22.3勾股定理（第1课时）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

22.3 勾股定理（第1课时） 目录 A 基础达标题 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3 题型三、勾股定理与网格问题 6 题型四、勾股定理与折叠问题 9 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 12 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 15 B 能力提升题 题型一、勾股定理的证明方法 17 题型二、以弦图为背景的计算题 20 题型三、用勾股定理构造图形解决问题 23 题型四、勾股定理与无理数 26 题型五、勾股树(数)问题 28 C 拓展培优题 题型一、用勾股定理解三角形 1．等边三角形的高与边长的比值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例线段以及等边三角形的性质．根据等边三角形的性质和勾股定理即可得出． 【详解】解：如图，设等边三角形的边长是， 根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线， ∴， 根据勾股定理得，底边上的高是． 所以高与边长的比值是， 故答案为：． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，斜边长为， 故答案为：． 3．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度． 分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 故第三边的长为10或． 故答案为：10或． 4．已知的两条边，的长分别为、，则边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论，根据勾股定理直接求解． 【详解】解：当边，C为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故答案为：或． 5．如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．证明是的垂直平分线，得，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：点C是的中点，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 即橡皮筋被拉长了， 故答案为：． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出． 由勾股定理得出，求出，进而求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 7．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据正方形面积计算公式可得；由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∵正方形A的面积为6，正方形B的面积为8， ∴； 由勾股定理得， ∴正方形C的面积为14． 故选：C． 8．如图，已知是直角三角形，分别以它的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则的值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求． 【详解】解：在中，， 由正方形面积公式得，，， ，， ． 故选：C． 9．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键在于正确将正方形面积与勾股定理建立联系． 三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理建立字母所代表的正方形的面积之间的关系． 【详解】解：由题意可知，直角三角形各边长的平方为该边所在正方形的面积， 设长直角边的平方为，短直角边的平方为16，斜边的平方为25， 根据勾股定理有，， 即A所代表的正方形的面积为9． 故答案为：9． 10．如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．根据长方形和正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 【详解】解：由图可得，A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 即A、B、C、D的面积之和等于G的面积， ∵G的面积是， ∴A、B、C、D的面积之和为． 故答案为：64． 题型三、勾股定理与网格问题 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 12．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（    ） A．0.8 B．2.8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 故选C． 13．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，，， A．∵，，， ∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； B．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 14．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 15． 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，当点 P 与点D重合时， ，∴， ，∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：D 题型四、勾股定理与折叠问题 16．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 17．如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 18．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 19．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 20．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 故答案为：． 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 21．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 22．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 23．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 24．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 25．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 26．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 27．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 题型一、勾股定理的证明方法 28．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想 【答案】A 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想， 故选：A． 29．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 【答案】D 【分析】本题考查用“赵爽弦图”证明勾股定理，作出图象，设四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，根据大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积列出等式，化简等式即可得到勾股定理． 【详解】 如图，四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形， 则， 化简得， 此即为勾股定理， 故“弦图”所证明的数学定理是勾股定理， 故选：D． 30．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 31．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 【详解】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 32．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据梯形与三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】解：因为梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 所以， 所以． 题型二、以弦图为背景的计算题 33．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 34．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 35．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 36．正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 37．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型三、用勾股定理构造图形解决问题 38．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 39．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 40．以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为尺，则， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 41．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 题型四、勾股定理与无理数 42．如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，求出直角三角板的斜边，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴直角三角板的斜边， 则， ∴点D表示的数为， 故选：C． 43．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 44．以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果一个三角形满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．逐项判断两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，根据勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 45．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：． 题型五、勾股树(数)问题 46．勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理的逆定理等知识点，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股数是满足的三个正整数，据此逐项判定即可． 【详解】 解：A．，能构成直角三角形，且为正整数为勾股数，符合题意； B．，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C．不全是正整数，不是勾股数，不符合题意； D．不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 47．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．分两种情况，根据勾股数的定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当m为最长边时，， 解得：（负值已舍去）； 当24为最长边时，， 解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意； 综上所述，， 故选：B． 48．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 49．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 50．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了勾股数，求阴影部分的面积． 先根据题意得，结合整数解可求出a，b值，再根据面积公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，得， ∵a，b为整数， ∴， ∴. 故答案为：7． 1．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、含角的直角三角形的性质、图形旋转的性质．根据图形旋转的性质可求，，从而可求，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：，，， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理；在中,，，得到，据此解答即可． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， ∵在中，， ∴． 故选：B． 3．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的知识是解答本题的关键； 本题需要先分别求得，，，然后找到规律，即可求解； 【详解】解：由勾股定理可得：，，，， ∴， 故答案为：； 6．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 【答案】29 【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)， 因此葛藤长 (尺)． 故答案为：29． 7．如图，在中，，边在数轴上，若，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是要分类讨论；根据勾股定理算出的长度，在数轴上画弧的时候要考虑在的左边和右边都有可能进而得到答案； 【详解】解：由题可知：， 在中，，， ∴， ∴（舍负）， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是或4， 故答案为4或． 8．已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)小安的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，，，，、 ， ∴， 以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为， 故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：， ， ， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3 勾股定理（第1课时） 目录 A 基础达标题 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 1 题型三、勾股定理与网格问题 3 题型四、勾股定理与折叠问题 4 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 5 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 6 B 能力提升题 题型一、勾股定理的证明方法 6 题型二、以弦图为背景的计算题 8 题型三、用勾股定理构造图形解决问题 9 题型四、勾股定理与无理数 10 题型五、勾股树(数)问题 11 C 拓展培优题 题型一、用勾股定理解三角形 1．等边三角形的高与边长的比值是 ． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 3．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ． 4．已知的两条边，的长分别为、，则边的长为 ． 5．如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 7．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知是直角三角形，分别以它的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则的值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 9．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为 ． 10．如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 题型三、勾股定理与网格问题 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 12．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（    ） A．0.8 B．2.8 C． D． 13．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 14．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 ． 15． 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 题型四、勾股定理与折叠问题 16．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 18．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 19．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 20．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 21．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 22．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 23．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 24．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 25．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 26．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 27．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 题型一、勾股定理的证明方法 28．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想 29．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 30．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 31．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 32．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 题型二、以弦图为背景的计算题 33．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 34．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 35．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 36．正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 37．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 题型三、用勾股定理构造图形解决问题 38．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 39．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 40．以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 41．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 题型四、勾股定理与无理数 42．如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 43．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 44．以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 45．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 题型五、勾股树(数)问题 46．勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， D．，， 47．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 48．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 49．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 50．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ． 1．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 2．如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 6．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 7．如图，在中，，边在数轴上，若，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 8．已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $