精品解析：内蒙古呼和浩特市第四十中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

高一年级数学 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则与集合的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. [0，1] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（ ） A. B. x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值是__________. 13. 已知，且，则__________. 14. 已知全集，集合，，若，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明. 15. 求下列方程组及不等式组的解集. （1）； （2）. 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 18. 已知函数是上的偶函数，且． （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则与集合的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出集合后即可得. 【详解】，故. 故选：B. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定判断， 【详解】由题意得命题“，都有”的否定为“，使得”， 故选：A 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，， 不等式的解集是. 故选：D. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】，由可以推出，故必要性满足； 由不能推出，故充分性不满足； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. [0，1] 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（ ） A. B. x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项． 【详解】对于A，满足函数的定义，故A正确； 对于B，由对应关系可知，不满足函数的定义，一个对应两个不同的的值，故B错误； 对于C，，一个对应两个不同的的值不满足函数的定义，故C错误； 对于D，由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确． 故选：AD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A代入特殊值即可判断A的正误，对于B左边减去右边，根据题意可判断B的正误，对于C由，两边同乘即可判断，对于D由不等式的性质即可判断 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：作差得， ，则， ，则，故B正确； 对C：若，可知，则，故C正确； 对D，又，两式相加，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据基本不等式和为定值求解最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 13. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式再根据即可进行求解. 【详解】令，则， 可化为， 函数的解析式为， ，，解得. 故答案为：. 14. 已知全集，集合，，若，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合A，根据列出不等式求出m的范围，再根据补集运算求解即可. 【详解】集合，且， 若，则或，解得或，即， 故当时，实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明. 15. 求下列方程组及不等式组的解集. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入消元法求解即可； （2）分别解出两个不等式，然后取交集. 【小问1详解】 ， 从而解得或， 故解集为. 【小问2详解】 不等式 等价于，解得， 不等式等价于，解得， 所以不等式组 的解集为. 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）首先根据指数函数的单调性解不等式求出集合B，然后再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）根据题意可得，再对分是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 ∵ ∴或. ∴或，. 又∵， ∴，. 【小问2详解】 ∵， ∴. 当时，，解得. 当时，∴，解得. 综上实数m的取值范围是或. 17. 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 【答案】（1） 根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式； 只有符合题意； 将代入表达式可得， 解得 （2）最大车流量为千辆/小时,此汽车的平均速度千米/小时. 【解析】 【分析】（1）由基本初等函数模型性质并结合表中数据变化规律可得结论，代入计算可求得； （2）利用基本不等式计算即可得最大车流量为千辆/小时,此时平均速度千米/小时. 【小问1详解】 符合题意,理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 由基本不等式可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立； 因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时. 18. 已知函数是上的偶函数，且． （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）在上单调递减.证明如下： 设， 则. 因为，所以，，. 所以，所以，即. 所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性可求的值，根据可求的值. （2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）结合函数的奇偶性和单调性，将函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以恒成立. 所以对恒成立. 所以. 由. 故，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数为偶函数，所以. 由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称. 所以或， 解得或. 所以不等式的解集为：. 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $