19.2实数（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与常见形式，实数按定义（有理数与无理数）和大小（正实数、0、负实数）的分类，实数与数轴的一一对应关系，以及科学计数法的表示规则，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料含思维导图辅助知识结构化，分模块设计无理数估算、整数部分计算、实数与数轴对应等练习题，通过具体实例培养抽象能力、几何直观与运算能力，课中助教师高效授课，课后助力学生针对性查漏补缺，尤其适合基础薄弱学生提分。

19.2实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 常见形式： · 开方开不尽的数，如； · 含有π的数，如π、2π等； · 特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 实数的分类 1. 按定义分类： · 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 · 无理数：无限不循环小数。 2. 按大小分类： · 正实数：大于0的实数，包括正有理数和正无理数。 · 0：既不是正实数也不是负实数。 · 负实数：小于0的实数，包括负有理数和负无理数。 实数与数轴 1. 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2. 实数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数方法叫做科学计数法。 2. 当原数的绝对值大于或等于10时，n是正整数，n等于原数的整数位数减1。 3. 当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。 型 习 练 题 无理数的大小估算 1．无理数的大小在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算． 通过比较平方的大小来确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 因此，在整数2和3之间． 故选：B． 2．小于的正整数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算出的取值范围，再列出小于的正整数，即可得出结果，熟练掌握其估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴小于的正整数为，共个， 故选：． 3．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据，整理得，即，结合，所以，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B 4．下面无理数中，大于4，且小于5的是（   ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算算术平方根的取值范围，通过比较每个数的平方与和的大小关系，判断其是否在4和5之间． 【详解】解：∵，， A项：，∵，∴ π不在4和5之间，故A项错误； B项：，∵，∴, 不在4和5之间，故B项错误； C项：，∵，∴，符合条件，故C项正确； D项：，∵，∴，不在4和5之间，故D项错误． 故选：C． 5．一块面积为的正方形草坪，其边长（　　） A．小于 B．等于 C．在与之间 D．大于 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式，计算边长并估算的范围解答即可． 本题考查了正方形的面积，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵ 正方形的面积为， ∴ 解得， ∵ ，， ∴ ， ∴． 故选：C． 无理数整数部分的有关计算 6．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 7．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． 先估算无理数的整数部分可得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a为3， ∴ ， 故选B． 8．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 9．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 10．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 实数的分类 11．在下列各数中，，，，，无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是依据“无理数是无限不循环小数”的概念，区分有理数与无理数．逐一判断每个数的类型，统计其中无理数的个数． 【详解】解：根据无理数（无限不循环小数）的定义，逐一判断 是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是分数，是有理数． 综上，无理数有2个，此选项B符合题意． 故选：B． 12．下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．3.14159 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数，立方根及无理数，熟练掌握无理数及实数，立方根的概念是解题的关键；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，选项A、C、D均为有理数，只有B选项是无理数，然后问题可求解． 【详解】解：A.是分数，属于有理数； B.是非完全平方数的平方根，属于无理数； C.3.14159是有限小数，可化为分数，属于有理数； D.，是整数，属于有理数； 故选B． 13．下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 14．下列四个数①，，，，其中有理数是（　　） A．都不是 B．都是 C．只有④是 D．①②③都是 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类，有理数的定义，立方根，算术平方根，掌握相关知识点是解题的关键． 逐个分析判断即可解答． 【详解】解：①，是无理数，不符合题意； ，是无理数，不符合题意； ，是无理数，不符合题意； ，是有理数，符合题意． 综上所述，只有④是有理数． 故选C． 15．下列说法中，正确的是（   ） A．任何实数都有平方根 B．两个整数相除，永远都除不尽，结果一定是无理数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．实数包括正实数、负实数和0 【答案】D 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题的关键； 本题需要根据平方根、无理数、有理数和数轴的关系以及实数的分类等知识，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：A、根据平方根的定义可知只有非负数才有平方根，负数没有平方根，故选项A错误，不符合题意； B、两个整数相除，结果可能是整数，如，此时可以除尽；也可能是无限循环小数，如，属于有理数，故选项B错误，不符合题意； C、与数轴上的点一一对应的是实数，而不是有理数，数轴既可以表示有理数，又可以表示无理数，故选项C错误，不符合题意； D、实数的分类可以分为正实数、负实数和0，这是实数的基本分类方式，故选项D正确，符合题意． 故选：D ． 实数与数轴 16．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；由题意易得点A、B之间的距离为，然后根据对称可知点A、C之间的距离也为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：点A、B之间的距离为， 由点关于点对称后的点为，可知：点A、C之间的距离也为， ∴点所表示的数是； 故选D． 17．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，且点到点的距离等于正方形的边长，则点所表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，由算术平方根的定义得，进而即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵在数轴上，且表示的数为，点在点的左侧， ∴点所表示的数为，即， 故选：． 18．在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴与绝对值．根据实数a，b在数轴上的对应点的位置结合加减运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得， ∴，，，， ∴选项C符合题意； 故选：C． 20．如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算，正确估算无理数的大小是解决本题的关键． 估算出的大小即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示的点是点D， 故选：D． 程序设计与实数运算 21．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 22．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图，进行计算，直至结果为无理数，输出即可． 【详解】解：按照流程依次输出：，是无理数，输出， 故值是； 故选D． 23．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 25．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 科学计数法 26．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，2750000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选C． 27．“十四五”期间，中央资金投入1046亿元，扩充普通高中办学资源，高中阶段毛入学率达到．将数据“1046亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是将“亿”转化为对应数字，并依据科学记数法规则确定与的值． 先把“1046亿”转化为具体数字，再整理为（）的形式． 【详解】解：∵1亿， ∴1046亿． A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、（不满足），此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 28．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法表示较大数，科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵ 有12位整数， ∴ ， 又∵ 将小数点向左移动11位得到 ，满足， ∴ ． 故选：A． 29．据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：680000000用科学记数法表示为， 故选：B． 30．2025年中秋国庆假期，全社会跨区域人员流动量累计达24.32亿人次，日均3.04亿人次，同比增长．将数据“24.32亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：24.32亿， 故选：C． 实数的大小比较 31．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 由于分母相同，只需比较分子的大小即可解答． 【详解】解：由于分母相同，比较分子和的大小． ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：>． 32．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较． 估算出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故答案为：． 33．比较大小：①7 ；② ．（填：“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值、通分法及平方比较法是解题的关键．①直接比较数值大小；②通过通分转化为比较分子，再用平方运算比较无理数． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：；． 34．比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较；根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：，． 由于（因为）， 所以， 因此． 故答案为：． 35．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查实数的比较大小，掌握两个正数比较大小，被开方数大的数就大是解题的关键． 通过比较平方的方法判断两个正数的大小关系． 【详解】解：，，由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 常见形式： · 开方开不尽的数，如； · 含有π的数，如π、2π等； · 特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 实数的分类 1. 按定义分类： · 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 · 无理数：无限不循环小数。 2. 按大小分类： · 正实数：大于0的实数，包括正有理数和正无理数。 · 0：既不是正实数也不是负实数。 · 负实数：小于0的实数，包括负有理数和负无理数。 实数与数轴 1. 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2. 实数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数方法叫做科学计数法。 2. 当原数的绝对值大于或等于10时，n是正整数，n等于原数的整数位数减1。 3. 当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。 型 习 练 题 无理数的大小估算 1．无理数的大小在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．小于的正整数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．下面无理数中，大于4，且小于5的是（   ） A．π B． C． D． 5．一块面积为的正方形草坪，其边长（　　） A．小于 B．等于 C．在与之间 D．大于 无理数整数部分的有关计算 6．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 8．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 9．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 实数的分类 11．在下列各数中，，，，，无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．3.14159 D． 13．下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 14．下列四个数①，，，，其中有理数是（　　） A．都不是 B．都是 C．只有④是 D．①②③都是 15．下列说法中，正确的是（   ） A．任何实数都有平方根 B．两个整数相除，永远都除不尽，结果一定是无理数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．实数包括正实数、负实数和0 实数与数轴 16．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，且点到点的距离等于正方形的边长，则点所表示的数是（   ）    A． B． C． D． 18．在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 程序设计与实数运算 21．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 22．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 23．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 25．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 科学计数法 26．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，2750000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 27．“十四五”期间，中央资金投入1046亿元，扩充普通高中办学资源，高中阶段毛入学率达到．将数据“1046亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 28．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 29．据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 30．2025年中秋国庆假期，全社会跨区域人员流动量累计达24.32亿人次，日均3.04亿人次，同比增长．将数据“24.32亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 实数的大小比较 31．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 32．比较大小： （填“”、“”或“”）． 33．比较大小：①7 ；② ．（填：“”或“”） 34．比较大小： ．（填“”或“”） 35．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 程序设计与实数运算 科学计数法 实数的大小比较 学科网（北京）股份有限公司 $