专题一有理数2026年九年级中考数学复习

该初中数学讲义聚焦有理数中考专题，覆盖倒数、相反数、科学记数法等八大核心考点，按“题型梳理-真题精讲-变式训练”流程组织，通过考点内在联系（如绝对值与数轴结合）系统突破，助力学生夯实基础。 亮点是“真题情境化”与“分层突破”，如科学记数法结合“嫦娥六号”数据培养抽象能力，数轴化简题借几何直观提升推理意识。课后练习分基础与提升，配合即时反馈，高效提升应考能力，教师可精准把控复习节奏。

专题一 有理数 【题型一】．倒数 【例1】（2024•陕西）﹣3的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（）＝1， ∴﹣3的倒数是． 故选：A． 【变式1】（2025•灞桥区校级模拟）的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是2025． 故选：A． 【题型二】相反数 【例1】（2024•陕西）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 【变式1】（2025•雁塔区校级模拟）的相反数为（　　） A．5 B． C． D．﹣5 【分析】依据相反数的定义求解即可． 【解答】解：的相反数为． 故选：B． 【题型三】科学记数法—（表示较大的数、表示较小数） 【例1】（2024•陕西）2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（　　） A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：380000＝3.8×105． 故选：B． 【例2】（2025•长安区一模）我国知名企业华为技术有限公司最新上市的mate70系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（　　） A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故选：A． 【题型四】绝对值 【例1】（2023•陕西）计算：|﹣17|＝（　　） A．17 B．﹣17 C． D． 【分析】利用绝对值的意义得结论． 【解答】解：|﹣17|＝17． 故选：A． 【变式1】（2023秋•蓝田县期中）若x的相反数是3，y的绝对值是5，则x+y的值为　﹣8或2　 ． 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质，先求出x、y的值，再代值求解． 【解答】解：由题意，得：x＝﹣3，y＝±5； 当x＝﹣3，y＝5时，x+y＝﹣3+5＝2； 当x＝﹣3，y＝﹣5时，x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 故x+y＝﹣8或2． 【变式2】（2024秋•莲湖区校级月考）|﹣5|的相反数是　﹣5　 ，绝对值是2的数是　±2　 ． 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【解答】解：|﹣5|＝5，5的相反数是﹣5，绝对值是2的数是±2． 故答案为：﹣5，±2． 【题型五】数轴 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣b|+|a﹣c|﹣|a+b|的结果为（　　） A．0 B．2a﹣2b C．﹣2b D．2a 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：由数轴图可知， b＜c＜﹣1＜0＜1＜a， ∴c﹣b＞0，a﹣c＞0，a+b＜0， ∴|c﹣b|+|a﹣c|﹣|a+b| ＝c﹣b+a﹣c﹣[﹣（a+b）] ＝c﹣b+a﹣c+a+b ＝2a， 故选：D． 【例2】（2025春•陈仓区期末）如图，数轴上的点M表示的数为m，则m＝ 　　 ． 【分析】观察数轴可知：AD＝1，AB＝2，∠DAB＝90°，BD＝BM，点B表示的数是0，再根据勾股定理求出BD，从而求出BM，然后设点M表示的数为x，根据两点间的距离公式求出x即可． 【解答】解：观察数轴可知：AD＝1，AB＝2，∠DAB＝90°，BD＝BM，点B表示的数是0， ， 由勾股定理得：， 设点M表示的数为x， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025•汉中二模）已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣1，点B在数轴的负半轴上，若AB＝3，则点B表示的数为 　﹣4　 ． 【分析】设点B表示的数为x，依据点B在数轴负半轴确定x＜0，运用数轴上两点距离公式|﹣1﹣x|＝3，根据绝对值性质分情况求解方程，舍去不符合点B在负半轴条件的解，得出点B表示的数． 【解答】解：设点B表示的数为x． ∵点B在数轴的负半轴上， ∴x＜0． ∵点A表示的数为﹣1，且AB＝3， ∴|﹣1﹣x|＝3． 当﹣1﹣x＝3时， 解得x＝﹣4． 当﹣1﹣x＝﹣3时， 解得x＝2，不符合要求，舍去． ∴点B表示的数为﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式2】（2025•灞桥区校级模拟）在数轴上与﹣3距离等于4个单位长度的点表示的数是　﹣7或1　 ． 【分析】方法一：设此点所表示的数为x，则|﹣3﹣x|＝4，求出x的值即可． 方法二：考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧． 【解答】解：方法一：设此点所表示的数为x， 则|﹣3﹣x|＝4， 当﹣3﹣x＞0时， ﹣3﹣x＝4， ∴x＝﹣7； 当﹣3﹣x＜0时， 3+x＝4， ∴x＝1． 方法二：根据绝对值的意义得：在数轴上与表示﹣3的点的距离为4个单位长度的点所表示的数有两个， 分别为：﹣3﹣4＝﹣7或﹣3+4＝1． 故答案为：﹣7或1． 【题型六】非负数的性质：绝对值、偶次方根 【例1】（2024秋•顺河区校级期末）若（x+2y）2+|y﹣1|＝0，则x2+y2＝　5　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，x+2y＝0，y﹣1＝0， 解得x＝﹣2，y＝1， ∴x2+y2＝（﹣2）2+12＝4+1＝5． 故答案为：5． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）已知|a+b+3|与（b+1）2互为相反数，则b﹣2a值等于（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【变式1】（2025秋•雁塔区校级月考）|a﹣3|+|b+2|＝0，则a+b﹣3＝（　　） 【变式2】（2025秋•碑林区校级月考）若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x﹣y值为 　﹣7　 ． 【分析】根据绝对值的非负性可得x+2＝0，y﹣5＝0，再解方程即可． 【解答】解：∵|x+2|+|y﹣5|＝0， ∴x+2＝0，y﹣5＝0， 解得：x＝﹣2，y＝5， ∴x﹣y＝﹣2﹣5＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【题型七】有理数大小比较 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）比较大小： 　 　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式1】（2024秋•冷水滩区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b 　＞　 0，a﹣b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a|． 【分析】（1）直接利用数轴进而分析得出各部分的符号； （2）利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：（1）由数轴可得：c﹣b＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＞，＜，＞； （2）|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a| ＝c﹣b+b﹣a﹣c+a ＝0． 【题型八】有理数混合运算 【例1】（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1， 故选：B． 【例2】（2025春•金台区校级期末）计算： （1）； （2）899×901+1． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣1+2+2 ＝8+2+2 ＝12； （2）原式＝（900﹣1）×（900+1）+1 ＝9002﹣1+1 ＝9002 ＝810000． 【变式1】（2024秋•德惠市期末）计算：． 【分析】先乘方运算，再乘法运算，最后加减运算即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣1﹣0.5（2﹣9） ＝﹣1（﹣7） ＝﹣1 ． 【变式2】（2025春•汉台区校级期中）计算：． 【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算绝对值里面的乘法，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【解答】解：原式＝1﹣|﹣2|+3 ＝1﹣2+3 ＝2． 【变式3】（2024秋•横山区期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算． 【解答】解： ＝﹣9+16÷8 ＝﹣9+2 ＝﹣7． 【课后练习】 1．（2023秋•岚皋县校级期末）若a＜0，且|a|＝2，则a＝　﹣2　 ． 【分析】根据|a|＝2，得出a＝±2，根据a＜0，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＜0，且|a|＝2， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 2．（2025•佳县模拟）如图，将数轴上表示﹣2的点A向右平移3个单位，得到点B，则点B表示的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣5 【分析】利用了数轴上的点右移加，左移减．根据数轴上的点平移特点，即可求解． 【解答】解：根据数轴上的点右移加，左移减可得： 将数轴上表示﹣2的点A向右平移3个单位，则﹣2+3＝1， ∴点B表示的数是1， 故选：A． 3．（2024秋•新城区校级期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简|a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．2b B．3a﹣2b﹣2 C．2b﹣2a﹣2 D．﹣2a﹣2 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴得到a＜0＜b＜1，|a|＞1，则a+1＜0，1﹣b＞0，b﹣a＞0，据此化简绝对值，最后根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴图可知， ﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a+1＜0，1﹣b＞0，b﹣a＞0， 根据绝对值的定义可知， |a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a| ＝﹣（a+1）﹣（1﹣b）+（b﹣a） ＝﹣a﹣1﹣1+b+b﹣a ＝2b﹣2a﹣2， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 4．（2025•雁塔区校级模拟）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简a+|a+b|＝　﹣b　 ． 【分析】根据数轴判断出a、b的情况以及a+b的正负情况．再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可， 【解答】解：数a、b在数轴上的位置如图所示可得： a＞0＞b，|a|＜|b|， ∴a+b＜0． ∴a+|a+b|＝a﹣a﹣b＝﹣b． 故答案为：﹣b． 5．（2025•榆阳区校级三模）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是　4　 ． 【分析】直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【解答】解：A，B两点间的距离是：3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 266．（2023秋•承德期末）若|x+2|+|y﹣3|＝0，则xy＝　﹣6　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程组求出x、y的值，代入代数式求值即可． 【解答】解|x+2|+|y﹣3|＝0， ∴x+2＝0，解得x＝﹣2； y﹣3＝0，解得y＝3． ∴xy＝﹣2×3＝﹣6． 故答案为：﹣6． 7．（2022秋•灞桥区校级期中）若|m+3|+（n﹣2）2＝0，则m+n＝　﹣1　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，m+3＝0，n﹣2＝0， 解得m＝﹣3，n＝2， 所以，m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．（2023•莲湖区校级开学）若|x﹣2|+（3y+1）2＝0，则yx的值为 　　 ． 【分析】根据非负数的和为零，可得关于x、y的方程，解方程可得答案． 【解答】解：∵|x﹣2|+（3y+1）2＝0， ∴|x﹣2|＝0，（3y+1）2＝0， ∴x﹣2＝0，3y+1＝0， 解得x＝2，y， ∴yx． 故答案为：． 9．（2024秋•汉台区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a 　＞　 b，a 　＜　 c． （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c+a|． 【分析】（1）根据数轴得出b＜a＜0＜c，即可判断出各式的答案； （2）根据点在数轴的位置判断各代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：（1）根据正方向在右边时，数轴上右边的数总是大于左边的数，得a＞b，a＜c， 故答案为：＞，＜； （2）∵从数轴可知：b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|， ∴a+b＜0，b﹣c＜0，c+a＞0， ∴|a+b|﹣|b﹣c|+|c+a| ＝﹣（a+b）+（b﹣c）+（c+a） ＝﹣a﹣b+b﹣c+c+a ＝0． 10．（2024秋•富县期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）根据数轴化简：|a|＝　﹣a　 ；|a+b|＝　﹣a﹣b　 ；|c﹣a|＝　c﹣a　 ． （2）|a|＝6，|b|＝2.5，|c|＝4，求a﹣b+c的值． 【分析】（1）根据数轴可知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|进而化简绝对值即可； （2）根据|a|＝5.5，|b|＝2.5，|c|＝5结合数轴上三个点的位置，得出a，b，c的值，再代入代数式，进而得出答案． 【解答】解：（1）根据数轴可知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴|a|＝﹣a，|a+b|＝﹣a﹣b，|c﹣a|＝c﹣a． 故答案为：﹣a；﹣a﹣b；c﹣a； （2）根据数轴可知：a＜0＜b＜c， ∵， ∴a＝﹣6，b＝2.5，， ∴． 11．（2025•榆阳区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．（3+2）+8＝3+（2+8）运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．|a|一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 【分析】利用有理数的相关运算法则及绝对值的非负性逐项判断即可． 【解答】解：（3+2）+8＝3+（2+8）运用了加法结合律，则A不符合题意， 0加任何数还等于这个数，则B不符合题意， |a|一定是非负数，则C不符合题意， 互为相反数的两个数的绝对值一定相等，则D符合题意， 故选：D． 12．（2024秋•西安期末）已知a、b互为倒数，c是绝对值最小的数，则2c﹣ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 【分析】根据倒数的定义可得ab＝1，再由c是绝对值最小的数，则c＝0，然后计算2c﹣ab的值即可． 【解答】解：∵a、b互为倒数，c是绝对值最小的数， ∴ab＝1，c＝0， ∴2c﹣ab＝0﹣1＝﹣1， 故选：B． 13．（2024秋•新城区校级期末）如图是小宇用计算机设计的一个程序计算框图，若输入a的值为﹣1，则输出的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣71 D．71 【分析】根据题意进行计算即可． 【解答】解：（﹣1）2×5﹣9＝﹣4， （﹣4）2×5﹣9＝71， 满足题意，输出的结果为71， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 14．（2025春•西安期末）计算：． 【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的乘方法则分别计算出各数，再计算加减即可． 【解答】解：原式＝1+4﹣1+3＝7． 15．（2025春•汉台区校级期中）计算：． 【分析】先计算有理数的乘方、负指数幂、零指数幂，再合并即可． 【解答】解：原式＝﹣8÷（﹣2）+1﹣2 ＝4+1﹣2 ＝3． 16．（2024秋•汉台区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的加减法法则进行计算即可； （2）先计算乘方及绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝24+0.6+（﹣3.1）+0.8， ＝24+0.6+0.8+（﹣3.1）， ＝25.4+（﹣3.1）， ＝22.3； （2）原式＝4+4+6 ＝14． 17．（2024秋•富县期末）计算：﹣22×3+（﹣10）÷（﹣2）． 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加法． 【解答】解：原式＝﹣4×3+5 ＝﹣12+5 ＝﹣7． 18．（2024秋•雁塔区校级期末）计算：． 【分析】根据有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式 ． 19．（2024秋•榆阳区期末）计算：． 【分析】首先计算乘方、绝对值和小括号里面的减法；然后计算小括号外面的乘法和加法即可． 【解答】解：原式＝﹣16|3﹣9| ＝﹣166 ＝﹣16+4 ＝﹣12． 20．（2025•榆林校级开学）计算． 【分析】先算乘方，再算括号里面的，然后算乘法，最后算减法即可． 【解答】解：原式＝﹣1（2﹣9） ＝﹣1（﹣7） ＝﹣1+1 ＝0． 21．（2024秋•碑林区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，然后算减法即可； （2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可． 【解答】解：（1） ＝18﹣12÷4×（） ＝18﹣3×（） ＝18+1 ＝19； （2） ＝1﹣24245 ＝1﹣20+21﹣5 ＝﹣19+21﹣5 ＝2﹣5 ＝﹣3． 22．（2023秋•榆阳区校级期末）计算：． 【分析】按照有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式 ＝﹣10+6 ＝﹣4． 23．（2024秋•临潼区期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是位于数轴正半轴上且到原点距离为2的数，y是最小的正整数．求3x﹣cd的值． 【分析】先根据有理数的相关概念得出a+b＝0，cd＝1，x＝2，y＝1，再代入计算即可． 【解答】解：由题意知，a+b＝0，cd＝1，x＝2，y＝1， 则原式＝3×2﹣10﹣12025 ＝6﹣1+0﹣1 ＝4． 24．（2025•雁塔区校级开学）计算：（﹣1）3×3﹣（1﹣3）÷4． 【分析】先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算减法即可． 【解答】解：原式＝﹣1×3﹣（﹣2）÷4 ＝﹣3+0.5 ＝﹣2.5． 25．（2025春•横山区期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝﹣5． （1）2⊕3 　＜　 3⊕2；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）求不等式4⊕x≥2的正整数解． 【分析】（1）根据题目中的新定义，可以分别求出2⊕3和3⊕2的结果，然后即可比较大小； （2）根据题目中的新定义和不等式4⊕x≥2，可以求得该不等式的解集，然后写出其正整数解即可． 【解答】解：（1）∵a⊕b＝a（a﹣b）+1， ∴2⊕3＝2×（2﹣3）+1＝﹣1，3⊕2＝3×（3﹣2）+1＝4， ∵﹣1＜4， ∴2⊕3＜3⊕2， 故答案为：＜； （2）∵a⊕b＝a（a﹣b）+1，4⊕x≥2， ∴4（4﹣x）+1≥2， 解得x， ∴不等式4⊕x≥2的正整数解为1，2，3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 有理数 【题型一】．倒数 【例1】（2024•陕西）﹣3的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（）＝1， ∴﹣3的倒数是． 故选：A． 【变式1】（2025•灞桥区校级模拟）的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【题型二】相反数 【例1】（2024•陕西）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 【变式1】（2025•雁塔区校级模拟）的相反数为（　　） A．5 B． C． D．﹣5 【题型三】科学记数法—（表示较大的数、表示较小数） 【例1】（2024•陕西）2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（　　） A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：380000＝3.8×105． 故选：B． 【例2】（2025•长安区一模）我国知名企业华为技术有限公司最新上市的mate70系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（　　） A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故选：A． 【题型四】绝对值 【例1】（2023•陕西）计算：|﹣17|＝（　　） A．17 B．﹣17 C． D． 【分析】利用绝对值的意义得结论． 【解答】解：|﹣17|＝17． 故选：A． 【变式1】（2023秋•蓝田县期中）若x的相反数是3，y的绝对值是5，则x+y的值为　 　 ． 【变式2】（2024秋•莲湖区校级月考）|﹣5|的相反数是　 　 ，绝对值是2的数是　 　 ． 【题型五】数轴 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣b|+|a﹣c|﹣|a+b|的结果为（　　） A．0 B．2a﹣2b C．﹣2b D．2a 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：由数轴图可知， b＜c＜﹣1＜0＜1＜a， ∴c﹣b＞0，a﹣c＞0，a+b＜0， ∴|c﹣b|+|a﹣c|﹣|a+b| ＝c﹣b+a﹣c﹣[﹣（a+b）] ＝c﹣b+a﹣c+a+b ＝2a， 故选：D． 【例2】（2025春•陈仓区期末）如图，数轴上的点M表示的数为m，则m＝ 　　 ． 【分析】观察数轴可知：AD＝1，AB＝2，∠DAB＝90°，BD＝BM，点B表示的数是0，再根据勾股定理求出BD，从而求出BM，然后设点M表示的数为x，根据两点间的距离公式求出x即可． 【解答】解：观察数轴可知：AD＝1，AB＝2，∠DAB＝90°，BD＝BM，点B表示的数是0， ， 由勾股定理得：， 设点M表示的数为x， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025•汉中二模）已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣1，点B在数轴的负半轴上，若AB＝3，则点B表示的数为 　 　 ． 【变式2】（2025•灞桥区校级模拟）在数轴上与﹣3距离等于4个单位长度的点表示的数是　 　 ． 【题型六】非负数的性质：绝对值、偶次方根 【例1】（2024秋•顺河区校级期末）若（x+2y）2+|y﹣1|＝0，则x2+y2＝　 　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，x+2y＝0，y﹣1＝0， 解得x＝﹣2，y＝1， ∴x2+y2＝（﹣2）2+12＝4+1＝5． 故答案为：5． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）已知|a+b+3|与（b+1）2互为相反数，则b﹣2a值等于（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【变式1】（2025秋•雁塔区校级月考）|a﹣3|+|b+2|＝0，则a+b﹣3＝（　　） 【变式2】（2025秋•碑林区校级月考）若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x﹣y值为 　 　 ． 【题型七】有理数大小比较 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）比较大小： 　 　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式1】（2024秋•冷水滩区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b 　＞　 0，a﹣b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a|． 【题型八】有理数混合运算 【例1】（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1， 故选：B． 【例2】（2025春•金台区校级期末）计算： （1）； （2）899×901+1． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣1+2+2 ＝8+2+2 ＝12； （2）原式＝（900﹣1）×（900+1）+1 ＝9002﹣1+1 ＝9002 ＝810000． 【变式1】（2024秋•德惠市期末）计算：． 【变式2】（2025春•汉台区校级期中）计算：． 【变式3】（2024秋•横山区期末）计算：． 【课后练习】 1．（2023秋•岚皋县校级期末）若a＜0，且|a|＝2，则a＝　 　 ． 2．（2025•佳县模拟）如图，将数轴上表示﹣2的点A向右平移3个单位，得到点B，则点B表示的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣5 3．（2024秋•新城区校级期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简|a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．2b B．3a﹣2b﹣2 C．2b﹣2a﹣2 D．﹣2a﹣2 4．（2025•雁塔区校级模拟）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简a+|a+b|＝　 　 ． 5．（2025•榆阳区校级三模）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是　 　 ． 266．（2023秋•承德期末）若|x+2|+|y﹣3|＝0，则xy＝　 　 ． 7．（2022秋•灞桥区校级期中）若|m+3|+（n﹣2）2＝0，则m+n＝　 　 ． 8．（2023•莲湖区校级开学）若|x﹣2|+（3y+1）2＝0，则yx的值为 　 ． 9．（2024秋•汉台区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a 　 　 b，a 　 　 c． （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c+a|． 10．（2024秋•富县期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）根据数轴化简：|a|＝　 　 ；|a+b|＝　 　 ；|c﹣a|＝　 　 ． （2）|a|＝6，|b|＝2.5，|c|＝4，求a﹣b+c的值． 11．（2025•榆阳区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．（3+2）+8＝3+（2+8）运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．|a|一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 12．（2024秋•西安期末）已知a、b互为倒数，c是绝对值最小的数，则2c﹣ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 13．（2024秋•新城区校级期末）如图是小宇用计算机设计的一个程序计算框图，若输入a的值为﹣1，则输出的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣71 D．71 14．（2025春•西安期末）计算：． 15．（2025春•汉台区校级期中）计算：． 16．（2024秋•汉台区期末）计算： （1）； （2）． 17．（2024秋•富县期末）计算：﹣22×3+（﹣10）÷（﹣2）． 18．（2024秋•雁塔区校级期末）计算：． 19．（2024秋•榆阳区期末）计算：． 20．（2025•榆林校级开学）计算． 21．（2024秋•碑林区校级期末）计算： （1）； （2）． 22．（2023秋•榆阳区校级期末）计算：． 23．（2024秋•临潼区期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是位于数轴正半轴上且到原点距离为2的数，y是最小的正整数．求3x﹣cd的值． 24．（2025•雁塔区校级开学）计算：（﹣1）3×3﹣（1﹣3）÷4． 25．（2025春•横山区期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝﹣5． （1）2⊕3 　＜　 3⊕2；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）求不等式4⊕x≥2的正整数解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $