精品解析： 江苏省梅村高级中学空港分校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题

江苏省梅村高级中学空港分校2025—2026学年度第一学期期中检测 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.11 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项符合题意.） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系结合特殊角的正切值可得. 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：D. 2. 国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm A. 12 B. 24 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为. 【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为； 对于大椭圆可得， 设小椭圆的长轴长为，则，解得. 故选：B 3. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 4. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 5. 在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律，结合向量的模公式即可求解. 【详解】在平行六面体中， 由，， 得，， 由图知，， 则 . 故选：A. 6. 直线等分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程得关系，然后利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意圆心坐标为，且圆心在直线上，所以，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 7. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（ ） A. B. 6或 C. 6 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题中条件可得结果． 【详解】由题意知，，， ∴， ∵两条异面直线，所成的角为，∴的夹角为或， ∴ 或， 所以或，则或． 故选：B． 8. 已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得C(4，0)和直线l过定点，设，利用平面向量的坐标表示得出P的轨迹方程，进而 根据，计算即可. 【详解】由题意知，圆C：，得圆心C(4，0)，半径为4， ，得直线l过定点， 设，则， 根据题意，得，所以，有， 即， 所以中点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去点M），所以， 所以，， 所以的取值范围为， 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 直线在轴上的截距为 C. “”是“直线：与：平行”的充分不必要条件 D. 若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：考虑斜率不存在与斜率为的情况即可得；对B：令，解出即可得；对C：由平行性质计算可得，再结合充分条件与必要条件定义判断即可得；对D：设出直线方程后求出平移后直线，再利用截距相等计算即可得. 【详解】对A：当一条直线斜率为时，另一条直线斜率不存在，故A错误； 对B：令，解得，故该直线在轴上的截距为，故B正确； 对C：若、平行，则有，解得或， 当时，直线：与：，符合； 当时，直线：与：，符合； 故“”是“直线与平行”的充分不必要条件，故C正确； 对D：当直线斜率不存在时，左移再上移后不可能回到原来的位置，舍去； 直线斜率存在时，设直线，则将直线沿轴向左平移3个单位长度， 可得，再沿轴向上平移1个单位长度，可得， 即，则有，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，设椭圆短轴顶点为，根据得的最大角为钝角即可判断A； 对于B选项，记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B； 对于C选项，结合题意得，进而计算面积判断C； 对于D选项，设，直接求解即可判断D. 【详解】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B错误； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：AC 11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为3 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点到的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值. 【详解】 对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误； 若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确； 若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以点到的距离， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则实数的值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：7. 13. 经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】画出图像，数形结合解决起来好理解. 【详解】 如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交， 设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为, 则符合要求的直线的倾斜角范围为， , 由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系， 满足条件的直线的斜率的取值范围为或 故答案为：或 14. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式可得，整理即可得，代入离心率公式即可得. 【详解】易知左焦点，直线的斜率为， 所以直线方程为，设 联立直线与椭圆方程，消去可得； 可得， 由可得， 即，所以， 故离心率. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【小问1详解】 解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. 【小问2详解】 , 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 16. 已知关于，的方程. （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； （3）若，求过点且与相切的直线方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）借助圆的一般方程表示圆需要满足的条件计算即可得； （2）得到圆心和半径后，结合点到直线的距离以及垂径定理计算即可得； （3）利用切线定义，分直线斜率不存在与直线斜率存在进行讨论即可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 即时，方程表示圆； 【小问2详解】 ，且， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得； 【小问3详解】 当时，，，， 若直线斜率不存在，则直线为， 此时圆心到的距离为，与半径相等，符合； 若直线斜率存在，设为，即， 则有，化简得，即， 即切线方程为； 综上所述：切线方程或. 17. 在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【小问1详解】 由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： 【小问2详解】 由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于，证得，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. （3）设，表示出，利用空间向量法得到方程，解得的值，即可得解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接交于，连接，， 因为，，所以，所以， 即，又，所以， 由于，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，因为平面平面，且，平面平面，平面， 所以平面，由于， 所以，，， 由余弦定理得， 所以，所以，则 ， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由得， 从而 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的长轴长为4，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）设线，联立方程，利用韦达定理可得，再根据面积关系运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为直线的斜率可以不存在，但不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 因为，可得 令，则，解得，即， 由题意可知：， 因为， 所以与的面积之比的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学空港分校2025—2026学年度第一学期期中检测 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.11 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项符合题意.） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm A. 12 B. 24 C. 10 D. 3. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 5. 在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 34 6. 直线等分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 18 7. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（ ） A. B. 6或 C. 6 D. 4或 8. 已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 直线在轴上的截距为 C. “”是“直线：与：平行”的充分不必要条件 D. 若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为3 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点到的距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则实数的值为______. 13. 经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 14. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知关于，的方程. （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； （3）若，求过点且与相切的直线方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的长轴长为4，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $