22.2角平分线（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“角平分线”核心知识点，系统梳理定义、性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上）及尺规作图步骤，通过思维导图构建知识脉络，形成从概念到应用的学习支架。 资料特色在于分层设计（30分提至70分），结合凉亭位置、加油站选址等实际情境题培养数学眼光，规范的尺规作图步骤提升几何直观与推理能力，分模块练习题针对性强，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

22.2角平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （详细说明：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上任意一点到这个角的两边的垂线段长度相等。） 三、角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （详细说明：如果角内部有一点，它到角的两边的垂线段长度相等，那么这个点一定在这个角的平分线上。） 四、角平分线的尺规作图 1. 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点； 2. 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于一点； 3. 过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角的平分线。 型 习 练 题 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理；过点作，由垂线段最短得取得最小值，由角平分线的性质定理得，即可求解． 【详解】解：过点作， 此时取得最小值， ，， ， ，平分， ， 的最小值为， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，连接，．若是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，熟练掌握角平分线上的一点到两边的距离相等是解题的关键．本题先得出是的角平分线，进而根据垂线段最短得，时最小，即可依据角平分线上的一点到两边的距离相等得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 由垂线段最短得，时最小， 此时，． 故选：B． 3．如图，是的平分线，于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，过作于，根据角平分线的性质得到，再根据求的长． 【详解】解：过作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．以下说法正确的是（    ） A．等腰三角形的中线、高、角平分线互相重合 B． C．三角形两个内角角平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等 D．若，则的取值范围为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、代数恒等式、三角形内心性质以及零指数幂的定义．选项A错误，因为等腰三角形中只有顶角的角平分线、中线和高重合；选项B正确，通过代数变换可验证；选项C错误，内心到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等；选项D错误，因为零指数幂要求底数不为零． 【详解】解：A、等腰三角形仅顶角的角平分线、中线和高重合，并非所有线都重合，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、三角形角平分线交于内心，内心到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，故此选项错误； D、若，则的取值范围为，故此选项错误． 故选：B． 5．如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 角平分线的判定定理 6．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 根据“到三角形三边距离相等的点的性质”，结合三角形特殊点的定义来判断凉亭位置． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴该点是三条角平分线的交点， 故选：． 7．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 8．下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个角是的三角形是等边三角形 B．已知，，，则可以画出唯一确定的 C．若中，，则是直角三角形 D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定定理，全等三角形的判定定理，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据可判断B；根据三角形内角和定理可判断C；根据角平分线的判定定理可判断D． 【详解】解：A、有两个角是的三角形是等边三角形，原说法正确，不符合题意； B、由可证明两个三角形全等，故可以画出唯一确定的，原说法正确，不符合题意； C、∵中，， ∴， ∴是直角三角形，原说法正确，不符合题意； D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三个内角的角平分线的交点，原说法错误，符合题意； 故选：D． 9．如图，中，，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和及角平分线的判定定理，熟练掌握三角形内角和及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可得平分，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； 故选A． 10．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 作角平分线（尺规作图） 11．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②作的角平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线，角平分线的性质，正确理解记忆性质是解题的关键 （1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作图方法，进行作图即可； （2）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求． （2）解：∵在中，，． ∴， ∵平分， ． 12．如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，作角平分线， 先以点A为圆心，以为半径画弧，交于点H，再分别以点B，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D；然后以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，I，作直线交于点E，连接；接下来以点B为圆心，以为半径画弧，交于点K，再以点J，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线交于点F，则即为所求作． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 13．作图题：如图，铁路和公路交于A点，两工厂P、Q的位置如图所示，现在要在S区建一个货场，使它到铁路、公路的距离相等，且到两工厂P、Q的距离也相等，试确定M点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，根据点M到铁路、公路的距离相等，到两工厂P、Q的距离也相等，得出点M既在的角平分线上，又在线段的垂直平分线上，从而作的角平分线和线段垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点M即为所求． 14．如图，在中，完成下列问题． (1)用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 15．如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据点到边的距离与到边的距离相等的，故作的角平分线交边于点，即可作答． （2）根据角平分线的性质，以及三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， 则的面积． 角平分线性质的应用 16．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】解：P点的位置如图所示： 17．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 18．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 19．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2角平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （详细说明：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上任意一点到这个角的两边的垂线段长度相等。） 三、角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （详细说明：如果角内部有一点，它到角的两边的垂线段长度相等，那么这个点一定在这个角的平分线上。） 四、角平分线的尺规作图 1. 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点； 2. 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于一点； 3. 过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角的平分线。 型 习 练 题 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在四边形中，，，连接，．若是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D．6 3．如图，是的平分线，于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．以下说法正确的是（    ） A．等腰三角形的中线、高、角平分线互相重合 B． C．三角形两个内角角平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等 D．若，则的取值范围为任意实数 5．如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 角平分线的判定定理 6．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 7．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个角是的三角形是等边三角形 B．已知，，，则可以画出唯一确定的 C．若中，，则是直角三角形 D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 9．如图，中，，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 作角平分线（尺规作图） 11．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②作的角平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 12．如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 13．作图题：如图，铁路和公路交于A点，两工厂P、Q的位置如图所示，现在要在S区建一个货场，使它到铁路、公路的距离相等，且到两工厂P、Q的距离也相等，试确定M点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 14．如图，在中，完成下列问题． (1)用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的度数． 15．如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 角平分线性质的应用 16．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 17．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 19．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $