精品解析：河北省邯郸市曲周县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 图象的对称轴是y轴的二次函数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 6. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 11. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 12. 如图，二次函数（为常数，）的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程的解是； ④． 其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 14. 已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是_________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转60°，则点对应点的坐标为___________． 16. 如图，是的直径，于点，交⊙于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 嘉淇在解一元二次方程时，发现常数项被污染． （1）若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程有两个不相等实数根，求被污染的常数项的最大整数值． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 19. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 20. 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转． （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由． 21. 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； （2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 22. 如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． （1）如图1，过点作于点，求的长度； （2）从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴是含有的二次项， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称，理解“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标互为相反数”是解题的关键．两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ，， ， 故选：D． 4. 图象的对称轴是y轴的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．由已知可知对称轴为直线，从而确定函数解析式，再确定答案即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴， 则函数对称轴为直线， 此时函数解析式为， ∴C符合题意； 故选：C． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 7. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 9. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 11. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax=b2的方程的图解法是： 画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a， 设AD=x，根据勾股定理得：， 整理得：，（a≠0，b≠0）， ∵△=4a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为-b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12. 如图，二次函数（为常数，）的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程的解是； ④． 其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解：根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、， 由于对称轴在轴右侧， 则， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， 则，故②错误； 根据题意得，二次函数的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， ∴， 则，故③④正确； 综上所述，正确的是③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 14. 已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是_________ 【答案】（2，0）； 【解析】 【详解】如图，分别作AB和BC的垂直平分线相交于点P，则点P是△ABC外接圆的圆心，由图可得其坐标为（2，0）. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转60°，则点对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的相关计算．将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，然后通过勾股定理计算，即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到， 过作轴于点， 则，，， ∵点的坐标为， ∴ ∴， 根据勾股定理得， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，是的直径，于点，交⊙于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短；延长交于点M，连接，，，，由垂径定理得，进而得，，点F关于的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E、P、M三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质即可求解. 【详解】解：延长交于点M，连接，，，，如图所示： ∵，为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点F关于的对称点为点M， ∴， ∴当E、P、M三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值. 故答案为：6. 三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 嘉淇在解一元二次方程时，发现常数项被污染． （1）若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程有两个不相等实数根，求被污染的常数项的最大整数值． 【答案】（1） （2）被污染常数项的最大整数值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式，列式计算即可． 【小问1详解】 解： 或， 解得； 【小问2详解】 解：设这个常数项为， 在中，， ∴ ， 解得， 被污染常数项的最大整数值为2． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求： （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】（1）4s； （2）小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【解析】 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． 【小问2详解】 解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转． （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由． 【答案】（1）BE＝CF． 证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF． ∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF； （2）BE＝CF仍然成立． 证明：在△ACE和△ADF中， ∵∠CAE+∠EAD＝∠FAD+∠DAE＝60°， ∴∠CAE＝∠DAF， ∵∠BCA＝∠ACD＝60°， ∴∠FCE＝60°， ∴∠ACE＝120°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADF＝120°， 在△ACE和△ADF中， ∴△ADF≌△ACE， ∴CE＝DF， ∴BE＝CF. 【解析】 【分析】（1）根据图形中BE、CF的长度可以直接得出BE＝CF的结论，当然也可以通过证明△ABE≌△ACF得出结论． （2）可以通过证明△ADF≌△ACE，得出CE＝DF，进而得出BE＝CF． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质及全等三角形的判定，注意在含有三角形的图形中，线段的相等一般都会转化为三角形的全等的证明，三角形全等的判定是中考的热点，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 21. 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； （2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 【答案】（1）y=-3,t=-6；（2）向上；（3）t=-2（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据图像及题意可直接解答，然后根据对称轴直接求出P点坐标； （2）由题意易得点P坐标，然后根据待定系数法求出解析式，进而求解； （3）把A，P的坐标代入抛物线的解析式，用t表示a，进而即可求解． 【详解】解：（1）由抛物线的对称轴经过点A，则有抛物线的顶点坐标为，故抛物线的最低点为顶点，即y的最小值为-3，由图像可知点O、P关于对称轴直线对称，故； （2）由t=﹣4，可得， 抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点， ，解得：， 抛物线的解析式为：， 抛物线开口向上； （3）把点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），代入解析式得： ，可得：， 抛物线开口向下， ，解得且； （答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 22. 如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． （1）如图1，过点作于点，求的长度； （2）从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 【答案】（1） （2）①与相切，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，利用勾股定理即可求出的长； （2）①过点作于点，根据角的直角三角形的性质可以得到，即可得到结论；②由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可． 【小问1详解】 解：连接，     边与相切于点， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：①与相切，理由为： 过点作于点，     ，， ， ， ， ， 与相切； ②如图，当点O、C、B三点共线时，h最大，这时； 如图，当点O在上时，h最小，这时；     ∴在旋转过程中，h的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $