21.2一元二次方程的解法（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

21.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直接开平方法 适用于形如（）或（）的一元二次方程。求解时，直接对等式两边开平方，得到方程的根。例如，对于，开平方可得；对于，开平方得，进而解得或。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。步骤如下：1. 把常数项移到方程右边；2. 方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；3. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式；4. 若右边是非负数，直接开平方求解；若右边是负数，则方程无实数根。例如，解方程，移项得，两边加4得，即，开平方解得或。 三、公式法 对于一般形式的一元二次方程（），可以使用求根公式求解。其中，称为根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。使用时，先确定(a)、(b)、(c)的值，计算判别式，再代入求根公式求出根。例如，解方程，，，，，则，解得或。 四、因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，从而得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可得到原方程的解。常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。例如，解方程，提公因式得，则或，解得或；解方程，十字相乘法分解得，解得或。 型 习 练 题 因式分解法解一元二次方程 1．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 2．一元二次方程的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．关于的一元二次方程的一个根地，则另一个根是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．的根为（   ） A． B．， C．， D． 直接开平方法解一元二次方程 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 8．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 9．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 配方法解一元二次方程 11．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（    ） A． B．3 C． D．2 13．用配方法解方程．下列配方的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 14．用配方法解方程，方程应变形为（   ） A． B． C． D． 15．一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 公式法解一元二次方程 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 17．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 18．关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 19．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 20．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直接开平方法 适用于形如（）或（）的一元二次方程。求解时，直接对等式两边开平方，得到方程的根。例如，对于，开平方可得；对于，开平方得，进而解得或。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。步骤如下：1. 把常数项移到方程右边；2. 方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；3. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式；4. 若右边是非负数，直接开平方求解；若右边是负数，则方程无实数根。例如，解方程，移项得，两边加4得，即，开平方解得或。 三、公式法 对于一般形式的一元二次方程（），可以使用求根公式求解。其中，称为根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。使用时，先确定(a)、(b)、(c)的值，计算判别式，再代入求根公式求出根。例如，解方程，，，，，则，解得或。 四、因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，从而得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可得到原方程的解。常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。例如，解方程，提公因式得，则或，解得或；解方程，十字相乘法分解得，解得或。 型 习 练 题 因式分解法解一元二次方程 1．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 2．一元二次方程的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过因式分解求解一元二次方程． 【详解】解：∵可因式分解为， ∴或， ∴, ， 故选：D． 3．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解二次方程，直接求解得到根，并验证选项． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴或， ∴或． 故选：A． 4．关于的一元二次方程的一个根地，则另一个根是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根及其解法，理解方程的解满足方程是解答的关键．将已知方程的根代入方程中求出参数k，再解方程求另一根即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴，解得， ∴ 原方程化为，即， ∴，解得，， ∴ 另一根为． 故选：C． 5．的根为（   ） A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或 ， 或 ， 方程的根为，． 故选：C． 直接开平方法解一元二次方程 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 7．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 8．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 9．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 配方法解一元二次方程 11．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 【详解】配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 13．用配方法解方程．下列配方的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方． 在方程两边同时加上4，即可解答． 【详解】解：∵ 方程 中，二次项系数为1，一次项系数为4， ∴ 两边同时加4，得 ，即 ， 故选：B． 14．用配方法解方程，方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 15．一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求出m的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方：， 即， ∴． 故选：D． 公式法解一元二次方程 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 17．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 18．关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 19．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 20．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式． 通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定公式中的系数a、b、c，从而匹配对应方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且给定公式为， ∴，， 因此，方程为， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $