精品解析：广东省韶关市某校2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年高二第一学期期中考 高二数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为150分，考试用时为120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应号码的标题涂黑. 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 3. 已知空间向量，，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的线性运算可判断AB，根据数量积的坐标运算可判断CD. 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选:D. 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型的概率求法求甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率. 【详解】由题意，甲乙抽到的主题都有6种，故甲乙抽到主题的组合有种， 甲乙抽到相同主题的组合有6种， 所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为. 故选：A 6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析即可得解. 【详解】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有交点， 结合图象可知，. 故选：A. 7. 如图，二面角等于，、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、 内，，，且，则CD 的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由二面角的平面角的定义可得，利用向量法求的模即可得． 【详解】由二面角的平面角的定义知， ， 由，，得，， ， ， 所以，即． 故选：C． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段的长，用空间向量的运算表示出：，然后把等式平方，把求模转化为向量的数量积运算，解题关键是确定． 8. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则下列说法错误的是（ ） A. A与B相互独立 B. A与D互为对立 C. B与C互斥 D. B与D相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件，互斥事件的概率判断B、C，利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，在根据相互独立事件的定义判断即可； 【详解】解：由题意可知，摸出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，故选项B正确； 当第一次摸到红球，第二次也摸到红球时，，可同时发生，故选项C错误； 因为，， ，，， 所以，， 即与相互独立，与相互独立，故A、D正确； 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的方程为 D. 边上的中线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线的斜率为，B选项正确； 边上的高所在直线与垂直，由A边上的高所在直线斜率为，又高所在直线过点C， 故边上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边上的中点坐标为，则边上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项错误. 故选：BC. 10. 从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ） A. 指标值在区间的产品约有48件 B. 指标值的平均数的估计值是200 C. 指标值的第60百分位数是200 D. 指标值的方差估计值是150 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用各组的频率结合频数及百分位数的意义计算判断AC；利用频率分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断BD作答. 【详解】指标值的样本频率是，指标值在区间的产品约有件，A正确； 抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为： ， ，BD正确； 由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02， 所以指标值的第60百分位数m在内，，解得，C错误. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为. 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂有高级技工60人，中级技工90人，初级技工150人，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知从中级技工中抽取了6人，则__________. 【答案】20 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：20 13. 已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为_____； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是_____. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】（1）令，得，由直线在轴的截距即可列式求解； （2）先分析过定点，然后根据条件判断出直线斜率满足的条件，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）令，得， 因为直线在轴的截距等于1， 所以，解得. （2）直线的方程可化为， 所以，所以， 所以直线过定点， 所以. 由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故的取值范围是. 故答案为:0；. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】由借助正弦定理化简，得到的性质。再由向量条件得到点的性质，处理，得到的值,最后求出的值. 【详解】解：由正弦定理得，，，， 为等腰三角形．由得，， ，同理可证，，为的垂心． 如图，延长交于点D，则且D为的中点，，，且C，P，D三点共线，，，．， ，即， ，， ， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，记，，. （1）若，求的值； （2）求直线与直线所成的角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，用表示出，即可得； （2）应用向量数量积的运算律求得，结合（1）及求数量积，最后应用向量的夹角公式求直线与直线所成的角的余弦值. 【小问1详解】 （1）因为点为的中点， 所以， 所以. 又，所以，， 则. 【小问2详解】 （2）因为 ， 所以. 因为 ， 又， 所以， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为AC边的中点，，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，根据三角形的内角范围即可求得； （2）设，在和中利用余弦定理，可得，在中，再由余弦定理，得到，联立两方程，消元即可求得. 【小问1详解】 由，可得， 由余弦定理得， 又，所以． 【小问2详解】 设， 由余弦定理知，在中，， 在中，， 又，所以，则， 在中，由余弦定理，， 又，即得， 故得，解得，所以. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，， 因， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. 【小问3详解】 根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设二面角的平面角为，由图知这是锐二面角， 故， 即二面角的余弦值为. 18. 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立. （1）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； （2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； （3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，分为甲击中2次，乙击中1次和甲击中1次，乙击中2次，两种情况，分别求得相应的概率，结合互斥事件的概率公式，即可求解； （3）根据题意，分为乙击中3次，甲击中2次和乙击中2次，甲击中1次，结合概率的乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为. 【小问2详解】 甲击中2次，乙击中1次的概率为， 甲击中1次，乙击中2次的概率为， 故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为. 【小问3详解】 由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标， 若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为， 若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为 ， 故所求概率为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）①或；②不存在点，理由：如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以，， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得的值； ②假设存在点，可由推得，得点坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由，，，， 则，，因，则，， 所以，， ①设平面的法向量为，由，， 得：，可取， 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或， ②略 【点睛】方法点睛：根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第一学期期中考 高二数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为150分，考试用时为120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应号码的标题涂黑. 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于，、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、 内，，，且，则CD 的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 8. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则下列说法错误的是（ ） A. A与B相互独立 B. A与D互为对立 C. B与C互斥 D. B与D相互独立 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的方程为 D. 边上的中线所在直线的方程为 10. 从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ） A. 指标值在区间的产品约有48件 B. 指标值的平均数的估计值是200 C. 指标值的第60百分位数是200 D. 指标值的方差估计值是150 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂有高级技工60人，中级技工90人，初级技工150人，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知从中级技工中抽取了6人，则__________. 13. 已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为_____； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是_____. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，记，，. （1）若，求的值； （2）求直线与直线所成的角的余弦值. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为AC边的中点，，求b． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 18. 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立. （1）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； （2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； （3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $