专题04 双曲线（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题04 双曲线（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识清单2 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【知识清单3 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识清单4 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 题型1 双曲线的定义 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义即可得. 【解答过程】由知，， 由双曲线定义知：， 故或，，故舍去. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【解答过程】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B. 4．（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【答案】4或12 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】设点到它的左焦点的距离是， 由可知，，即， 则由双曲线定义，解得或， 故答案为：4或12. 5．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 【答案】18 【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可. 【解答过程】双曲线C：的实半轴，半焦距， 而，则，所以. 故答案为：18. 题型2 双曲线的标准方程的求解 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【解答过程】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 7．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【解答过程】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D. 9．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【解答过程】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【解答过程】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型3 曲线方程与双曲线 11．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【解答过程】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 12．（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【解答过程】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 13．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【解答过程】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D. 14．（24-25高二上·湖北随州·期末）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用双曲线的定义即可得到结果. 【解答过程】因为该方程表示双曲线，所以，即或，即m的取值范围为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，，即可求的取值范围. （2）当时，曲线为双曲线，设，则，因为，所以，求出点的横坐标. 【解答过程】（1）曲线表示双曲线，则， 即，解得. （2）当时，曲线为双曲线， 点在曲线上，设，则，所以， 因为， 所以， 解得，故点的横坐标为. 题型4 双曲线中焦点三角形问题 16．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【解答过程】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：C. 17．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 18．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】D 【解题思路】由三角形面积公式结合双曲线定义先求得，再结合勾股定理即可得解. 【解答过程】不妨设点在双曲线的左支，且，又，所以， 因为，且， 所以，解得， 所以， 在直角三角形中，由勾股定理有，解得. 故选：D. 19．（24-25高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【解题思路】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长. 【解答过程】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 20．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【解答过程】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为：. 题型5 双曲线中距离的最值问题 21．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 22．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【解答过程】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D.    23．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 24．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【解答过程】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6. 25．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【解答过程】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 题型6 求双曲线的轨迹方程 26．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解答过程】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 27．（24-25高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【解答过程】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B. 28．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【解答过程】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 29．（24-25高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【解题思路】由题意，结合双曲线的定义即可求解. 【解答过程】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 30．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线的定义可求的方程； （2）利用点差法可证点在直线. 【解答过程】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为， 则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以， 即，所以， 即，所以点在直线上． 题型7 双曲线的简单几何性质 31．（24-25高二上·江苏泰州·期末）双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程可得，即可得焦距. 【解答过程】由双曲线，则，可得， 所以焦距为. 故选：D. 32．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解题思路】不妨设一个焦点为，一条渐近线方程为：，即，由点到直线的距离求解． 【解答过程】解：依题意得，，得，得， 不妨设一个焦点为， 一条渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线方程的距离为：． 故选：C. 33．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解题思路】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可． 【解答过程】的实轴的长为，虚半轴的长为4， 因为，所以曲线是双曲线， 实轴的长为，虚轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确． 双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确； 故选：D． 34．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【解题思路】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【解答过程】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为． 又，∴，故焦点坐标为， 取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即， ∴一个焦点到一条渐近线的距离为． 故答案为：. 35．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 【答案】答案见解析 【解题思路】由双曲线的性质逐一求解即可. 【解答过程】双曲线方程可以化成， 所以， 所以顶点坐标为， 焦点坐标为， 焦距为， 实轴长为， 虚轴长为， 令，可得，即渐近线方程为， 离心率为. 题型8 双曲线的渐近线方程 36．（24-25高二上·安徽·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由方程确定即可求解. 【解答过程】根据题意，，可知， 所以渐近线方程为：． 故选：A. 37．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线方程确定渐近线方程，结合已知求参数值即可. 【解答过程】由题设，则双曲线的渐近线为，即为，所以. 故选：C. 38．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】延长交于点，由，且是的角平分线，得到，结合双曲线定义，和为的中位线，求出，进而得到渐近线. 【解答过程】如图，延长交于点，由，且是的角平分线， 是等腰三角形，且，又∵点在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义有， 又有为的中位线，∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B． 39．（24-25高二上·重庆·期末）已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为 ． 【答案】 【解题思路】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，，所以两条渐近线的方程为. 故答案为：. 40．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【解题思路】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 题型9 求双曲线的离心率或其取值范围 41．（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【解答过程】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由 . 根据双曲线的定义： . 所以 . 所以. 故选：A. 42．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【解答过程】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 43．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解. 【解答过程】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B. 44．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知曲线的焦距为4，则其离心率为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意和方程可得，进而可得离心率. 【解答过程】由题意可知：，即， 由方程可知该双曲线方程为双曲线且，所以离心率. 故答案为：. 45．（24-25高二上·山东泰安·期末）双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将坐标代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，化简可得，再由离心率公式即可求解； （2）由题意可得，，双曲线的方程为，设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用消元法和代入法，可得的方程，即可得所求直线方程. 【解答过程】（1）因为是双曲线上一点， 可得，即为. 由题意可得，，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， 又，可得②， 由①②可得，， 代入①可得，解得， 则直线的方程为. 题型10 直线与双曲线的位置关系 46．（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【解答过程】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A. 47．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【解答过程】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 48．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 49．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果. 【解答过程】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 50．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先判断出焦点在轴上，并设双曲线方程为，利用待定系数法求解即可； （2）联立消元，借助判别式分类讨论即可. 【解答过程】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方， 双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，所以， 因为双曲线经过点，所以， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）结合（1）问：联立，可得， 当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意； 当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点， 则，解得或,且. 综上所述: 实数的取值范围为. 题型11 双曲线的弦长与“中点弦”问题 51．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 52．（24-25高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【解答过程】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D. 53．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 54．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解题思路】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【解答过程】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为：. 55．（24-25高二上·河北保定·期末）已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【解题思路】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【解答过程】（1）由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 题型12 双曲线中的面积问题 56．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 57．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积. 【解答过程】由题意得，，渐近线方程为，， ，故渐近线方程为， 连接，则由对称性得， 又，所以， 故，， 由于，故， 设点关于的对称点， 则，解得， 则， 由得，解得， 故，，， 故的面积为. 故选：D. 58．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【解题思路】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 59．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点. (1)若的重心在直线上，求k的值； (2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理以及重心坐标公式可得重心坐标，代入中即可求解， （2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，即可代入化简求解斜率，由弦长公式以及点到直线距离公式即可求解面积. 【解答过程】（1）设，联立方程，即， ， 又的重心为，由题设， 即 ，. 所以，则. （2）由题设，直线，联立方程即， ，则， ，代入化简得， 所以或（过M点舍），直线为，代入双曲线得， ，而M点到的距离为d，则， . 60．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由条件可得关于的方程，即可求解； （2）由直线方程与双曲线方程联立，并表示直线的直线方程，并求点的坐标，并转化为，结合韦达定理，即可表示求解. 【解答过程】（1）设，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离， 又，则，则， 所以双曲线方程为； （2）由（1）知，设直线，, 联立，得，， ，， 直线的方程为，当时，， 直线的方程为，当时，， 即，， 如图可知，， ， ， ， 当，时，，， 所以， 即， 当时，， 所以. 题型13 双曲线中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 62．（24-25高二下·浙江·期末）双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出圆的方程，联立方程组，由得出的范围，从而得解. 【解答过程】由题意，右焦点， 又，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为， ， 联立方程组， 得， 由圆与双曲线有公共点，所以， 即，结合， 化简为， 由方程两根为： ，， 所以不等式的解为，或， 由已知，得 所以， 当时，取得最小值. 故选：A. 63．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 64．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【解题思路】（1）根据题意可得，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，即可得轨迹方程； （2）求直线与双曲线的交点，结合几何意义分析最值即可. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 综上所述：， 可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，则， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）由题意可知：过点的直线方程为， 联立方程，解得或， 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则； 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为. 65．（24-25高二上·安徽·月考）已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面几何知识可证明，进而求出，再根据离心率列方程组求解； （2）直线与双曲线联立，计算出，再用换元法求函数值域. 【解答过程】（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把 代入方程，可得， 又， 即，又， 解得，， 双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为：，联立方程， 化简得， 设，则，，结合直线的方程得， 即中点坐标为. 于是，（倾斜角，） 当时，，直线方程为： ，令得，此时， 于是，令，则， 由知，当时，，故的最小值为. 题型14 双曲线中的定点、定值、定直线 66．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【解答过程】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 67．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或. 【解题思路】（1）表示顶点坐标，设，利用条件建立方程，即可得到结果. （2）设动直线方程以及直线斜率，联立直线与双曲线方程表示点坐标，代入直线方程可构造出都满足的一元二次方程，利用斜率之和为定值解决问题. 【解答过程】（1）由题意得，，设， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）存在，理由如下： 设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为， 则直线，直线，， 由得，，点的横坐标，纵坐标， 由点在动直线上，得， 整理得，同理得， 因此是方程的两个根，， 则为定值，令，则，代入动直线方程得， ，令，得， 代入动直线方程得，，即， 点代入（1）中轨迹方程得，，解得， 所以点的坐标为或. 68．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论. 【答案】(1) (2)直线MN恒过定点，证明见解析 【解题思路】（1）由和，可得，再求出点的坐标，再结合勾股定理即可求解； （2）直线MN的方程为，与双曲线联立，求得的值，再结合，整理化简后得到，再利用，求得，即可确定直线MN经过定点. 【解答过程】（1） 由离心率可得，即①， 利用得②， 根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为. 联立，得， 由可得，③， 由①②③解得，，. 所以双曲线的标准方程为. （2） 由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为， ，，由，得， 由，得， 所以，，易知，所以，， 因为，所以， 所以，所以， 化简得， 所以， 所以， 化简得，解得或， 因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以， 所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点. 69．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【解题思路】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【解答过程】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 70．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【解答过程】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识清单2 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【知识清单3 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识清单4 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 题型1 双曲线的定义 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 3．（24-25高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 5．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 题型2 双曲线的标准方程的求解 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 10．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 题型3 曲线方程与双曲线 11．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·湖北随州·期末）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 . 15．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 题型4 双曲线中焦点三角形问题 16．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 17．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 18．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 19．（24-25高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 20．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 题型5 双曲线中距离的最值问题 21．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 22．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 24．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 25．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 题型6 求双曲线的轨迹方程 26．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 30．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 题型7 双曲线的简单几何性质 31．（24-25高二上·江苏泰州·期末）双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 32．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 33．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 34．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 35．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 题型8 双曲线的渐近线方程 36．（24-25高二上·安徽·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·重庆·期末）已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为 ． 40．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 题型9 求双曲线的离心率或其取值范围 41．（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知曲线的焦距为4，则其离心率为 ． 45．（24-25高二上·山东泰安·期末）双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 题型10 直线与双曲线的位置关系 46．（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 49．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 50．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 题型11 双曲线的弦长与“中点弦”问题 51．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 55．（24-25高二上·河北保定·期末）已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 题型12 双曲线中的面积问题 56．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 58．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 59．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点. (1)若的重心在直线上，求k的值； (2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积. 60．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 题型13 双曲线中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 62．（24-25高二下·浙江·期末）双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 65．（24-25高二上·安徽·月考）已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 题型14 双曲线中的定点、定值、定直线 66．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 67．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 68．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论. 69．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 70．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $