专题22.3 角平分线（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题22.3 角平分线 教学目标 1. 知道角平分线的性质定理； 2. 学会角平分线的判定定理； 3. 掌握角平分线的性质与判定综合； 4. 三角形的内心及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）角平分线的性质定理及其应用； （2）角平分线的判定定理，及其与性质定理综合； （3）角平分线有关是尺规作图； （4）三角形的内心及其应用。 2.难点 （1）角平分线的性质、判定定理与其他几何图形性质结合； （2）角平分线的综合应用。 知识点1 角平分线的性质定理 操作 我们知道，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗? 如图22-2-1,已知∠AOB,求作∠AOB的平分线. 作法 (1)以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E; (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; (3)作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线(图22-2-2). 证明 如图22-2-3,连接CD、CE.在△OCD和△OCE中， ∵ ∴△OCD≌△OCE. ∴ ∠COD=∠COE, 即OC平分∠AOB. 如图22-2-4,设OC是∠AOB的平分线，在OC上任取一个不与点O重合的点P,过点P分别向OA、OB作垂线段，那么这两条垂线段的长相等. 归纳上述事实，得到角平分线的性质定理： 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为0. 注意：研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角. 角平分线的性质定理证明 如图22-2-4,已知：OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点(点P不与点O重合),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE. 证明 因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2.因为PD⊥OA,PE⊥OB,所以∠PDO=∠PEO=90°.又因为∠1=∠2,∠PDO=∠PEO,OP为公共边，所以△PDO≌△PEO.由此推出PD=PE. 【即学即练】 1．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 知识点2 角平分线的判定定理 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 角平分线的判定定理证明 如图22-2-5,已知：Q为∠AOB内部一点，QD⊥OA,QE⊥OB,垂足分别为D、E,QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明 如图22-2-6,作射线OQ.因为QD⊥OA,QE⊥OB,所以∠QDO=∠QEO=90°.又因为QD=QE,OQ为公共边，根据直角三角形全等的判定定理，得Rt△QDO≌Rt△QEO.由此推出∠1=∠2,即OQ是∠AOB的平分线，由此可见点Q在∠AOB的平分线上. 【即学即练】 1．如图，已知，且，则点C在 的平分线上，点A在 的平分线上． 2．如图，∠AOB=50°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ = °． 3．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF=     知识点3 三角形的内心 1.三角形的内心 例 如图22-2-7,已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上. 证明 如图22-2-8,过点O作OF⊥AC,垂足为F. ∵AO是∠BAC的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, ∴OE=OF(角平分线的性质定理).同理，可得OE=OD. ∴OD=OF. 又∵OD⊥BC,OF⊥AC, ∴点O在∠C的平分线上(在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上). 本题结论表明：三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 2.作垂直平分线与角平分线的交点 例 如图22-2-11,已知∠AOB及其内部一点C. 求作∠AOB内部一点P,使PC=PO,且点P到直线OA、OB的距离相等. 分析 假定点P已经作出，由PC=PO,可知点P一定在线段OC的垂直平分线上.又由点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等，可知点P在∠AOB的平分线上.因此，P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点. 作法 (1)连接OC,作线段OC的垂直平分线MN; (2)作∠AOB的平分线OD,OD与MN相交于点P. P就是所求的点(图22-2-12). 【即学即练】 1．已知的内心为，则下列说法错误的是（        ） A． B．在的内部 C．为三个内角平分线的交点 D．到三边距离相等 2．三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心．如图，点O是△ABC的内心，若∠A=80°，则∠BOC= . 题型01 角平分线的性质定理 【典例1】．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 【变式1】．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【变式2】．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 题型02 角平分线性质定理的实际应用 【典例1】．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】．如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 题型03 角平分线性质定理的几何应用Ⅰ 【典例1】．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 【变式1】．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 【变式2】．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 题型04 角平分线性质定理的几何应用Ⅱ 【典例1】．如图，在中，，平分，，的面积为，则的长为 cm． 【变式1】．如图所示，△ABC中，AD是的角平分线且AD把△ABC分成面积为3：7的两部分（AC<AB），AC=5，则AB= . 【变式2】．如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【变式3】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 题型05 角平分线的判定定理 【典例1】．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【变式1】．如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【变式2】．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 题型06 三角形的内心及其应用 【典例1】．已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（    ） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【变式1】．如图，点是的内心，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，为三角形三条角平分线的交点，则的长为 ． 【变式3】．如图，点I是的内心．若，，则的度数是 °．    【变式4】．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 题型07 角平分线的判定与性质综合 【变式1】．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【变式1】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    【变式1】．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 题型08 尺规作图 【典例1】．如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】．如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】．已知：如图，线段和射线交于点．利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）． （1）作出线段的垂直平分线； （2）作的角平分线交于点． 题型09 尺规作图的应用 【典例1】．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【变式1】．如图，在直角中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的面积． 【变式2】．如图，在中，. （1）利用尺规作的平分线，交于点，并在图中标明相应字母.（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长到点（不要求尺规作图），使，猜想线段与的关系，并说明理由. 题型10 角平分线的有关解答证明题 【典例1】．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【变式1】．如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【变式2】．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【变式3】．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式4】．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 一、单选题 1．如图，在中，∠B=90°，为的角平分线．若，则点到的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图①，已知，用尺规作它的角平分线． 如图②，步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P； 第三步；画射线，射线即为所求． 下列叙述不正确的是（    ） A． B．作图的原理是构造三角形全等 C．由第二步可知， D．的长 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ． 12．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝ ． 13．如图，，平分，已知，，则点到的距离为 ． 14．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 15．如图，在中，是它的角平分线，于点E．若，，则的面积为 ． 16．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为 ． 17．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是 ． 18．如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 三、解答题 19．如图，中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点C．（保留作图痕迹） (2)求证：． 20．如图，已知等腰中， ，D为的一个外角的平分线上一点，且交于E， (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若的面积为70，，，求的长． 22．已知：如图，等边和等边，连接、交于点O． (1)求证：； (2)连接，猜想线段、、的数量关系，并证明． 23．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形．在下面的中，请你也按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹）并填空． (1)作出的角平分线交边于点； (2)作出边上的垂直平分线交于点； (3)连接，若，，则的度数____． 24．如图，已知∠B=∠D=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．求证： (1)OC平分∠ACD； (2)OA⊥OC； (3)AB+CD=AC 25．如图，的和的外角平分线相交于点G．    (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点H，使得，若的周长等于16，求的长度． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 角平分线 教学目标 1. 知道角平分线的性质定理； 2. 学会角平分线的判定定理； 3. 掌握角平分线的性质与判定综合； 4. 三角形的内心及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）角平分线的性质定理及其应用； （2）角平分线的判定定理，及其与性质定理综合； （3）角平分线有关是尺规作图； （4）三角形的内心及其应用。 2.难点 （1）角平分线的性质、判定定理与其他几何图形性质结合； （2）角平分线的综合应用。 知识点1 角平分线的性质定理 操作 我们知道，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗? 如图22-2-1,已知∠AOB,求作∠AOB的平分线. 作法 (1)以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E; (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; (3)作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线(图22-2-2). 证明 如图22-2-3,连接CD、CE.在△OCD和△OCE中， ∵ ∴△OCD≌△OCE. ∴ ∠COD=∠COE, 即OC平分∠AOB. 如图22-2-4,设OC是∠AOB的平分线，在OC上任取一个不与点O重合的点P,过点P分别向OA、OB作垂线段，那么这两条垂线段的长相等. 归纳上述事实，得到角平分线的性质定理： 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为0. 注意：研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角. 角平分线的性质定理证明 如图22-2-4,已知：OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点(点P不与点O重合),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE. 证明 因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2.因为PD⊥OA,PE⊥OB,所以∠PDO=∠PEO=90°.又因为∠1=∠2,∠PDO=∠PEO,OP为公共边，所以△PDO≌△PEO.由此推出PD=PE. 【即学即练】 1．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出． 【详解】解：平分，于点，于点， 故选：C． 2．如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】过点P做于点M，    ∵，平分， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 3．如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 知识点2 角平分线的判定定理 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 角平分线的判定定理证明 如图22-2-5,已知：Q为∠AOB内部一点，QD⊥OA,QE⊥OB,垂足分别为D、E,QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明 如图22-2-6,作射线OQ.因为QD⊥OA,QE⊥OB,所以∠QDO=∠QEO=90°.又因为QD=QE,OQ为公共边，根据直角三角形全等的判定定理，得Rt△QDO≌Rt△QEO.由此推出∠1=∠2,即OQ是∠AOB的平分线，由此可见点Q在∠AOB的平分线上. 【即学即练】 1．如图，已知，且，则点C在 的平分线上，点A在 的平分线上． 【答案】 【分析】连接AC，根据角平分线的判定定理以及直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可． 【详解】解：连接AC， ∵，， ∴AC平分， ∴点C在的平分线上，， ∵， ∴， ∴，即AC平分， ∴点A在的平分线上， 故答案为：，． 【点睛】此题考查角平分线的判定定理，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记角平分线的判定定理是解题的关键． 2．如图，∠AOB=50°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ = °． 【答案】25 【分析】根据角平分线的判定计算即可； 【详解】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD， ∴平分， 又∵∠AOB=50°， ∴； 故答案是：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，准确计算是解题的关键． 3．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF=     【答案】150° 【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=∠BAC=30°， ∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键． 知识点3 三角形的内心 1.三角形的内心 例 如图22-2-7,已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上. 证明 如图22-2-8,过点O作OF⊥AC,垂足为F. ∵AO是∠BAC的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, ∴OE=OF(角平分线的性质定理).同理，可得OE=OD. ∴OD=OF. 又∵OD⊥BC,OF⊥AC, ∴点O在∠C的平分线上(在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上). 本题结论表明：三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 2.作垂直平分线与角平分线的交点 例 如图22-2-11,已知∠AOB及其内部一点C. 求作∠AOB内部一点P,使PC=PO,且点P到直线OA、OB的距离相等. 分析 假定点P已经作出，由PC=PO,可知点P一定在线段OC的垂直平分线上.又由点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等，可知点P在∠AOB的平分线上.因此，P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点. 作法 (1)连接OC,作线段OC的垂直平分线MN; (2)作∠AOB的平分线OD,OD与MN相交于点P. P就是所求的点(图22-2-12). 【即学即练】 1．已知的内心为，则下列说法错误的是（        ） A． B．在的内部 C．为三个内角平分线的交点 D．到三边距离相等 【答案】A 【分析】根据三角形的内心的概念可得出答案． 【详解】A．三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意； B．三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意； C．三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意； D．三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了三角形的内切圆和内心，即三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形内心到三角形三条边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心．如图，点O是△ABC的内心，若∠A=80°，则∠BOC= . 【答案】130° 【详解】试题分析：由∠A=80°根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三角形的内心的定义结合角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可. ∵∠A=80° ∴∠ABC+∠ACB=100° ∵点O是△ABC的内心 ∴∠OBC+∠OCB=50° ∴∠BOC=130°. 考点：角平分线的性质，三角形的内角和定理 点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中极为重要的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 题型01 角平分线的性质定理 【典例1】．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 【变式2】．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 题型02 角平分线性质定理的实际应用 【典例1】．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故选：C． 【变式1】．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】 本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质可判断点M为的平分线与的交点，然后根据基本作图进行判断． 【详解】解：∵M点到和两边的距离相等， ∴点M为的平分线与的交点， ∴丙同学的作图正确． 故选：C． 【变式2】．如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 题型03 角平分线性质定理的几何应用Ⅰ 【典例1】．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线，，， ∴， ∴的面积为 故选：A． 【变式1】．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，连接，过点作于点，可得，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵分别平分和，于点，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A ． 【变式2】．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作图可知，是的角平分线， 又， ， 的值为， 故选：A． 题型04 角平分线性质定理的几何应用Ⅱ 【典例1】．如图，在中，，平分，，的面积为，则的长为 cm． 【答案】4 【分析】首先作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，得出CD=DE，然后根据的面积列出关系式，得出DE，进而得出CD. 【详解】作DE⊥AB于E，如图所示 ∵，平分， ∴CD=DE 又∵的面积为， 即 ∴ ∴CD=4 故答案为4. 【点睛】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握，即可解题. 【变式1】．如图所示，△ABC中，AD是的角平分线且AD把△ABC分成面积为3：7的两部分（AC<AB），AC=5，则AB= . 【答案】． 【分析】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再根据角平分线AD将△ABC分成面积比为3：7的两部分，且AC<AB，得出S△ABD：S△ACD=（AB•DE）：（AC•DF）=AB：AC=7：3，然后由AC=5即可求得AB的值． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DE=DF， ∴S△ABD：S△ACD=（AB•DE）：（AC•DF）， ∵AC<AB， ∴S△ABD：S△ACD=（AB•DE）：（AC•DF）=AB：AC=7：3． ∵AC=5， ∴AB=． 故答案为． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线表示出三角形的面积是解题的关键． 【变式2】．如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 【变式3】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【详解】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 题型05 角平分线的判定定理 【典例1】．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 【变式1】．如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可． 【详解】解：∵点到，的距离相等， ∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上， ∴是的平分线的交点； 故选D． 题型06 三角形的内心及其应用 【典例1】．已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（    ） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，根据三角形内心的定义直接判断即可；解答此题的关键是掌握内心的定义． 【详解】解：∵点是的内心，连接并延长交于点， 是的角平分线． 故选：． 【变式1】．如图，点是的内心，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的内心，可得平分，平分，可得，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，三角形的内角和定理的应用，熟记三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键． 【变式2】．如图，在中，为三角形三条角平分线的交点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】延长交于D，作于E，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求出，根据内心的性质知，，设，则，在中，由勾股定理得，，解方程即可． 【详解】解：延长交于D，作于E， ∵平分 ， ∴， 由勾股定理得，， ∵I为三角形三条角平分线的交点， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握内心的性质是解题的关键． 【变式3】．如图，点I是的内心．若，，则的度数是 °．    【答案】 【分析】根据三角形内心的性质求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论． 【详解】∵点I是的内心，，， ∴， ∴， ∴， 故答案是 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和三角形的内角和，正确掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 【变式4】．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】连接，过点O作于点E，于点F，根据三角形内心的性质，得到，再利用三角形面积进行计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 点O为三角形内心，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，三角形的面积公式，熟练掌握三角形内心的性质是解题关键． 题型07 角平分线的判定与性质综合 【典例1】．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【变式1】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    【答案】 【分析】作于，根据平行线的判定定理，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据中点的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据角平分线的判定定理，得出是的角平分线，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，    ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的判定和性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式2】．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型08 尺规作图 【典例1】．如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式1】．如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，涉及三角形外角的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 作出的平分线即可． 【详解】解：以为圆心，任意长为半径，与、分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线即为求作的． 理由：，， 由作法可知，平分， ， 射线即为求作的． 【变式2】．已知：如图，线段和射线交于点．利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）． （1）作出线段的垂直平分线； （2）作的角平分线交于点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作线段AB的垂直平分线HN； （2）根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线交于点． 【详解】（1）作出的垂直平分线，如图所示； （2）作出的平分线交于点，如图所示； 【点睛】本题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的作法，关键是正确画出图形． 题型09 尺规作图的应用 【典例1】．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【详解】（1）解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 （2）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【变式1】．如图，在直角中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为点； （2）作，由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求：    （2）解：作，如图所示：    由（1）可得，平分， ∵ 的面积为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质及尺规作图．掌握角平分线的性质是解题关键． 【变式2】．如图，在中，. （1）利用尺规作的平分线，交于点，并在图中标明相应字母.（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长到点（不要求尺规作图），使，猜想线段与的关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】(1)根据尺规作图方法画出即可. (2)先按题意画出图形,由CD=CE可得两角想等,再利用外角定理可得∠ACD=2∠E,再由题意可知∠B=∠E,根据题意证,则AB=AE. 【详解】（1）如图所示，射线即为所求. （2） 理由如下： 如上图，延长至点，使.连接， , , , , 又, , 由（1）知，, 在和中， ，，, ∴. ∴. 【点睛】本题考查尺规作图和三角形全等的判定,关键在于牢记相关基础知识. 题型10 角平分线的有关解答证明题 【典例1】．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【变式1】．如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【答案】见解析 【分析】要证 ，考虑利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），所以先连接 ，证明 平分 即可证明．本题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形判定定理（ 等 ），以及角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）是解题的关键． 【详解】证明：连接 ． ∵ ，， ∴ （ ） ∴ ，即 平分 又 ∵ ， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等 ）． 【变式2】．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【变式3】．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 【详解】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 【变式4】．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 一、单选题 1．如图，在中，∠B=90°，为的角平分线．若，则点到的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离． ∵为的角平分线，，，， ∴ED=BD=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键． 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案． 【详解】解：过点C作CN⊥OA， ∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6， ∴S△COM=， ∴， ∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB， ∴CN=CM=3． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键． 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求． 【详解】∵， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 5．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案． 【详解】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确； 在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误， 三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确； 综上，正确的说法是①④，有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解． 【详解】解：作DF⊥AC于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=3， ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴， ∴AC=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 7．如图①，已知，用尺规作它的角平分线． 如图②，步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P； 第三步；画射线，射线即为所求． 下列叙述不正确的是（    ） A． B．作图的原理是构造三角形全等 C．由第二步可知， D．的长 【答案】D 【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可 【详解】解：A、∵以a为半径画弧，∴，故正确 B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确 C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确 D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误 故选：D 【点睛】本题考查用尺规作图法画已知角的角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可. 【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90° ∵AD=AD， ∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意； ∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF， ∵AG=AG，DG=DG ∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意； 根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解． 【详解】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，如图所示： ∵OC平分∠ACB， ∴OE=OF， ∵的面积是，AC=3， ∴， ∴OF=OE=1； 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 10．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，，分别平分，，，可以分别设，，，利用三角形内角和定理与外角定理以及平行线的性质分别求出：，，可判断①错误，③正确；利用三角形内角和定理可得出，从而得到，故②正确；然后利用角平分线的性质和判定证明是角平分线，继而可求出，进而求出，从而得到④正确． 【详解】解：如图所示： ∵平分，平分， ∴令，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故①错误；③正确； ∵平分， ∴令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 过点D作分别交、、于点G、M、N， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及角平分线的性质与判定等知识．解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，以及角平分线的性质与判定快速得到也是角平分线． 二、填空题 11．如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过P作于E，由垂线段最短可得此时的长最小，根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过P作于E，此时的长最小， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 12．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝ ． 【答案】60°/60度 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC． 【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN， ∴OC平分∠AOB， ∴∠AOB=2∠BOC， 又∠BOC＝30°， ∴∠AOB =60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握角平分线的判定是解题的关键． 13．如图，，平分，已知，，则点到的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点D作于点E，由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即点D到AB的距离为4， 故答案为：4． 14．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于F， 又是的角平分线，，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 故答案为∶6． 15．如图，在中，是它的角平分线，于点E．若，，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，即可利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 16．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可．本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∵，的面积为8， ∴， 解得， 故答案为：12． 17．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得． 【详解】解：∵，， ∴BD垂直平分AC，①正确； 在与中， ， ∴，④正确； 由可得： ， ∴BD平分，②正确； ③无法证明； 故正确结论有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 18．如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点C．（保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据等腰三角形的三线合一的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵是的平分线， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法以及等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． 20．如图，已知等腰中， ，D为的一个外角的平分线上一点，且交于E， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）过D点作，垂足分别为M、N，由条件证明就可以得出结论； （2）由及可以求出，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【详解】（1）证明：过D点作，垂足分别为M、N， ∴ ∵D为的一个外角的平分线上一点， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若的面积为70，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质直接得出结论即可； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积求法，难度中等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 22．已知：如图，等边和等边，连接、交于点O． (1)求证：； (2)连接，猜想线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）如图，记的交点为T，过A作 垂足为 在的延长线上截取 先证明平分 再证明 为等边三角形，证明 可得 从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴ ∴  即， 在和中，，   ∴， ∴； （2）证明：如图，记的交点为T，过A作 垂足为 在的延长线上截取 ∵ ∴ ∴平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 而 ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 23．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形．在下面的中，请你也按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹）并填空． (1)作出的角平分线交边于点； (2)作出边上的垂直平分线交于点； (3)连接，若，，则的度数____． 【答案】(1)作角平分线过程见详解 (2)作垂直平分线过程见详解 (3) 【分析】（1）尺规作角平分线的过程见详解； （2）尺规作已知线段的垂直平分线的过程见详解； （3）根据角平分线的性质可知中的度数，根据垂直平分线可知，从而求出的度数，最后根据三角形的内角和可求出答案． 【详解】（1）解：作的角平分线交边于点，如图所示， 如图所示，是的角平分线，交于点． （2）解：作边上的垂直平分线交于点，如图所示， 如图所示，是边上的垂直平分线． （3）解：如图所示， 是边上的垂直平分线，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的垂直平分线， ∴，，且为公共边， ∴， ∴（）， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，垂直平分线的综合应用，解题的关键是对角平分线的性质，垂直平分线的性质，结合三角形的内角和知识的理解和掌握． 24．如图，已知∠B=∠D=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．求证： (1)OC平分∠ACD； (2)OA⊥OC； (3)AB+CD=AC 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作OE⊥AC，根据角平分线的性质得出OB=OE，进而得出OD=OE，然后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据角平分线的定义得出∠BAC=2∠CAO，∠ACD=2∠ACO，再根据平行线的性质得∠BAC+∠ACD=180°，进而得出∠OAC+∠OCA=90°，即可得出答案； （3）先根据“AAS”证明△ABO≌△AEO，可得AB=AE，同理得出CE=CD，再根据AC=AE+CE可得结论． 【详解】（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC， ∴OB=OE． ∵点O为BD的中点， ∴OB=OD， ∴OE=OD， ∴OC平分∠ACD； （2）∵OA平分∠BAC，OC平分∠ACD， ∴∠BAC=2∠CAO，∠ACD=2∠ACO． 又∠B=∠D=90゜， ∴，    ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴2∠CAO+2∠ACO=180°， ∴∠OAC+∠OCA=90°， ∴∠AOC=90°， ∴OAOC； （3）∵OA平分∠BAC， ∴∠BAO=∠EAO， 在△ABO与△AEO中 ∴△ABO≌△AEO（AAS）      ∴AB=AE， 同理CE=CD．   ∵AC=AE+CE， ∴AB+CD=AC． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，平行线的性质定理，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键． 25．如图，的和的外角平分线相交于点G．    (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点H，使得，若的周长等于16，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点G作于点H，过点G作于点M，过点G作于点N，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； （3）在上截取，，，证明，得出，，同理证明，，得出，，，，证明，根据，得出，根据，求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点G作于点H，过点G作于点M，过点G作于点N，如图所示：    ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分； （3）解：在上截取，，，如图所示：    ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明，，． 59 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $