精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学期中试卷 命题人：曹玉璋 审题人：刘蓓蓓 一、单选题 1. 已知命题，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解. 【详解】因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得， 命题：. 故选：C 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式化简集合B，然后求出，再求出补集即可. 【详解】全集， 集合，集合， 则，所以. 故选：D 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得 ， ， ， 所以， 故选：A. 4. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案. 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 5. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 6. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 7. 已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ） A. m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B. m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C. m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D. 时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”， 故其值域为，而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴且开口向上， 则在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故选：C. 二、多选题 9. 已知集合满足，若是偶函数，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合偶函数的知识求得，从而确定正确答案. 【详解】依题意，所以是非空集合， 因为是偶函数，所以. 对于，， 对于，当时，， 而是和的一个公共点， 所以当或或时，是偶函数. 故选：ABC 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误； 又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误； 由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确， 故选：AD． 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以A正确； B中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； C中，若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知a，，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】应用不等式的性质求的范围即可. 【详解】由题意，则，又，故， 即的取值范围是. 故答案为： 13. 已知函数，则函数的值域为______； 【答案】 【解析】 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域及不等式的性质可求得函数的值域. 【详解】，因为，则，所以 ，即， 所以，故函数的值域为. 故答案为： 14. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式看成的不等式，利用判别式法求得，再利用判别式法求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意，对任意的实数，不等式恒成立， 所以其， 即，从而任意的实数，恒成立， 所以其，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】根据对数运算与指数运算，可得答案. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 原式 16. 人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从级别跃升到乃至EB乃至级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 （1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由） （2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的倍?（注：） 【答案】（1）选择 （2）2025 【解析】 【分析】（1）描点，根据图象选择； （2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解. 【小问1详解】 由题意得 x 1 2 3 4 … 13 y 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 画出散点图如下： 由图易得，5个点在一条曲线上，应选择 【小问2详解】 由题意得，，则 则，即年. 预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的倍. 17. 函数的定义域为，若对任意的，均有. （1）若，证明：； （2）若，请写出一个满足已知条件的的解析式（不用说明理由）； （3）若对，证明：在上为增函数. 【答案】（1） 令，则， 因为，所以； （2），，（答案不唯一） （3） 令，且，则， 所以， 故， 因为对，所以， 故，即， 所以在上为增函数. 【解析】 【分析】（1）赋值法得到； （2）从任意的，，可得到函数增长速度越来越快，故指数函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明； （3）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造，，满足， 且满足对任意的，，理由如下： ， 因为，故，， 故对任意的，； 【小问3详解】 略 18. 函数是R上的奇函数，a，b是常数． （1）求a，b的值； （2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数是R上的奇函数，由求解a，b，然后再进行检验； （2）由（1）知，先利用单调性的定义证明是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式对任意实数x恒成立，转化为不等式对任意实数x恒成立求解； （3）由得不等式等价于，利用单调性及指数运算得，令，则在上恒成立，参变分离，利用二次函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 因为函数是R上的奇函数， 所以 ，解得， 当时，，因为， 所以为奇函数，故； 【小问2详解】 由（1）知，设，且， 则，因为，所以， 又，所以，即， 所以是R上的增函数， 因为不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 令，因为，所以， 当且仅当即，时等号成立，即的最小值为， 所以.即实数k的范围是； 【小问3详解】 由（2）知是R上的增函数，且为奇函数，，，有， 故，则不等式等价于， 等价于，等价于， 等价于， 令，因为，所以， 则在上恒成立. 对于在上恒成立，则有， 因为开口向下且对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以； 对于在上恒成立，则有， 因为开口向上且对称轴为，所以在上单调递增， 所以，所以； 综上，，即实数的范围为. 19. 已知. （1）已知命题：存在实数，对任意实数，都有，请直接判断命题的真假性（不用说明理由）； （2）若在上有最大值，请写出函数的解析式，并求的值域； （3）设，集合和集合. 当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）假命题 （2），值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）讨论的取值，得到一次函数或二次函数，由函数的最小值得到的取值，从而判断命题的真假； （2）由（1）可知函数存在最大值时的取值，然后由二次函数的对称轴求，然后由基本不等式求得最值，从而得到值域； （3）设的区间为，从而得到的区间，然后得到，由题意可求，代入得的关系，由韦达定理得，要想恒成立，即成立，由对称轴求出，建立等式求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数是开口向下的二次函数，故一定存在，使得，不符合题意； 当时，函数是一次函数，对任意，，不符合题意； 当时，函数是开口向上的二次函数，函数对称轴为， 函数存在最小值， ，不符合题意， 所以不存在实数，对任意实数，都有，即命题为假命题. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在R上存在最大值，则， ， ∵，∴，∴， 当且仅当即时取等号，故. 即的值域为. 【小问3详解】 ， 因，则可设不等式的解为，即， 即是方程的两根， 则，，且， 当时，， ∵，∴的解为， 又∵当时，，而的解集为， ∴在上的最大值必须是0，最小值必须. 二次函数在闭区间上的最大值为或， ∴，即，则，且，即 又∵， ∴， ∴， 即，∴， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学期中试卷 命题人：曹玉璋 审题人：刘蓓蓓 一、单选题 1. 已知命题，则命题为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 5. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ） A. m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B. m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C. m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D. 时，幂函数在上是增函数 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合满足，若是偶函数，则可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题 12. 已知a，，则的取值范围为______ 13. 已知函数，则函数的值域为______； 14. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 16. 人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从级别跃升到乃至EB乃至级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 （1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由） （2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的倍?（注：） 17. 函数的定义域为，若对任意的，均有. （1）若，证明：； （2）若，请写出一个满足已知条件的的解析式（不用说明理由）； （3）若对，证明：在上为增函数. 18. 函数是R上的奇函数，a，b是常数． （1）求a，b的值； （2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的范围. 19. 已知. （1）已知命题：存在实数，对任意实数，都有，请直接判断命题的真假性（不用说明理由）； （2）若在上有最大值，请写出函数的解析式，并求的值域； （3）设，集合和集合. 当时，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $