21.3一元二次方程的判别式（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程判别式这一核心知识点，系统梳理其定义（Δ=b²-4ac）、与根的三种关系（Δ>0两不等实根、Δ=0两相等实根、Δ<0无实根）及三大应用（判断根的情况、求参数范围、二次函数与x轴交点），构建“概念-关系-应用”的递进式学习支架。 资料设计贴合基础薄弱学生，含思维导图辅助抽象能力培养，分类练习题（如判断根的情况、根据根的情况求参数）强化推理意识，联系二次函数体现模型观念。课中助教师高效梳理知识，课后学生可针对性练习查漏补缺，提升应用能力。

21.3一元二次方程的判别式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程判别式的定义 对于一元二次方程的一般形式（其中(a)、(b)、(c)是常数，且），其判别式通常用希腊字母（读作“德尔塔”）来表示，判别式的表达式为。它是由方程中二次项系数(a)、一次项系数(b)和常数项(c)通过特定运算得到的一个数值，这个数值能够反映一元二次方程根的情况。 判别式与根的关系 1. 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根。这是因为在求根公式中，根号下的判别式为正数，开方后会得到两个不同的结果，从而方程有两个不同的实数根。 2. 当时，一元二次方程有两个相等的实数根。此时根号下的判别式为0，求根公式变为，即方程只有一个实数根（从代数角度可看作两个相同的根）。 3. 当时，一元二次方程没有实数根。因为在实数范围内，负数不能开平方，所以此时求根公式中根号下的部分无意义，方程不存在实数根。 判别式的主要应用 1. 判断方程根的情况：这是判别式最基本的应用。通过计算方程的判别式，根据其值与0的大小关系，就可以直接判断该一元二次方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根还是没有实数根。 2. 确定字母系数的取值范围：在一些问题中，会已知一元二次方程根的情况，要求确定方程中所含字母系数的取值范围。例如，若已知方程有两个不相等的实数根，则可列出不等式，即，然后解这个不等式，就能得到字母系数的取值范围。 3. 用于二次函数相关问题：对于二次函数（），其图像与(x)轴的交点情况可通过对应的一元二次方程的根来判断，而判别式的值就决定了二次函数图像与(x)轴交点的个数。当时，函数图像与(x)轴有两个不同的交点；当时，函数图像与(x)轴有一个交点（即顶点在(x)轴上）；当时，函数图像与(x)轴没有交点。 型 习 练 题 根据判别式判断方程根的情况 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是计算判别式的值来判断根的情况． 确定一元二次方程的系数，计算判别式，根据的值判断根的情况：时，方程有两个相等的实数根． 【详解】解：对于方程，其中，，， 计算判别式． 当时，方程有两个相等的实数根，对应选项A． 故选：A． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无法确定 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，计算出根的判别式的值，进而即可判断求解，掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：∵运算定义为， ∴ 方程可化为， 即； 这是一个一元二次方程，其中，，， 判别式， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：B 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的判别式，所以方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程中， 、、， ， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式并分析其符号，判断根的情况． 【详解】解：判别式， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式或简化方程，判断每个方程是否有实数根．二次方程有实数根当且仅当判别式． 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 根据方程根的情况求参数 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零，据此列不等式求解． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴ 判别式， ∴ ，即 ， 故选：D． 8．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的值可能是（    ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，掌握方程有无实数根的条件是解决本题的关键． 根据一元二次方程无实数根的情况进行求解即可． 【详解】解：∵方程无实数根，且， ∴当时，方程无实数根， ∴m的值可能是， 故选D． 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由一元二次方程判别式求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，利用判别式公式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得， 故选：D． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程判别式．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时，必须满足． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴m的取值范围是且， 故选：D． 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B．4 C．4或 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据方程有两个相等的实数根得到，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，， 解得， 故选：B． 12．若关于x的方程有实数根，则n的值不可以取（   ） A． B． C．0 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据判别式为非负数解题即可． 【详解】∵ 方程 有实数根， ∴ 判别式 ， 即 ， ∴ 或 ， 其中 ， 而，故不可以取0． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3一元二次方程的判别式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程判别式的定义 对于一元二次方程的一般形式（其中(a)、(b)、(c)是常数，且），其判别式通常用希腊字母（读作“德尔塔”）来表示，判别式的表达式为。它是由方程中二次项系数(a)、一次项系数(b)和常数项(c)通过特定运算得到的一个数值，这个数值能够反映一元二次方程根的情况。 判别式与根的关系 1. 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根。这是因为在求根公式中，根号下的判别式为正数，开方后会得到两个不同的结果，从而方程有两个不同的实数根。 2. 当时，一元二次方程有两个相等的实数根。此时根号下的判别式为0，求根公式变为，即方程只有一个实数根（从代数角度可看作两个相同的根）。 3. 当时，一元二次方程没有实数根。因为在实数范围内，负数不能开平方，所以此时求根公式中根号下的部分无意义，方程不存在实数根。 判别式的主要应用 1. 判断方程根的情况：这是判别式最基本的应用。通过计算方程的判别式，根据其值与0的大小关系，就可以直接判断该一元二次方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根还是没有实数根。 2. 确定字母系数的取值范围：在一些问题中，会已知一元二次方程根的情况，要求确定方程中所含字母系数的取值范围。例如，若已知方程有两个不相等的实数根，则可列出不等式，即，然后解这个不等式，就能得到字母系数的取值范围。 3. 用于二次函数相关问题：对于二次函数（），其图像与(x)轴的交点情况可通过对应的一元二次方程的根来判断，而判别式的值就决定了二次函数图像与(x)轴交点的个数。当时，函数图像与(x)轴有两个不同的交点；当时，函数图像与(x)轴有一个交点（即顶点在(x)轴上）；当时，函数图像与(x)轴没有交点。 型 习 练 题 根据判别式判断方程根的情况 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 2．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无法确定 D．没有实数根 3．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 6．下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 根据方程根的情况求参数 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的值可能是（    ） A．2 B．4 C．0 D． 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B．4 C．4或 D．2 12．若关于x的方程有实数根，则n的值不可以取（   ） A． B． C．0 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $