精品解析：北京市顺义区第二中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

顺义二中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 第一部分 选择题（共40分） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在空间直角坐标系中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】解：因为，， 所以. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为， 又，故. 故选：D. 3. 已知椭圆，则椭圆C的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定长轴长. 【详解】由椭圆，则，故长轴长为4. 故选：B 4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求的值. 【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 所以，解得； 故选：C. 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系. 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆心距，故两圆外离. 故选：A 6. 已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程. 【详解】依题意，解得， 由于椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 7. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 8. 若直线与平行，则实数m等于（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 0或4 【答案】A 【解析】 【分析】由两条直线平行的充要条件即可求解. 【详解】解：因为直线与平行， 所以，解得， 故选：A. 9. 在平行六面体 中， 与 的交点为 ．设 ，是下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则及减法法则即得. 【详解】解：因为，所以. 故选：A. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） ①直线恒过定点 ②圆，过点的直线被圆C截得的最短弦长为 ③圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于 ④从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为，联立求定点判断①，根据圆的方程确定圆心和半径，确定弦长最短时的位置，再应用几何法求弦长判断②，根据圆心、半径及圆心与直线的距离，再比较相关大小判断满足条件的点的个数判断③，首先判断直线与圆的位置关系，再由切线的性质列方程得且，其中为圆心到直线的距离判断④. 【详解】由，则， 所以，可得，故直线过定点，①对， 由的圆心，半径， 要使过点的直线被圆C截得的弦长最短，只需垂直于该直线， 而，此时最短弦长为，②错， 由的圆心，半径， 圆心到直线距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，③对， 由，即，则其圆心，半径， 显然到的距离，即直线与圆相离， 从直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，则， 所以切线长， 当且仅当时最短切线长为，④错. 故选：A 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上. 11. 已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为________________.边的垂直平分线所在直线的方程为____________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线，求的中点坐标，利用垂直关系及点斜式写出直线的垂直平分线. 【详解】由题设，则直线，可得， 由的中点为且，故其垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直平分线为，即. 故答案为：， 12. 已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程． 【详解】，所以半径， 又∵，， ∴线段的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：． 13. 若表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆焦点的位置及其方程列不等式求参数范围. 【详解】由题设，则. 故答案为： 14. 已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案. 【详解】圆C：，圆心，半径， 设，则，， 因为，所以， 即，， 因为表示圆上点到原点的距离， ， 所以，即. 正数的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 15. 在正方体中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，有下列四个结论： ①存在点，使得 ②三棱锥的体积保持不变； ③的面积越来越小； ④线段上存在点，使得，且. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①③④，以A为原点建立空间直角坐标系，表示出P点坐标，逐项分析即可； 对于②，说明平行于平面即可. 【详解】如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则. 设，其中. 则， 即. 对于①，假设存在点P，因， 则 ， 即当时，，故①正确； 对于②，取BD中点为E，连接.因为正方形的中心， 则，且，故四边形为平行四边形，得. 又平面，平面，则平行于平面， 即点P到平面的距离d为定值.又 三棱锥的体积保持不变.故②正确. 对于③，设，则，注意到： 则. 又， 则， 因在上递减，故当动点沿着线段从点向点移动过程中，的面积越来越小.故③正确. 对于④，假设存在满足题意的点Q，设，其中. 则， 即，又，则. 因，且，， 则， 因，与矛盾，故不存在相应点Q.故④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】关键点点睛：本题为立体几何中的动点问题，难度较大.对于①③④，因直观图形较为复杂，故利用向量共线并引入参数表示出动点坐标.对于几何体体积不变问题，常转化为判断图形中是否存在线线平行或线面平行. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点在圆C：上. （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦的长； （3）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解； （3）分直线斜率存在和斜率不存在求切线方程即可． 【小问1详解】 因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； 【小问2详解】 因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以； 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线， 此时圆心到直线的距离，解得， 则直线方程为， 综上，切线方程为或． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，     则， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明垂直即可； （2）利用空间向量求出线面角的正弦值； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量，又， 所以， 则，不妨取，解得， 设直线与平面所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量， , 则点到平面的距离． 18. 已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. （1）求椭圆C的方程； （2）当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； （3）当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得方程； （2）联立直线与椭圆得一元二次方程，根据交点个数有求参数范围； （3）联立直线与椭圆求交点坐标，再求三角形的面积即可. 【小问1详解】 由题设，则，故椭圆； 【小问2详解】 联立，则，即， 由直线l与椭圆C有两个公共点，则，得. 【小问3详解】 由题设，联立，由（2）知， 所以，则，或，则，不妨令，而， 如下图，在中，则其面积为. 19. 已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）设直线l经过直线和的交点，且l与圆C相交所截弦长为，求直线l的方程； （3）点P在圆上，Q在直线上，求的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）令圆心且，列方程求参数，即可得圆的方程； （2）先求出直线的交点，再由弦长的几何求法列方程求点线距离，然后讨论直线的斜率求直线方程； （3）首先求出圆心到直线的距离，再根据圆的性质确定的范围，即可得. 【小问1详解】 由题设，令圆心，则，故， 所以，则，，故； 【小问2详解】 联立，可得，即直线过点， 由l与圆C相交所得弦长为，则圆心到的距离， 当直线的斜率不存在时，，满足圆心到的距离， 当直线的斜率存在时，设，即， 则，得，显然不成立， 综上，； 【小问3详解】 由到的距离为，即直线与圆外离， 所以，则，当且仅当共线且在之间时取等号， 所以的最小值为，无最大值. 20. 如图，在四棱锥中，，，，，，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面； ①求平面与平面夹角的余弦值； ②线段上是否存在点G，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） 证明：若为的中点，连接，又F为棱的中点， 所以且，而且， 所以，，则为平行四边形，故， 平面，平面，则平面； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）为的中点，连接，先证为平行四边形，得，再由线面平行的判定证明结论； （2）①根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标并求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值；②设，，结合①及线面平行时向量的位置关系，应用数量积的坐标表示列方程求参数，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题设，又平面平面， 平面平面，平面，故平面， 又，故可构建如图示的空间直角坐标系， 则，故， 若是平面的一个法向量，则， 取，则，而是平面的一个法向量， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为； ②若存在，且，，则，故， 所以，而平面的一个法向量， 要使平面，则，满足要求， 所以线段上存在点G，使得平面，且. 21. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 【答案】（1） （2）①， ②设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为， ，即， 是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， 直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项， 得到， 时，， 无论m取何值直线恒过点． 【解析】 【分析】根据圆的对称性及圆心在x轴上列方程分别求得D、E，进一步求得圆的标准方程； 根据圆的切线性质及面积计算得到，进一步当M在x轴上时取得最小值时四边形的面积最小，求得结果；根据切线性质得到四点ACBM共圆，AB是两圆的公共弦，通过求得以MC为直径的圆的方程进一步求得直线AB的方程，最后根据无论m为何值直线恒过证得结果． 【小问1详解】 圆C的方程的圆心坐标为，半径， 由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，， ，，所求圆C的标准方程为． 【小问2详解】 如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B， ，，， ， 当最小时，四边形的面积最小， 当点M在x轴上时， 此时S的最小值为． 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义二中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 第一部分 选择题（共40分） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在空间直角坐标系中，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知椭圆，则椭圆C的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若直线与平行，则实数m等于（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 0或4 9. 在平行六面体 中， 与 的交点为 ．设 ，是下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） ①直线恒过定点 ②圆，过点的直线被圆C截得的最短弦长为 ③圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于 ④从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③ 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上. 11. 已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为________________.边的垂直平分线所在直线的方程为____________________. 12. 已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 13. 若表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是__________. 14. 已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 15. 在正方体中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，有下列四个结论： ①存在点，使得 ②三棱锥的体积保持不变； ③的面积越来越小； ④线段上存在点，使得，且. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点在圆C：上. （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦的长； （3）求过点的圆的切线方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. （1）求椭圆C的方程； （2）当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； （3）当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 19. 已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）设直线l经过直线和的交点，且l与圆C相交所截弦长为，求直线l的方程； （3）点P在圆上，Q在直线上，求的最大值和最小值. 20. 如图，在四棱锥中，，，，，，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面； ①求平面与平面夹角的余弦值； ②线段上是否存在点G，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由. 21. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $