精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高三上学期第二次月反馈数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年（上）高三级部第二次月反馈数学学科试卷 命题人：周文清；审题人：王珊 第 I 卷 （共60 分） 一、单选题（每小题 5 分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】由，则， 当时，则，此时数列单调递增， 当时，则，此时数列单调递增， 故，则数列单调递增， 又当数列单调递增时，所以， 综上，是的充要条件． 故选：A． 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，排除BD，当时，，排除A，得到答案. 【详解】的定义域为， ，故为奇函数， 其图象关于原点对称，排除B，D； 又时，，，，故，排除A． 故选：C． 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，即， 又，， 所以. 故选：D 5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断． 【详解】对于①，若，，则平行或相交，故错误； 对于②，若，，，则平行、相交或异面，错误； 对于③，若，，则平行或异面，错误； 对于④，若，，，由面面平行性质定理可知，正确， 故选C 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（ ） A. 该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B. 该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 8. 已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为（ ） ①点是图像的一个对称中心 ②是图像的一条对称轴 ③在区间上单调递增 ④若，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的图像与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图像与性质逐项判断即可得解. 【详解】由图像可知函数的最大值为2，最小正周期满足，即， 所以，，， 又点在函数的图像上，所以， 所以，即， 又，所以，， 将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图像， 再将所得函数图像向左平移个单位长度，可得的图像， 所以， 因为， 所以点不是图像的一个对称中心，是图像的一条对称轴， 故①错误，②正确； 当时，， 所以在区间上不单调，故③错误； 若，则、分别为函数的最大值、最小值； 由函数的最小正周期为可得的最小值为，故④正确. 故选：B. 9. 已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为3，则，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离，利用向量法求出，利用面积公式求出的面积，进而求出四面体体积，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为3，则， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 又， 所以， 所以的面积为， 所以四面体体积为，即四面体体积为. 故选：D 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分） 10. i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 11. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 12. 是等差数列 的前 项和， ，则满足 的 的最小值为_____． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意可得，即即可求解． 【详解】由题可得，， 即， ，又， 所以满足 的 的最小值为100． 故答案为：100． 13. 从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则________；在事件发生的条件下，事件发生的概率________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题意，由古典概率公式求出，分析事件的取法数目，由此可得和，由条件概率公式计算可得，即可得答案． 【详解】根据题意，从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，有种取法， 事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件的取法有种， 则， 事件的取法有种，则， ， 故． 故答案为：，． 14. 在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 _____；若且的面积为，则的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，化简得到，结合，求得，设，求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为为的中点，可得， 又因为在线段上，则存在实数使得，即, 可得，整理得， 因为，所以且，解得； 由且，可得，所以， 设，即，则， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】 15. 在 上存在零点，则 的最小值为_____. 【答案】36 【解析】 【分析】由可得，即变换主元，视为关于的直线方程，则表示原点到点的距离的平方，最小值即为原点到直线的距离的平方，进而利用均值不等式求得的最小值即可. 【详解】由题意，当时，有解， 则可设点在直线上， 则表示原点到点的距离的平方， 的最小值为原点到直线的距离的平方， 所以， 令， 原式，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：36. 三、解答题 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积. （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解； （2）先算出ab，再利用三角形面积公式即可； （3）先算出 ，再运用两角差和倍角公式即可求解. 【小问1详解】 依题意，运用正弦定理得： ，化简得 …①， 由余弦定理得： ， 因为C是三角形内角， ； 【小问2详解】 由于 ， 由①得 ， ； 【小问3详解】 ， ； 综上： ， ， . 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 18. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求； （3）证明：. 【答案】（1）； （2） （3）证：由（1）得：， . 【解析】 【分析】（1）结合等差、等比数列通项公式可构造方程求得公比和公差，由此可得； （2）由（1）可得，分别讨论为奇数和为偶数的情况，采用分组求和的方式，结合错位相减法可求得； （3）采用放缩法可得，采用裂项相消法求和即可证得结论. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， ，， ，，又，； ，，，解得：， . 【小问2详解】 由（1）知：， 当为奇数时，；当为偶数时，； ； 令， 则， ， ； 令， 则， ， ； . 【小问3详解】 略 19. 是正项数列的前项和， 是等比数列，， . （1）求 的通项公式； （2）数列 满足： . （i）求 ； （ii）求 . 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）时，，再作差整理得，再根据等差等比基本量运算即可求解； （2）（i）根据分段可知，当时，为等比数列，再根据等比数列求和即可； （ii）设，则，再根据错位相减法及分组求和求解即可． 【小问1详解】 当时，，解得或（舍去）， 当时，，， ， 整理得， 又为正项数列，所以，则，即 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， ， 为等比数列，， ，即，解得， ，解得， ， 故，； 【小问2详解】 （i）由（1）， ， ，， 且，为等比数列， ； （ii）由（i）知可设，（也符合）， 则 ， 设， ， ， 解得， 又， 所以． 20. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2） （i）由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故， 即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 综上； （ii）∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当时，； 当时，； 且，故对恒成立，故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则，可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【解析】 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【小问1详解】 ∵，则， 若是增函数，则，且，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减， 故，∴的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年（上）高三级部第二次月反馈数学学科试卷 命题人：周文清；审题人：王珊 第 I 卷 （共60 分） 一、单选题（每小题 5 分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（ ） A. 该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B. 该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 8. 已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为（ ） ①点是图像的一个对称中心 ②是图像的一条对称轴 ③在区间上单调递增 ④若，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分） 10. i是虚数单位，复数______． 11. 的展开式中常数项为______． 12. 是等差数列 的前 项和， ，则满足 的 的最小值为_____． 13. 从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则________；在事件发生的条件下，事件发生的概率________． 14. 在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 _____；若且的面积为，则的最小值为_____. 15. 在 上存在零点，则 的最小值为_____. 三、解答题 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积. （3）若，求的值. 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求； （3）证明：. 19. 是正项数列的前项和， 是等比数列，， . （1）求 的通项公式； （2）数列 满足： . （i）求 ； （ii）求 . 20. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $