第四章 三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学湘教版2024八年级上册

第四章 三角形·拔尖卷 【湘教版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 3．（3分）如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．（3分）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 6．（3分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 12．（3分）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 13．（3分）已知：△ABC在平面直角坐标系中如图放置，且B（3，0），现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 ． 14．（3分）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 15．（3分）已知分别是的高和角平分线，且，则的度数为 度，的度数为 度． 16．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若 ：，则的度数为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 18．（6分）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点D、E连接、．求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 19．（8分）（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 20．（8分）如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连结OD． (1)判断的形状，并证明； (2)当为多少度时，是等腰三角形； (3)添加或更改条件使是等边三角形． 21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E． (1)若a，b满足：． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 22．（10分）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 23．（12分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，，点的纵坐标满足． (1)求点的坐标； (2)动点从原点出发沿轴正方向运动，连接，作交直线于，射线与轴交于点，设，的长为，用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点在线段上时，将射线沿轴翻折，所得射线交边于点，连接，当时，求此时点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形·拔尖卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 2．（3分）（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 3．（3分）如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵点P是线段AB上的一个动点， ∴， ∴的度数可能是． 故选：C． 4．（3分）（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 5．（3分）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 6．（3分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 7．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（3分）如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可． 【详解】解：过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M． 由作图可知，垂直平分线段， ∴点G是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【详解】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（3分）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作，使得，连接，，利用等边三角形的性质结合平行线的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出即可得出，即可知三点共线时，的值最小，再利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质得出，最后再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，作，使得，连接，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，，此时这个值最小， ， ， ， ． 故答案为：15． 13．（3分）已知：△ABC在平面直角坐标系中如图放置，且B（3，0），现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 ． 【答案】（0，﹣2）或（2，2）或（2，﹣2） 【分析】在图形中画出点D的可能位置，结合直角坐标系，可得点D的坐标． 【详解】点D的可能位置如下图所示： 则点D的坐标为：（0，﹣2）、（2，2）、（2，﹣2）． 故答案是：（0，﹣2）或（2，2）或（2，﹣2）． 【点睛】考查了全等三角形的判定，解题关键是由全等三角形的判定得到在表格中点D的位置． 14．（3分）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解： 为的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 与的周长差是 ， 故答案为：8． 15．（3分）已知分别是的高和角平分线，且，则的度数为 度，的度数为 度． 【答案】 15 40或80 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形的内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当为锐角时，②当为钝角时，逐一分析求解，即可解答． 【详解】解：①当为锐角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． ②当为钝角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． 综上，，或． 故答案为：15，40或80． 16．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若 ：，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是根据三角形的外角的性质得． 根据 ，设，则，根据，和三角形内角和定理列式计算可得，然后证明 ，可得，再根据三角形的外角定义可得，进而可得的度数． 【详解】解： ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【详解】（1）证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 18．（6分）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点D、E连接、．求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，经平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，然后即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上． 19．（8分）（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 20．（8分）如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连结OD． (1)判断的形状，并证明； (2)当为多少度时，是等腰三角形； (3)添加或更改条件使是等边三角形． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当为或或，是等腰三角形 (3)当且时，是等边三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求得，由旋转得：，，从而得出结论； （2）先分别表示出，，和，然后分类讨论即可； （3）结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下： 是等边三角形， ． 由旋转得：，， 是等边三角形． （2）解：当为或或，是等腰三角形； 理由如下： 由（1）得是等边三角形．   ， ，， ， 由（1）得， ， ， ， 当，； 当，； 当，； 综上，当为或或，是等腰三角形； （3）解：当且时，是等边三角形； 理由如下：当且时， ， ， 在中，， 是等边三角形． 21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E． (1)若a，b满足：． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据非负数的性质求出，，得出，根据等腰三角形的性质得出； ②证明，得出，根据，即可得出答案； （2）过点F作轴于点H，证明，得出，，根据，得出，，从而得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：过点F作轴于点H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，余角的性质，非负数的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键． 22．（10分）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 23．（12分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）垂直，见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． （1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）根据全等三角形的判定得出，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【详解】解：（1）垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，，点的纵坐标满足． (1)求点的坐标； (2)动点从原点出发沿轴正方向运动，连接，作交直线于，射线与轴交于点，设，的长为，用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点在线段上时，将射线沿轴翻折，所得射线交边于点，连接，当时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，解得，可得，从而可得，结合，可得，即可得点的坐标； （2）利用“”可证，可得，当时，为等腰直角三角形，点、、重合，当时，，当时，，用和表示线段长度，即可得关于的分段函数，写出对应的的取值范围即可； （3）作，交延长线于点，可证，可得对应边相等，对应角相等，由翻折的性质，可得，等量代换，结合等角的余角相等，可证，可得，从而可得的长度，由（2）可知，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵， ∴当时，为等腰直角三角形，点、、重合， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，如图，，即， 当时，如图，，即， ∴． （3）解：作，交延长线于点，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质，可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，翻折的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，同角（等角）的余角相等，用点的坐标表示线段长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $