第一章 特殊平行四边形 学业水平评价试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 一、单选题 1．将一正方形纸片按如图步骤1，2沿虚线对折两次，然后沿3中虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     2．如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3，则图中阴影部分的周长为（ ） A．11 B．16 C．19 D．22 3．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（  ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 4．相同的菱形叠放在一起，可得到更多菱形．如图，2个相同的菱形叠放在一起，可得到3个菱形．若将3个相同的菱形叠放在一起，最多可得到菱形的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 6．如图所示，在中，，垂直平分腰，若，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（    ）     A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ） A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形 10．如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形，即、、，当满足什么条件时，四边形是菱形（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在矩形中，，则的长是 ． 12．如图所示，矩形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则 ． 13．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取点E，使AE= AB， 则∠EAB= ，∠BEC= ． 14．如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 ． 16．如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为 三、解答题 17．如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC．    18．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 19．如图1，点E、F分别在正方形的边、上，与交于点G．已知．    (1)求证：； (2)以点G为圆心，为半径的圆与线段交于点H，点P为线段的中点，联结，如图2所示，求证：． 20．如图，在中，的外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求证：四边形是正方形； (2)已知的长为6，求的值． 21．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料， （1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是________； （2）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是矩形； （3）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是菱形； （4）对角线AC、BD满足条件_________时，四边形EFGH是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】按照题目要求弄清剪去的是对角线互相垂直平分的四边形，即为菱形，又菱形的顶点在折痕上，可得正确答案；或动手操作，同样可得正确答案． 【详解】由题意知，剪去的是对角线互相垂直平分的四边形，即为菱形，又菱形的顶点在折痕上． 故选A． 【点睛】本题考查了图形的折叠和动手操作能力，对此类问题，在不容易想象的情况下，动手操作不失为一种解决问题的有效方法． 2．D 【详解】阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC， =AD+DE+EC+EA+EB′+B′C， =AD+DC+AB′+B′C， =3+8+8+3 =22． 故选D． 3．B 【详解】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 4．C 【分析】根据题意画出图形，从图形中得出菱形的个数即可． 【详解】解：如图，用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，    故选：C 【点睛】此题考查了菱形，正确画出图形是解题的关键． 5．C 【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴，是直角三角形， ∴， 在中，， 设， 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟悉菱形的判定方法是解答本题的关键，连结，，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到最后利用菱形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 垂直平分腰， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】此题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定和性质．由平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小． ∵，， ∴， 又∵四边形的平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：B． 8．A 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点、、三点共线时，最小． 【详解】解：正方形的边长为， ，， 点是边的中点， ， 连接，    ， 将沿翻折得到， ， ， 当点、、三点共线时，最小，    ∴的最小值为 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 9．C 【详解】解：连接AC，BD， ∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH一定是中心对称图形， 当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形， 当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH可能是轴对称图形， 故选C． 【点睛】本题考查中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形． 10．A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，根据等边三角形的性质证明，，得到，，推出为平行四边形；当时，为菱形即可得出结论． 【详解】解：当时，为菱形， ∵和都是等边三角形， ∴； ∵， ∴ ∴； ∴ ∴ 同理可证：， ∴ ∴为平行四边形； ∵， ∴． ∴是菱形， 故选：A． 11．3 【分析】矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答． 【详解】∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互平分，是解答本题的关键． 12． 【分析】根据翻折不变性可知，设为，则得到为，于是可知；在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， 设，则 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，正确利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 13． 30° 75° 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=BC，DC∥AB， ∵AB=AE，AB=2CB，∴AE=2AD，∴∠DEA=30°， ∵DC∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°， ∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠EAB）=75°， ∵AB//CD，∴∠BEC=∠ABE=75°， 故答案为30°，75°. 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠AED的度数． 14．4或/或4 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 15．（0，-） 【详解】解：由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC， ∵四边形OABC为矩形， ∴OC//AB， ∴∠BAC=∠DCA， ∴∠B′AC=∠DCA， ∴AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ，即， 解得：x=， ∴点D的坐标为：（0，）， 故答案为（0，）． 16． 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=24，∠BAD=∠D=90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH=GH， ∴∠BAH+∠ABH=90°， 又∵∠FAH+∠BAH=90°， ∴∠ABH=∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF=DE=10， 在Rt△ABF中， BF==26， S△ABF=AB•AF=BF•AH， ∴24×10=26AH， ∴AH=， ∴AG=2AH=， ∵AE=BF=26， ∴GE=AE-AG=26-=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 17．证明见解析 【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，从而得到OCED是矩形，由勾股定理即可求出BC=OE． 【详解】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°． ∴四边形OCED是矩形．∴DE=OC． ∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°， ∴． ∴BC=OE． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知正方形的性质是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再证明，再根据等角的余角相等即可得出结论； （2）根据圆的知识证明垂直平分，再根据等腰三角形的性质与判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ， ∵，， ∴， 故， ∴， ∵， ∴，即 ∴； （2）由题意可知：，且（1）有：， ∴垂直平分，故， 在中，，，∴， 在中，，P为线段的中点，， 故， ∴． 【点睛】本题考查的是圆的知识、正方形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)72 【分析】此题考查了正方形的判定定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）作于G，则．证得四边形是矩形．根据角平分线的性质定理得到，从而推出，得到四边形是正方形． （2）证明，得到．同理，，推出，得到．设，则．由勾股定理，得，整理得，进而得到 【详解】（1）证明：作于G，如图，则． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵的外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ∴． 在和中， ∴， ∴． 同理，， ∴， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 整理得， ∴． 21．（1）平行四边形；（2）AC⊥BD；（3）AC=BD；（4）AC⊥BD且AC=BD． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形； （2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直； （3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等； （4）联立（2）和（3），所得四边形要成为正方形，则需对角线垂直且相等． 【详解】解：（1）连接AC、BD． ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，FG∥BD，FG=BD，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD． ∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH． ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD； （3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD； （4）要使四边形EFGH是正方形，综合（2）和（3），则需AC⊥BD且AC=BD． 【点睛】此题主要是对三角形的中位线定理的运用． 同时熟记此题中的结论： 顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形； 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形； 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形； 顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得四边形是正方形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $