重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 2027届重庆一中高三开学数学卷，以AI投资、数据统计等现实情境为载体，通过新定义“不减性质”问题考察数学抽象与创新思维，适配高三开学学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、统计、导数、数列|基础概念与运算，如第5题AI投资增长计算| |多选|3/18|函数性质、逻辑推理|多选项辨析，如第11题函数零点与切线| |填空|3/15|向量、二项式定理、恒成立问题|简洁计算，如第14题函数恒成立求参数| |解答题|5/77|统计回归、椭圆、导数应用、概率分布、新定义函数|综合应用，如15题数据统计与预测，19题“不减性质”探究|

2027届重庆市第一中学高三上学期开学考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后, 将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知一组数据 的平均数为 4,方差为 2,则数据 的平均数和方差分别为 A. 7,8 B. 4,2 C. 2,4 D.7,7 3. 已知函数 在 处的导数值为 1, A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 A. -9 B. 12 C. 21 D. 5. 某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司 2026 年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从哪年起超过 1 亿元？(参考数据:lg2 ≈ 0.3，lg1.1≈0.04) A. 2031 年 B. 2032 年 C. 2033 年 D. 2034 年 6. 事件 与事件 相互独立,若 ,则 A. B. C. D. 7. 若函数 有三个不同的极值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知双曲线 分别为其左、右焦点,过 且倾斜角为 的直线 与 在第一象限的交点为 ,线段 上一点 满足 ,且 ,则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项 是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 下列说法错误的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 10. 已知函数 ,则 A. 若 时 取得极大值,则 B. 若 ,则当 时, C. 若 在 上不单调,则 D. 若 ,设 ,则 11. 已知函数 ,则 A. B. 的图象是轴对称图形 C. 曲线 不存在斜率为 的切线 D. 在 内所有零点之和为 3 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，若 ，则 _____. 13. 在 的展开式中， 的系数为_____. 14. 已知函数 ,若对任意 恒成立,则实数 的最小值是_____. 四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份 如下表所示: 2022 2023 2024 2025 2026 160 190 200 220 230 (1)计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； (2)设 ，用 模拟 与 的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为 . 16. 已知椭圆 的右焦点为 是 上动点， 是直线 上的动点， 最大值为 , 最小值为 1 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)过点 作直线 交椭圆 于 两点， 为原点，已知 面积为 1，求直线 的斜率. 17. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)若 满足 ，求实数 的取值范围. 18. 现有 张标号为 的质地、大小完全相同的卡片,其中 . 甲先随机抽 张卡片, 记录标号后全部放回,乙再随机抽 张卡片,记录标号后全部放回, . 设随机变量 是甲、 乙分别抽到的标号中,有多少种相同标号的数目; 随机变量 是甲和乙抽到的标号中,一共多少种标号的数目. 如甲抽 1,2,3、乙抽 2,3,4,有两种相同标号 2,3,则 ; 一共有四种标号1,2,3,4,则 . (1)若 ，求随机变量 的分布列； (2)求 和 的数学期望 ； (3)求 的方差 . (若随机变量 服从两点分布,则 也服从两点分布,且有 .) 19. 我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”,是指 ,若 ,则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . (1)求出 的定义域 ； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围； (3)若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $