面的高度应为 h=f(0)=-0.16×(0-3)²+4=2.56(米). 指数型函数模型 题型一 题型探究 1.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. 求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式. 解　最初的质量为500 g. 经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w＝500×0.92； 由此推知，t年后，w＝500×0.9t. 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式. 对数型函数模型 题型二 题型探究 36.72 ＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解. (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 二次函数模型 题型三 题型探究 3. 如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为x米，宽为y米． 所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长x的函数表达式（注明定义域）. 分式型函数模型 题型四 题型探究 4.某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面ABCD中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为150cm2，在其上下各留3cm的空白，左右各留2cm的空白，而两个矩形栏目中间留1cm的空白. 如图所示，设EF的长为x(cm)，整个矩形版面ABCD的面积为y(cm2). (1)试用x的代数式表示y； 【解】（1） 分式型函数模型 题型四 题型探究 4.某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面ABCD中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为150cm2，在其上下各留3cm的空白，左右各留2cm的空白，而两个矩形栏目中间留1cm的空白. 如图所示，设EF的长为x(cm)，整个矩形版面ABCD的面积为y(cm2). (2)当x为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到0.1cm） （当且仅当 所以当 分段函数模型 题型五 题型探究 分段函数模型 题型五 题型探究 拟合函数模型 题型六 题型探究 6．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示. (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； 拟合函数模型 题型六 题型探究 (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； 【解】（1）不妨设生产A芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式为：y=kx，从而0.2=k,故y=0.2x； B芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式y=xa， 由图像可知，y=xa的图像过点(4,2)，即2=4a，解得a=， 故所求函数关系式为y=. 拟合函数模型 题型六 题型探究 (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【解】（2）由题意可知， 由二次函数性质可知,当 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 数学建模 函数关系的建立 数学建模 感谢聆听!