精品解析：四川省成都市教育科学研究院附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

成都教科院附中高2025级2025-2026学年（上）期半期考试 数学试题 命题人：张霞 陈泓宇 审题人：漆星星 满分150分，考试时间是120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考绩号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将其答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. -1 C. -1或 D. 1 2. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某食品的保鲜时长（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系．当时，，当时，．要保证该食品的保鲜时长不低于，则储藏温度不高于（ ） A. B. C. D. 7. 函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. D. 若时，则 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，，则， C. 函数的图象恒过定点 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 10. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 11. 设正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 14. 定义在上的函数，若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则的取值范围是_____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 17. 在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） （2）当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． （1）求函数和的解析式： （2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最小值为，求的值． 19. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有；②，使得．那么我们称是二元函数的下确界． 若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为，若，，，，则在上关于单调递增．已知在上关于单调递增，求数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都教科院附中高2025级2025-2026学年（上）期半期考试 数学试题 命题人：张霞 陈泓宇 审题人：漆星星 满分150分，考试时间是120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考绩号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将其答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. -1 C. -1或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】集合，，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可求解. 【详解】由题知集合，， 当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去）， 即时，，故B正确. 故选：B. 2. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解. 【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称， 则，所以， 函数为奇函数， 所以， 所以时，， 所以. 故选：A. 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 6. 某食品的保鲜时长（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系．当时，，当时，．要保证该食品的保鲜时长不低于，则储藏温度不高于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入与的值，可得与，再根据题干列不等式，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】由题可知，则，故， 设储藏温度不高于，该食品的保鲜时长不低于， 则，则，则. 故选：B. 7. 函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. D. 若时，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A：奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对B：通过奇偶性及函数周期即可判断；对C：通过函数周期可得，再利用计算即可得；对D：利用赋值计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则，则， 又，则，即有， 则，则有，故，故A正确； 对B：由，则周期为，又， 则，故的图象关于中心对称，故B正确； 对C：，又， 则，故，故C错误； 对D：由，则，即，故D正确. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 因为对任意， ，都有， 所以函数在上为减函数， 则， 解得：. 即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，，则， C. 函数的图象恒过定点 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：先求出定义域，结合函数单调性直接求出值域；B：修改量词否定结论，即可得到结果；C：由得到定点的横坐标，再根据解析式计算出定点的纵坐标，则结果可知；D：根据条件求解出的范围，则的定义域可知. 【详解】对于A：的定义域为，且在上单调递增， 所以的最小值，所以值域为，故A正确； 对于B：修改量词否定结论可得：，，故B正确； 对于C：令，解得，且，所以的图象过定点，故错误； 对于D：因为的定义域为，所以中，所以， 所以的定义域为，故D正确； 故选：ABD. 10. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：令可得结果；B：令可得结果；先结合奇偶性分析在上的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C． 【详解】对于A：令，则，所以，故正确； 对于B：令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确； 对于CD：，则， 因为，所以，所以，所以， 因为， 且， 所以，所以，即， 因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故D正确； 又因为，且，所以，故C错误； 故选：ABD． 11. 设正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，得到，结合条件得到，根据求出；D选项，由，结合条件得到；B选项，先得到，由D知，，故，求出；C选项，，，等号成立的条件均为，故. 【详解】A，正实数，满足， 设，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确； D，因为，所以，故， 又，故，即，， 当且仅当时，等号成立，D正确； B，因为，所以，由D知，故， 当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误； C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为， 故，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数幂运算计算得解. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 14. 定义在上的函数，若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，分、研究的值域，进而求得的取值范围； 【详解】由题设，令，得，则的大致图象如下： 当时，单调递减，若，值域为， 由，故， 所以（为常数），即是的两个不同根， 所以，与矛盾，即实数不存在； 当时，单调递增，若，值域为， ，则， 所以，整理得， ，解得，又，则， 由且，得， 而时，，显然不符合， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义结合函数单调性计算即可得； （2）结合二次函数性质，分、、、及讨论即可得. 【小问1详解】 由幂函数定义可得， 即，则或， 当时，在上单调递减，不符，故舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，有，则，则原不等式解集为； 若，当，即时，有，解集为； 当，即时，原不等式解集为； 当，即时，原不等式解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） （2）当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）150台，万元 【解析】 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时， ， 则. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 18. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． （1）求函数和的解析式： （2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最小值为，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数与偶函数性质计算即可得； （2）结合函数奇偶性与单调性可得与有关不等式，再利用二次函数性质计算即可得解； （3）结合换元法表示处后，利用二次函数对称轴与最值的关系分类讨论即可得. 【小问1详解】 由为上的奇函数，为上的偶函数， 则， 则，即， 则； 【小问2详解】 由为上的奇函数，则， 由在上单调递增，故在上单调递减， 则，即对任意的恒成立， 即函数在上的最大值小于等于， 由二次函数性质可知，的最大值在端点或处， 则有，解得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 ， 令，则， 由，则， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 令，， 则当时，，解得，符合； 当时，，解得，不符； 综上所述：. 19. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有；②，使得．那么我们称是二元函数的下确界． 若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为，若，，，，则在上关于单调递增．已知在上关于单调递增，求数的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，下确界为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据已知得，再应用基本不等式求最小值，即可得结论； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； 【小问1详解】 由可得，， 由可得，， 由 又，所以； 【小问2详解】 由得，，且， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，存在且下确界为； 【小问3详解】 因为在上是关于单调递增，所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，，显然， 由， ， 所以， 令， 因为，由可知，在单调递增， ， 所以存在，使， 设，， 设，，所以， 综上，，则的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $