22.3勾股定理（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

22.3勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理的定义 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长度分别为(a)、(b)，斜边长度为(c)，那么。 二、勾股定理的探索与验证 1. 网格法探索：在方格纸上画出直角三角形，通过数格子的方法计算直角边和斜边所对应的正方形面积，发现直角边对应的两个正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，从而初步感知勾股定理。 2. 拼图法验证（以赵爽弦图为例）：用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，即，化简后得到，以此验证勾股定理。 三、勾股定理的基本应用 1. 已知直角三角形的两条直角边，求斜边：直接代入公式计算。例如，直角边，，则斜边。 2. 已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边：利用公式变形或计算。例如，斜边，一条直角边，则另一条直角边。 四、勾股定理的逆定理 1. 内容：如果一个三角形的三条边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边。 2. 应用：判断一个三角形是否为直角三角形。例如，三角形三边长分别为(5)、(12)、(13)，因为，所以该三角形是直角三角形。 五、勾股数 能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等，勾股数的倍数也是勾股数，如（3k，4k，5k）（(k)为正整数）。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 2．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解决本题的关键． 由，根据等腰三角形的性质推知，在直角中，利用勾股定理求得的长度再用等面积法求解的长即可． 【详解】解：在等腰中，，， 是底边上的中线， ， ∴在直角中，． ，即， ， 故选：D． 3．如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 4．如图，在中，，，，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，进而求出、，由勾股定理证得，以及即可． 【详解】解：在中，，， ，， ， ∴， ∴， ，故选项A不成立； ， ，故选项B成立； 由勾股定理得，，故选项C不成立； ， ，故选项D不成立； 故选：B． 5．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（   ） A．5 B． C．5或 D．12 【答案】A 【分析】本题重点考查勾股定理的运用，明确直角三角形三边关系并判断是否为勾股数是解题的关键． 直角三角形两边长为3和4，第三边可能为斜边或直角边，但要求三边长均为勾股数（即正整数），因此需验证第三边是否为整数，求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形两边长为3和4， ① 若3和4为直角边，则斜边为 ，5为整数，符合勾股数要求； ② 若4为斜边，则另一条直角边为 ，不是整数，不符合勾股数要求， ∴ 第三边长为5， 故选：A． 以弦图为背景的计算题 6．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 7．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 8．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 勾股定理与无理数 11．如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D．2.3 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出，进而即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． 以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示的实数是． 故选：B． 12．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：设点M表示的数为m， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 故选：B． 13．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 14．如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定的值． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 15．以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果一个三角形满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．逐项判断两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，根据勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 勾股数问题 16．下列各组数据中，是勾股数的是（  ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．1，4，9 D．1，2，3 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，符合题意； B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 17．下列各组数据，不是勾股数的是（   ） A．2，3，4， B．6，8，10 C．9，40，41 D．15，36，39 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的知识；勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方；只需计算各选项的平方和与最大数的平方进行比较即可判断. 【详解】解：对于A：，∴2，3，4不是勾股数； 对于B：，∴6，8，10是勾股数； 对于C：，∴9，40，41是勾股数； 对于D：，∴15，36，39是勾股数； 故选：A. 18．下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③5、12、13，④6、8、10满足勾股数的有（   ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理，通过计算每组数中较小两数的平方和是否等于最大数的平方，判断是否为勾股数． 【详解】解：对于①，因为，，所以，所以3、4、5是勾股数； 对于②，因为，，所以，所以4、5、6不是勾股数； 对于③ ，因为，，所以，所以5、12、13是勾股数； 对于④ ，因为，，所以，所以6、8、10是勾股数； 所以满足勾股数的是①③④，共3组． 故选：B． 19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得，，，代入数值即可求解． 【详解】解：如图所示，标记正方形E， 由题意可知，，， ∴， ∵正方形B、C、D的面积依次为8、6、18， ∴， ∴， 故选：C． 20．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积12，正方形B的面积16，正方形C的面积9，正方形D的面积12， ∴正方形F的面积为：，正方形G的面积为：， 则最大正方形E的面积是：． 故选：C． 勾股定理逆定理 21．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 22．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 23．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 24．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 25．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 勾股定理的应用 26．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【答案】点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 27．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为9米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设米，则绳子长为米， ∴米， 由题意得：四边形是长方形， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为9米． 28．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 29．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得， 解得，即． 30．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 31．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 32．如图，当居民楼A与马路行驶的汽车距离小于50米就会受到噪音污染．如果汽车以15米/秒的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来6.4秒的噪音污染，请问A处的居民楼与马路相距多远？请画出示意图并说明理由． 【答案】图见解析，A处的居民楼与马路相距14米，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质，由题意画出图形如图，根据等腰三角形三线合一的性质可推出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，米，米， 过A作交于B， ∵，， ∴米， 在中，， 由勾股定理得：米， 答：A处的居民楼与马路相距14米． 33．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】最短行程是 【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∵ ∴ ∴最短行程是． 34．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理的定义 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长度分别为(a)、(b)，斜边长度为(c)，那么。 二、勾股定理的探索与验证 1. 网格法探索：在方格纸上画出直角三角形，通过数格子的方法计算直角边和斜边所对应的正方形面积，发现直角边对应的两个正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，从而初步感知勾股定理。 2. 拼图法验证（以赵爽弦图为例）：用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，即，化简后得到，以此验证勾股定理。 三、勾股定理的基本应用 1. 已知直角三角形的两条直角边，求斜边：直接代入公式计算。例如，直角边，，则斜边。 2. 已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边：利用公式变形或计算。例如，斜边，一条直角边，则另一条直角边。 四、勾股定理的逆定理 1. 内容：如果一个三角形的三条边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边。 2. 应用：判断一个三角形是否为直角三角形。例如，三角形三边长分别为(5)、(12)、(13)，因为，所以该三角形是直角三角形。 五、勾股数 能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等，勾股数的倍数也是勾股数，如（3k，4k，5k）（(k)为正整数）。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 2．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 3．如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 4．如图，在中，，，，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 5．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（   ） A．5 B． C．5或 D．12 以弦图为背景的计算题 6．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 7．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 8．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 10．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 勾股定理与无理数 11．如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D．2.3 12．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 13．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 15．以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 勾股数问题 16．下列各组数据中，是勾股数的是（  ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．1，4，9 D．1，2，3 17．下列各组数据，不是勾股数的是（   ） A．2，3，4， B．6，8，10 C．9，40，41 D．15，36，39 18．下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③5、12、13，④6、8、10满足勾股数的有（   ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 勾股定理逆定理 21．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 22．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 23．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 24．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 25．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 勾股定理的应用 26．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 27．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 28．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 29．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 30．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 31．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    32．如图，当居民楼A与马路行驶的汽车距离小于50米就会受到噪音污染．如果汽车以15米/秒的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来6.4秒的噪音污染，请问A处的居民楼与马路相距多远？请画出示意图并说明理由． 33．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 34．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 勾股定理的应用 学科网（北京）股份有限公司 $