山东省 威海荣成市2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测题 (五四学制)

2025-2026学年度第一学期初四数学学期中阶段质量反馈参考答案 1、 选择题（30分,每题3分） 1-5 ADCCB 6-10 BBCBD 二、填空题（15分,每题3分） 11. 内部 12. 13.-2或5 14.30- 15.②④ 三、解答题 16. （8分） 解：（1）原式 ---------------------------2分 ； ---------------------------4分 （2）原式 ----------------------------2分 ． ---------------------------3分 ----------------------------4分 17. （8分） 解：过点A作AF⊥MN，垂足为F， ---------------------------1分 设BF＝xcm， ∵BC＝9cm， ∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm， 在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°， ∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm）， --------------------------2分 在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°， ∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm， ------------------------3分 ∴0.7x＝0.4（x+9）， -------------------------6分 解得：x＝12， -------------------------7分 ∴AF＝0.7x＝8.4（cm）， ∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm． --------------------------8分 18.（9分） 解：（1）∵AB⊥y轴于点B， ∴∠OBA＝90°， 在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB， ∴OB＝4， ∴A（2，4）， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝4×2＝8； ∴反比例函数的解析式为y； --------------------------3分 （2）如图，过A作AF⊥x轴于F， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ADO＝45°， ∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°， ∴AF＝DF＝OB＝4， ∵OF＝AB＝2， ∴OD＝6， ∴D（6，0）， --------------------------4分 设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①， --------------------------7分 由（1）知，反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，或， ∴C（4，2）． --------------------------9分 19. （8分） 解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； --------------------------4分 （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；-------------------------8分 20. （9分） 解：（1）如图，作OG⊥AD，垂足为G， ∵ABCD是矩形，且BC＝160cm， ∴AG80cm， 根据题意可知AH＝BQ＝20cm， ∴OE＝GH＝AG﹣AH＝80﹣20＝60（cm）， ∴圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm； --------------------------3分 （2）∵PQ＝220cm，HQ＝80cm， ∴PH＝PQ﹣HQ＝220﹣80＝140（cm）， 在Rt△PEO中，设⊙O的半径为Rcm， 由勾股定理可得PE（cm）， ∴OG＝EH＝PH﹣PE＝（140）cm， 在Rt△OGD中，R2＝（140）2+802， 解得R＝100， 故门洞⊙O的半径为100cm． --------------------------9分 21. （9分） 解：（1）过点M作MP⊥l， ∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米， ∴∠MNP＝10°，MP＝0.27， ∵MP⊥l，sin10°≈0.174， 在Rt△MNP中，，， ∴（米）； --------------------------2分 （2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0）， ∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米， ∴B（5，﹣2.4）， 把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2， 得﹣2.4＝25a， ∴a， ∴yx2； --------------------------5分 （3）车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米， ∴10÷2﹣1＝4， ∴当x＝4时，， 则OG＝1.536， ∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864， 限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564 （米）， ∵涉及安全问题， ∴h＝3.564≈3.5（米）． --------------------------9分 22. （12分） 解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6， ∴A（2，6）， 将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12， ∴反比例函数表达式为 ； --------------------------3分 （2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m）， 由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12， 解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去）， ∴B（1，3）； --------------------------7分 （3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H， 过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°， ∴∠HEB+∠EBH＝90°， ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE＝90°，BE＝BA， ∴∠EBH+∠ABF＝90° ∴∠BEH＝∠ABF， ∴△EHB≌△BFA（AAS）， 设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n， ∴点E（6﹣2n，4n﹣2）， ∵点E在反比例函数图象上， ∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12， 解得 ，n2＝2（舍去）． ∴点E（3，4）． --------------------------12分 23. （12分） 解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点B（m，n）， 将点B的坐标代入函数表达式得：n＝（m）2m2； 故答案为：nm2； -------------------------3分 （2）方案一： 点B′（m，n）， 将点B′的坐标代入抛物线表达式得：na×m2， 故答案为：（m，n），nam2； 方案二： 点B（hm，k+n） 将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（hm﹣h）2+k， 解得：nam2， 故答案为：（hm，k+n），nam2； --------------------------6分 （3）∵AB＝4， ∴n142＝8， ∵两抛物线顶点距离为10， ∴n2＝18或2， 当n2＝18时，a＞0， ∴4a＝18， ∴a， 当n2＝2时，a＜0， ∴﹣4a＝2， ∴a； 综上，a或． -------------------------12分 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第一学期初四年级数学期中质量检测题 一。选择题（共10小题。每题3分） 1.已知点A(5,-2)关于y轴的对称点A'在反比例函数=《（≠0）的图象上，则实数k的值为 () A.10 B.-10 c D.品 2.已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm,此时小球距离桌面的高度为5cm,则这个斜坡 的坡度1为() 7777771777777777 A.2B.1:2C.1:V2D.1:V3 3.关于反比例函数y=-三的描述错误的是() A.图象必经过点（-1,5) B.图象位于第二、第四象限 C.当x>-1时，y>5 D.当x>0时，y随x的增大而增大 4.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在小正方形的顶点上， 则tan∠AOB的值是() A. 3v10 B.0 10 10 C. D. B [深度 图② 第4题 第5题 5.壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间， 增添绿意和艺术感.有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架.如图是其截面示意图，O为圆形 框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区.已知种植区的深度为4cm,弦AB的长为16cm, 则圆形框架的半径为() A.9cm B.10cm C.16cm D.20cm 6.一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适 用公式h=10t-5t,那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒)和弹起的最高高度五（米）分 别是() A.1,4 B.2,5 C.5,10 D.10,20 7…已知二次函数厂（xa）6的图象如图所示，则反比例函数广盟与一次函数厂axb的 图象可能是() 第1页（共6页） 8.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，ABLy轴于点B,函数y=(>0,>0)的图象 与线段AB交于点C,且AB=3BC.若△AOB的面积为12，则k的值为() A.4B.6C.8D.12 y 225 0.6 Q 0.3 81- D B m n x02001000 3000 图1 图2 第8题 第9题 第10题 9.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之 间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光 照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列 结论正确的是() A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 10.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是 个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位：m) (0≤≤)，P0为y(单位：m).如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(m, 81),且经过E（1,225)和F（n,225)两点.下列选项正确的是( A.m=12 D B.n=24 C.点C的纵坐标为240 D.点（15,85)在该函数图象上 二。填空题（共5小题，每题3分） 第12题 11.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是(5,4)，那么点P在⊙A的 12.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD//BC,BC=AD,AC与BD交于点E,ACLBD,则tan ∠BAC的值是 13.已知关于x的二次函数=-2mx+m+1,其中m为实数.当1≤x≤2时，该二次函数有最小值 10,则m的值为 14.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A处竖直 第2页（共6页） 上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高 度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米.（结果保留根 x=-1 y 号) B 45 130 2 E 博 尚 雅楼 第15题 楼 C A D 第14题 15,已知二次函数=a+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0,2)，其对称轴为直线 x=-1.下列结论：①3tc>0;②若点（-4，)，(3，)均在二次函数图象上，则>；③关 于x的一元二次方程ax+bx+c=-1有两个相等的实数根；④满足ax+bHc>2的x的取值范围为- 2<x<0.其中正确的结论有 (填序号) 三。解答题 16.计算：(8分) (1)V3cos245°-sn30°tan60°+2sin60°. (2)cos60°+sin45°-3tan30°+1-tan60°. 17.(8分)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）.为避 免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案， 通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 D 皮肤 D B N B N M 器官 新生物 图1 图2 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测 射线与皮肤W的夹角为∠DBN:再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测 射线与皮肤MW的夹角为∠ECW. 测量数 ∠DBN=35°，∠FCW=22°，BC=9cm 据 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.（结果精确到0.1cm) （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，c0s22°≈0.93， tan22°≈0.40) 18.(9分)如图，点A在反比例函数=兰(>0)的图象上，AB⊥y轴于点Btan∠A0B=AB= 2. (1)求反比例函数的解析式： (2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D,且∠AD0=45°，求点C的坐 第3页（共6页) 标 19.(8分) 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机 理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合， 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm, 起跳点与落地点的距离为160cm. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿 青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点0与 OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/cm M 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 Q x/cm 图1 (1)请直接写出顶点W的坐标，并求该抛物线的函数表达式： 问题解决：己知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变， (2)如图1，若仿青蛙机器人从点0正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)， 点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长 20.(9分)如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形 ABCD的边AB=80cm,BC=160cm.某学习小组用一根长为220cm的笔直竹竿PQ测门洞大小，调整 竹竿位置使点Q在边BC上，点P在圆弧上，且PQ⊥BC.测得BQ=20cm.记圆心为点O. (1)求圆心0到竹竿的距离0E的长. (2)求门洞⊙0的半径. 图1 图2 21.(9分)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原 理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读， 解决问题， 发现问题确 涉水线设置 限高架设置 定目标 第4页（共6页) 数学抽象绘 隧道入口 制图形 隧道 …限高架 侧面 ,涉水线处 M 一斜坡 图2 D 隧道及斜坡的侧面示意图可近 图3 E 似如图2所示， 图3为隧道横截面示意图， 由抛物线的一部分ACB和矩 形ADEB的三边构成. 信息收集资 当隧道内积水的水深为0.27米车辆进入隧道，应在行驶车 料整理 时（即积水达到涉水线处），车道内通行（禁止压线），且必 辆应避免通行. 须保证车辆顶部与隧道顶部 ACB在竖直方向的空隙不小于 0.3米 实地考察数 斜坡的坡角a为10°，并查隧道的最高点C到地面DE距 据采集 得sin10°≈0.174，cos10° 离为5.4米，两侧墙面高AD ≈0.985，tan10°≈0.176 =BE=3米，地面跨度DE= 10米.车辆行驶方向的右侧 车道线（宽度忽略不计）与 墙面的距离为1米 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离MW(精确到0.01米)： (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线AB的解析式： (3)限高架上标有警示语“车辆限高b米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 2.(12分)己知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数=3x(x≥0)的图象交于点A(2, a),点B是线段OA上（不与点A重合）的一点. (1)求反比例函数的表达式： (2)如图1，过点B作y轴的垂线1,1与y=(x>0)的图象交于点D当线段0=3时，求点B 的坐标： (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在y=(x>0)的图象上时， 求点E的坐标。 y B /B D 图1 图2 第5页（共6页） 23.（12分)在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对 二次函数图象的相关性质进行研究. 把“”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得AB为m厘米时，D为n 厘米 【猜想】 (1)探究小组先对=的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： 0 0 3 4 5 6 n01 2.25 6.25 9 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点 连线：用光滑的曲线顺次连接各点. 猜想：n与m的关系式是 对称轴 n本 -9 A C B -6 -5 -r-1 *4 D -3 --1-- -2 -2士.2.3436.789m 图1 图2 【验证】 (2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与m也存在类似的关系式， 并针对二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法（在 “口☐”内打“√”)并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a,m,,,k表示答案） 口方法1 ▣方法2 y y=a(x-h)24k y y=a(x-h)2+k 、 m m AtnC/B B y=ax2 D(h,k) D m A' 图4 图3 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到 原点O的位置，则： n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标 A B =AB=I,C=CD=n, 为 cg=受 将点B坐标代入y=a（x-h)2+k, 2 得到n与m的关系式 所以点B坐标 是 为 将点B坐标代入y=ar, 得到n与m的关系式 是 【应用】 (3)己知AB∥x轴且AB=4,两个二次函数y=2（x-h)2+k和=a（x-h)+d的图象都经过A, B两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值. 第6页（共6页）