精品解析：陕西省咸阳市礼泉县2025-2026学年高三上学期期中学科素养评价质量调研数学试题

礼泉县2025～2026学年度第一学期期中学科素养评价质量调研 高三年级数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据诱导公式将转换为锐角再求解即可。 【详解】. 故选：A 【点睛】本题主要考查了诱导公式的运用,属于基础题. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据交集和补集的定义可得. 【详解】由全集，，得， 所以. 故选：A. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题的真假，即可求解 【详解】命题，当时，，故为假命题； 命题，当或时，，故为真命题； 所以，和都是真命题，和是假命题. 故选：B 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同的角 C. 与都是正数 D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义及三角函数值在各象限的符号可得. 【详解】对于A：如是第二象限角，是第一象限角，，所以A错误； 对于B：因为，所以角与角是终边相同的角，所以B错误； 对于C：因为，所以与是终边相同的角，是第一象限角， 所以是正数，因为是第三象限角，所以是正数，所以C正确； 对于D：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为，所以D错误. 故选：C. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式，得到其解集，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”和“”之间的推出关系即可得解. 【详解】由已知，解得或， 所以，但， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设与的延长线交于圆心，根据弧长公式结合题意列方程组求出. 【详解】 如图，与的延长线交于圆心，设圆心角，扇形半径， 则，解得， 故选：A. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先表示出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称且， 所以， 所以. 故选：D 8. 设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据分段函数的解析式列不等式来求得正确答案. 【详解】当时，，不符合题意. 当时，. 所以， 由解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 10. 已知，均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式 “一正、二定、三相等” 的原则，对题干条件进行变形，结合各选项的结构特征，通过齐次化、代入特殊值、分式变形等方法逐一分析选项. 【详解】选项A，因为，当且仅当时取等号， 又，所以，即， 当且仅当，时取等号，故A正确； 选项B，因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以，故B正确； 选项C，已知，令，，则成立， 此时，故C错误； 选项D，已知， 则， 又，当且仅当，时取等号， 所以，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知且，函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则只有1个零点 B. 若，则在区间内有极值点 C. 对任意的，函数都是减函数 D. 函数可能有两个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，构造函数，再判断有一个解即可，通过求的导数，判断函数的极值点，判断B， 结合导数与单调性的关系判断C，结合选项B求函数在时的极值点判断D. 【详解】对于A：当时，，令，得，令， 则只需判断有一个解即可.由， 由，所以当时，，当时，. 所以在上递减，在上单调递增，所以， 故有一个解，所以A正确； 对于B：当时，，， 再令，则在上单调递增，且，. 在有唯一的零点， 当，单调递减；当，单调递增； 所以在区间的最大值只能在或处取到，且，， 所以恒成立，故在区间内无极值点，所以B错误； 对于C：当，，因， ，所以，所以函数是减函数，故C正确； 对于D：由B选项的解答可知，当时，，， 且在上恒成立，而， 当，所以， 所以函数在导函数由正变负，必有极值，在上导数由负变正也必有极值， 所以函数有两个极值点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、通分将分式不等式转化为整式不等式组求解即可. 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 函数在区间上的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】用导数研究函数分别在和的单调性，进而可得函数的最大值. 【详解】当时，，， 因为，所以， 所以（取不到等号），即， 所以函数在上单调递减，； 当，，，且， 所以，所以函数在上单调递增，且. 又因，所以， 所以当时函数的有最大值. 故答案为： 14. 设，其中.当满足时，可能取到的最大值为____________. 【答案】127 【解析】 【分析】先表示出，根据分析它们的情况，在写出结合对的分析得出最大值. 【详解】由， 又， 所以中有4个1，3个， 又， 所以可能取到的最大值时， ， 此时最大值为：， 故答案为：127. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域； （2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在上的最大值. 【小问1详解】 依题意有解得， 故函数的定义域为. 【小问2详解】 当时，，其中， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故函数在上的最大值为. 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）设函数的导函数，求函数的极值点； （3）设，其中为常数且，求函数的零点个数． 【答案】（1）极小值为，极大值为； （2）极值点是； （3） 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点． 【解析】 【分析】（1）对求导，找到导数为的点，通过导数符号判断函数在这些点两侧的单调性，即可确定极值． （2）先求出的表达式，因式分解后找到其零点，分析每个零点两侧的符号变化，即可确定极值点． （3）将函数的零点个数转化为为函数图象和直线的交点个数，结合的单调性和极值，对的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的交点个数，即零点个数． 【小问1详解】 由已知，则，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以函数的极小值为，极大值为． 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得，． 当时，；当时，， 所以是的极值点． 当或时，， 所以不是的极值点． 综上，函数的极值点是． 【小问3详解】 由已知得， 令，可得， 则函数的零点个数即为函数图象和直线的交点个数， 由（1）知，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 又因为，， 综上分析， 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点． 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为， 所以 ， 故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可得证； （2）利用函数的奇偶性和单调性，简化不等式即可求解； （3）将问题转化为方程在时有两个实数根的问题，再利用换元法并结合函数的单调性求出的值域，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 因此不等式等价于， 即，所以，解得， 故不等式的解集. 【小问3详解】 由已知，， 因为函数有两个零点， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 令，则. 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 所以原问题转化为方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根. 由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数和． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； （3）若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”．设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由． （注：可能用到的结论：当时，） 【答案】（1） （2） （3） 不妨设和的两个零点分别为，和，， 由（2）知： ，，且，． 设，则， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故，，单调递增， 故当时，，即， 当时，，即． 故，，同理有， 故，即． 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数的几何意义求解斜率，进而求切线方程； （2）先把的零点问题转化为、的零点问题.通过求导得出单调性，确定其值域，根据有两个零点得出范围，再结合性质，确定在该范围也有两个零点，进而得到取值范围. （3）设出零点，构造，求导分析其单调性.根据单调性比较与大小，得出零点大小关系，从而比较与大小. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，所以所求切线方程为， 即． 【小问2详解】 由，，得，， 则，的零点等价于，的零点． ，， 当，；当，； 在单调递减，在区间单调递增， 故当时，； 当时，，且当时，， 若有两个零点，则即． 当，；当，； 函数在单调递减，在区间单调递增， 若，则当时，，且，， 故当时，在区间和内各恰有一个零点． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼泉县2025～2026学年度第一学期期中学科素养评价质量调研 高三年级数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同的角 C. 与都是正数 D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知且，函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则只有1个零点 B. 若，则在区间内有极值点 C. 对任意的，函数都是减函数 D. 函数可能有两个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 函数在区间上的最大值为______． 14. 设，其中.当满足时，可能取到的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最大值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）设函数的导函数，求函数的极值点； （3）设，其中为常数且，求函数的零点个数． 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数和． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； （3）若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”．设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由． （注：可能用到的结论：当时，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $