20.2二次根式的运算（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，以学习支架形式构建知识脉络。先阐述乘法法则（被开方数相乘、根指数不变）和除法法则（被开方数相除、根指数不变且分母不为0），再通过同类二次根式概念引出加减法法则（先化简再合并同类项），最后进阶至混合运算（明确运算顺序、乘法公式简化及结果最简要求），形成从基础法则到综合应用的完整知识链。 资料特色突出，专为基础薄弱学生提分设计，含思维导图辅助抽象能力培养（梳理法则逻辑关系）。题型覆盖概念辨析（同类二次根式判断）、新定义运算、分母有理化、混合运算及化简求值等，强化运算能力与推理意识（如运用乘法公式简化运算）。课中助力教师分层教学，课后通过梯度练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

20.2二次根式的运算 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 二次根式的乘法法则 二次根式的除法法则 新课探索 二次根式的加减法 二次根式的混合运算 讲义内容 同类二次根式 新定义下的实数运算 分母有理化 题型练习 实数的混合运算 已知字母的值，化简求值 新 课 探 索 国以 一、二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即a.b=Vab(a≥0，b≥0)。 二、二次根式的除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即0=9a≥060》。 b\b 三、二次根式的加减法 1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二 次根式叫做同类二次根式。 2.加减法法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并， 合并方法为系数相加减，根式部分不变。 四、二次根式的混合运算 1.运算顺序与实数的混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的。 2.在运算过程中，可以灵活运用乘法公式（如平方差公式(a+b)(a-b)=0-b完 全平方公式)简化运算。 3.运算结果必须化为最简二次根式。 型 练 习 国豆 同类二次根式 1.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是() 1 A.0.7与V7 B.Va+b与Va-b(其中a>b>0) C.24与6 D.Vxy与Vxy2(其中x>0,y>0) 2.下列二次根式中，能与5合并的是() A.18 B.V2 C.80 D.V0.5 3.下列二次根式与2 是同类二次根式的是() A.⑧a B.50a C.27a 4.若最简二次根式m与5可以合并，则m的值是() A.5 B.v C. D.3 5.已知m为正整数，如果m与V48 是同类二次根式，那么m的最小值是()· A.2 B.3 C.6 D.8 新定义下的实数运算 6。对于实数“6，定义新运算“☆”，想定：0☆h=4-山.将多项式04因式分解的 其结果是() A.ala2-4) B.a(a+4)(a-4)C.ala-2) D.aa+2(a-2) ab(a>b,a≠0) a*b= 7.对实数。b 定义新运算： asa*0例如：2*3=子，计第： 1b (-2*3)×(3*2)=（) A.4 B.-4 C.6 D.-6 8.定义一种新的运算： m*n=m+2,则3-2到的结果为《) A.-3 B.3 C.-1 D.1 9.对于实数b定义运算“*”如下：a*b=口-ab+b, 4*3=42-4×3+3=7 ,例如， 则x-1*x的值为() A.1 B.-7 C.0 D.7 10.定义一种新运算：a6=ah-a,则-2)4 的结果为() A.-8 B.8 C.-6 D.6 分母有理化 1L.实数v万 的倒数是」 12.若a= 3+V10 b=3-0,则a+b=一 x+y 13.写出√x-√y的有理化因式是一· 2 1 14.比较大小：5+12（填“>”、“<”或“=”）. 15.3+5 的倒数是 实数的混合运算 16.计算：(-0+5+8 17.(1)计算： a+可+2+可 (2)求的值：x-2-2=0 18.计算题： 25-20+45 +/5-x/s 8)-27-1-2+2+1°+8 19.计算题： 025+27+l-2, 2ab2-3b)4ab')+-2ab2y 20.计算与解方程： 5-8+π+2°： 2小N5-2+3-64, 8)x-23-27=0 已知字母的值，化简求值 m-nm-4mn+4n 2引.先化简。得求值：质后+2，其中m。”=及 18 a-b）=a2+b 22.化简求值： （a-ba+b)`a-b,其中a=1-V5,b=1+√5 4a-9ba+b-2√ab 2.先化简，再求值：2a+36后-公，其中a=12.b 3. 24.已知：x=V5+2.y=V5-2 计算： (1)y: 2+2 1-3）x2-1 25.先化简再求值：(x+22x+4,其中x=22-1. 20.2二次根式的运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（，）。 二、二次根式的除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（，(b>0)）。 三、二次根式的加减法 1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 加减法法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法为系数相加减，根式部分不变。 四、二次根式的混合运算 1. 运算顺序与实数的混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 2. 在运算过程中，可以灵活运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）简化运算。 3. 运算结果必须化为最简二次根式。 型 习 练 题 同类二次根式 1．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 2．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：依题意，，，， 与是同类二次根式，可以合并． 故选：C． 3．下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 新定义下的实数运算 6．对于实数，定义新运算“☆”，规定：．将多项式因式分解的其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．对实数、定义新运算：例如：，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据新定义的运算，分别计算 和 ，然后求它们的乘积． 【详解】解：， ， ∴． 故选：A． 8．定义一种新的运算：，则的结果为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算和绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据新运算的定义，直接代入数值计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：C； 9．对于实数定义运算“”如下：，例如，．则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则是解题的关键，根据新定义的运算规则，将，代入公式，并简化表达式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 10．定义一种新运算：，则的结果为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据新的定义下进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 分母有理化 11．实数的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，根据倒数的定义得到的倒数，并分母有理化即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算和分母有理化； 先对进行分母有理化，再代入，得值，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴对进行分母有理化得， ， 计算分母得， ， ∴， 则 故答案为 ：． 13．写出的有理化因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 14．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 15．的倒数是 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义和分母有理化． 根据倒数的定义，利用分母有理化的运算法则即可得到答案． 【详解】解：∵， 的倒数是， 故答案为：． 实数的混合运算 16．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算方法是关键． 先算乘方，算术平方根，立方根，再计算各项即可． 【详解】解：原式 ． 17．（1）计算： （2）求的值： 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算及平方根，立方根与利用平方根解方程，熟练掌握运算法则与解方程的步骤是解题的关键． （1）先开方，乘方，然后计算加法即可； （2）先移项，然后根据平方根解答方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 移项得， 两边乘2得，， 开平方得，， 解得 或 ． 18．计算题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，实数的运算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算减法即可得到答案； （3）先计算立方根和化简二次根式，再去绝对值和计算零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）利用单项式乘以多项式的法则和积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 20．计算与解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，零指数幂，平方根，立方根，绝对值； （1）先计算零指数幂，平方根，立方根，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值，平方根，立方根，再计算加减法即可； （3）先移项，再两边直接开立方，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 移项得：， 两边直接开立方得：， 解得：． 已知字母的值，化简求值 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 22．化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 24．已知：，． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，完全平方公式及代数式的化简． （1）将，代入，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）将，代入，然后利用完全平方公式进行计算并化简即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 25．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解和约分得到最简形式，最后代入给定的x值计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $