精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年 八年级上学期期中测试数学试题

初二期中质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若等边三角形的边长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知AB=AC，AD=AE，，若要得到△ABD≌△ACE，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）． A. BD=CE B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 5. 已知单项式与的积为，则的值为（ ） A 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若，，则______． 8. 已知三角形的三边长分别为1，x，9，则x的取值范围为_______________． 9. 如图，，于，，则的长度为______． 10. 如果，那么______． 11. 如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 13. 先化简，再求值：，其中． 14. 如图，AB=AD，∠B=∠D．∠BAC=∠DAE, AC与AE相等吗？说说你的理由， 15. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形． （2）在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形． （3）在图③中以线段为边画等腰钝角三角形． 17. 如图，，均是等边三角形，连接且点，，在同一条直线上，连接，求证：． 18. 某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当，时，求该零件模型的面积． 19. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 20. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______； （2）已知，，求值； （3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和． 21. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间关系． 22. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二期中质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若等边三角形的边长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，由此即可计算． 【详解】解：∵等边三角形的边长是， ∴的周长． 故选：A． 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵ 和不是同类项，无法合并，∴选项B错误； ∵ ，∴选项C正确； ∵ ，∴选项D错误； 故选：C． 4. 如图，已知AB=AC，AD=AE，，若要得到△ABD≌△ACE，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）． A. BD=CE B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：AB=AC，AD=AE， A、若BD=CE，则根据“SSS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误，不符合题意； B、若∠ABD=∠ACE，则符合“SSA”，不能判定△ABD≌△ACE，不恰当，故本选项正确，符合题意； C、若∠BAD=∠CAE，则符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误，不符合题意； D、若∠BAC=∠DAE，则∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE，符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理． 5. 已知单项式与的积为，则的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 6. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当的垂直平分交于点D时，，然后证明的周长等于，即可进行判断． 【详解】解：当的垂直平分交于点D时， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法的逆运算法则是解题的关键，利用同底数幂的除法的逆运算法则变形计算即可． 详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 8. 已知三角形的三边长分别为1，x，9，则x的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的边长关系即可求解． 【详解】解：由题可知：， 即， 故答案为：． 9. 如图，，于，，则的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一．根据等腰三角形底边上的高线，中线和角平分线共线求解即可． 详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：2． 10. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据条件，利用平方差公式，代值求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．利用全等三角形的判定和性质进行分析解答． 【详解】解：在与中， ∵，，， ∴， ∴，，故②正确； ∴， 即：，故①正确； ∴，即：， ∴， ∴与不一定相等，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，合并同类项，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用幂的乘方化简，再合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 13. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及单项式与多项式的乘积，整式的加减，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先利用单项式与多项式的乘积，整式的加减进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 14. 如图，AB=AD，∠B=∠D．∠BAC=∠DAE, AC与AE相等吗？说说你的理由， 【答案】AC =AE，理由详见解析. 【解析】 【详解】【分析】根据ASA证明△ABC ≌△ADE，利用全等三角形的对应边相等即可得AC=AE. 【详解】AC =AE．理由如下： 在△ABC和△ADE中， ， 所以△ABC ≌△ADE（ASA）， 所以AC =AE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，结合图形熟练应用全等三角形的判定方法进行判定是解题的关键. 15. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知： ； 【小问2详解】 解：设被遮住的一次项系数为， 即， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形． （2）在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形． （3）在图③中以线段为边画等腰钝角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可； （3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，或或即为所求， 图 由勾股定理可知， 有图可知：， 或或都是满足条件的等腰锐角三角形； 【小问2详解】 如图，或即为所求， 图 由图可知，， ，，满足勾股定理逆定理， 或都是满足条件等腰直角三角形； 【小问3详解】 如图，即为所求， 图 如图，，且， 是满足条件的等腰钝角三角形． 【点睛】本题主要考查无刻度直尺作图，涉及等腰三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键． 17. 如图，，均是等边三角形，连接且点，，在同一条直线上，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，推出，即可得证． 【详解】解：∵，均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当，时，求该零件模型的面积． 【答案】（1） （2）67 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则． （1）根据该零件模型的面积=大长方形的面积-2个小长方形的面积，列出算式，再根据多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则进行化简即可； （2）把代入（1）中化简的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：该零件模型的面积为： ； 小问2详解】 解：当时， 该零件模型的面积 ． 19. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______； （2）已知，，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）； （2）； （3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答题的关键. （）用两种方法，分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可； （）根据（）的结论代入计算即可； （）由题意得，，根据长方形的面积为可得，可设设，，则，，根据 代入计算即可． 小问1详解】 解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 21. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系， 过点B作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标； 过点B作交于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． 【小问1详解】 解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； 【小问3详解】 解：过点B作交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 22. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①同意，理由见解析；②3 （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $