2.2 基本不等式（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 1．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 2．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中是有理数．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 4．（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 题型二 由基本不等式证明不等关系 5．设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．设正数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 8．（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 题型三 基本不等式求积的最大值 9．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 10．已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为 11．已知正数满足，则的最大值是 ． 12．（1）已知，求的最大值； （2）已知为正实数，且，求的最小值， 题型四 基本不等式求和的最大值 13．若且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 14．已知，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是2 15．已知，，，则当取得最小值时， ． 16．（1）若，且，求的最小值. （2）求的最小值. 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 17．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 18．下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 19．已知，，则的最小值是 20．求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 题型六 条件等式求最值 21．已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．16 D． 22．已知x，y均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最大值为2 23．已知正实数满足，则的最小值是 . 24．已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 题型七 基本不等式的恒成立问题 25．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 26．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 27．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为 . 28．已知，，完成下列各题： (1)讨论与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 题型八 对勾函数求最值 29．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 30．已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 31．设，则的最大值为 . 32．求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 题型九 基本不等式的实际应用 33．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 34.“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是 个∕时． 35．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 题型十 基本（均值）不等式的应用 36．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 37．已知且，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 38．对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为 ． 39．2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 40．已知，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 41．设正实数，满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 42．已知 且，则的最小值为 . 43．（1）设，求函数的最大值，并求取得最大值时的值； （2）已知正数满足，求的最小值，并求取得最小值时的值. 题型十二 基本不等式的内容及辨析 44．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 45．下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 46．下列各式中，最小值是2的有 . ①    ②    ③    ④， 47．（1）如图，是圆的直径，点C是上一点，，，过点C作垂直于的弦，连接，.请利用这个图形，得出基本不等式的几何解释： （2）已知，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 1．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 2．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中是有理数．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由“Lehmer均值”的定义可判断A和B，由“Lehmer均值”的定义及基本不等式可判断C和D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，由于，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，“”中的等号成立，由于，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 4．（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】（1）时，y最小值为；（2），仅当且同号时等号成立. 【分析】（1）将函数化为，应用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由题设，应用基本不等式得，即可比较大小，注意确定等号成立条件. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立， 所以时，y最小值为. （2）由， 而，当且仅当时等号成立， 所以，即， 当且仅当且同号时等号成立. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用“1”的代换得到为关键. 题型二 由基本不等式证明不等关系 5．设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断各项的正误. 【详解】对于①，，，， 当且仅当且，即时取等号，故①成立； 对于②，，， 当且仅当时取等号，不一定成立，故②不一定成立； 对于③，，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号，，，故③一定成立； 对于④，，当且仅当时取等号，故④一定成立. 故不等式一定成立的有3个， 故选：C 6．设正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的概念以及重要不等式、二次函数的性质，逐一证明各选项正误，得出结果. 【详解】由，得，易知， 则，所以A错误，B正确； 由，得， 所以，当且仅当时等号成立，所以C正确； 由，得，当且仅当时等号成立，所以D正确． 故选：BCD. 7．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 8．（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 题型三 基本不等式求积的最大值 9．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，结合基本不等式可得，再结合可得，可得，即可求解. 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 10．已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】对于A：利用基本不等式运算求解即可；对于B：整理可得，利用乘“1”法运算求解；对于C：由基本不等式“1”的妙用可得有最小值为，进而可得的最大值为；对于D：整理可得，结合基本不等式分析求解，注意等号成立的条件. 【详解】因为，，， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故A正确； 对于选项B：因为，则， 则， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以的最小值为6，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以有最小值为，则的最大值为，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得 但等号成立的条件为，可得，不合题意， 所以的最大值不为，故D错误； 故选：AB. 11．已知正数满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由题可知，根据求解即可． 【详解】根据题意， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 即最大值为． 故答案为：． 12．（1）已知，求的最大值； （2）已知为正实数，且，求的最小值， 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用基本不等式求乘积的最值； （2）利用基本不等式结合常数代换求最值； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由，得， 当，时，取得最小值． 题型四 基本不等式求和的最大值 13．若且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为且，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 14．已知，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 选项C：由得，所以， 当且仅当时取等号，但与（1）中时，矛盾， 所以的最小值不是8，故C错误； 选项D：由可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 15．已知，，，则当取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】将已知条件化为“1”，利用“1”的代换结合基本不等式求解的最小值，根据等号成立条件得求解. 【详解】因为且， 所以， ， 当且仅当即因为，舍去负解时等号成立， 此时，解得， 故． 故答案为：. 16．（1）若，且，求的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）18（2）11 【分析】（1）由基本不等式和“1”的妙用即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，且， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值18. （2）当时，，则 . 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值11. 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 17．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 18．下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 19．已知，，则的最小值是 【答案】/ 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 20．求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)7 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案. （3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 题型六 条件等式求最值 21．已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求的最小值. 【详解】因为为正实数，所以，所以， 所以0，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为 故选：C． 22．已知x，y均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】对于ABC：根据题意利用基本不等式求最值，即可判断结果；对于D：整理可得，结合选项A分析判断. 【详解】因为x，y均为正数，且， 对于选项AB：因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确，B错误； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故D错误； 故选：AC. 23．已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】18 【分析】根据均值不等式求解. 【详解】由，可知， 所以，解得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18. 故答案为：18. 24．已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 题型七 基本不等式的恒成立问题 25．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 26．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 27．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 28．已知，，完成下列各题： (1)讨论与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，分，和，三种情况讨论，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）将原式变形为，两次运用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为，可得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． （2）解：因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （3）解：由 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 故实数λ的取值范围为. 题型八 对勾函数求最值 29．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 30．已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数 单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，设，则， 因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：ACD. 31．设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 32．求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 题型九 基本不等式的实际应用 33．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 34.“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是 个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 35．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 题型十 基本（均值）不等式的应用 36．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】设直角三角形两直角边长为，斜边长为，则. 因为，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 又，则， 所以该直角三角形的周长，即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 37．已知且，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式性质，当且仅当时取等号，结合“1的替换”“平方技巧”分析AB选项，根据“特殊值验证”分析C选项，令，变形代数式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】A选项，因为且，所以， 根据基本不等式可得，当且仅当且时取等号，所以， A 选项正确； B选项，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，则， 当且仅当时取等号，即最大值为，B选项正确； C选项，因为，所以，，，又，代入得：， 令（），表达式变为， 取特殊值（此时），计算得： , 而当时，值为，故1不是最大值，选项C错误； 选项D，令，则， 代入， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：ABD. 38．对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知，， 由不等式性质可知 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 39．2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【详解】（1）当且时， ， 当且时， ， 综上，； （2）当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 40．已知，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值是3. 故选：B. 41．设正实数，满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ACD 【分析】A：直接由基本不等式求解出最大值；B：转化为二次函数通过配方法求解出最小值；C：利用“”的代换求解出最小值；D：通过平方运算和配凑法求解出最大值. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，当且仅当时，取最小值，故B错误； 对于C：， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：因为， 又因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最大值为，故D正确． 故选：ACD． 42．已知 且，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】将所求式子进行变形，利用基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 化简得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 43．（1）设，求函数的最大值，并求取得最大值时的值； （2）已知正数满足，求的最小值，并求取得最小值时的值. 【答案】（1）最大值为2，此时；（2）最小值为9，此时. 【分析】（1）根据条件构造基本不等式即可； （2）利用“1”的代换，构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值为2，此时； （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，此时. 题型十二 基本不等式的内容及辨析 44．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 45．下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故A符合题意； 对于B，当时，，B不符合题意； 对于C，，此时无解， 即，则C不符合题意； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故D符合题意. 故选：AD. 46．下列各式中，最小值是2的有 . ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 47．（1）如图，是圆的直径，点C是上一点，，，过点C作垂直于的弦，连接，.请利用这个图形，得出基本不等式的几何解释： （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）利用相似三角形，以及圆中半弦与半径的关系即可解释； （2）先配凑再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由图可知，，所以，所以， 由小于或等于圆的半径，用不等式表示为，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式等号成立， 基本不等式的几何解释：圆的半径不小于圆的半弦． （2）， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 所以， 当时，的最大值为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $