精品解析：陕西省西安市长安区2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025～2026学年度第一学期期中学习评价八年级数学纸笔测试 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 点P坐标为（m＋1，m－2），则点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是（ ） A. a<c<b B. a<b<c　　 C. c<a<b D. c<b<a 7. 如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．若点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（　　　） A. B. C. 1或3 D. 2或3 10. 如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为（　　） A. 12 B. 13 C. 25 D. 36 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11. 的算术平方根是___________． 12. 已知，点在轴上，则点的坐标为______． 13. 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为___________． 14. 若一个三角形三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积是______ ． 15. 是的立方根，的立方根是，则______． 16. 如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是______． 17. 观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝_____，b＝_____，c＝_____． 18. 学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为份，所获得的利润为元，则与的关系式为______． 三、解答题（共8小题，计66分，解答应写出过程） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图． 请你根据此图填空： （1）水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报； （2）若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数． 22. 如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 23. 已知：． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）求的面积； （3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 24. 如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． （1）求两点之间的距离； （2）若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 25. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、点，且的面积为9． （1）求的值； （2）如图2，若点是线段上一动点，过点作，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 26. 阅读一下： 在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 应用一下： （1）若点、，则轴，的长度为___________； （2）若点，且轴，且，则点的坐标为_________； 拓展一下： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，根据上述规定解决下列问题： （3）如图1，已知，，则___________； （4）如图2，已知，，若，则___________； （5）如图3，已知，点在的正半轴上，且三角形的面积为，设，写出关于的表达式（不要求化简，不注明变量取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中学习评价八年级数学纸笔测试 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵43=64，∴64的立方根是4， 故选A 考点：立方根． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B．=，被开方数含分母，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．=a2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C． 点睛：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，直接根据二次根式的运算法则分别计算即可. 【详解】因为不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选D． 5. 点P坐标为（m＋1，m－2），则点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限坐标的符号及不等式的解集求解 ． 【详解】解：A、当m>2时，m+1与m-2都大于0，P在第一象限，所以A不符合题意； B、若P在第二象限，则有m+1<0、m-2>0，即m<-1与m>2同时成立，但这是不可能是的，所以B符合题意； C、当m<-1时，m+1与m-2都小于0，P在第三象限，所以C不符合题意； D、当-1<m<2时，m+1>0，m-2<0，P在第四象限，所以D不符合题意； 故选B ． 【点睛】本题考查直角坐标系各象限点坐标符号与不等式的综合应用，根据不等式的解集确定点的坐标符号并最终确定点所在象限是解题关键． 6. 图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是（ ） A. a<c<b B. a<b<c　　 C. c<a<b D. c<b<a 【答案】C 【解析】 【详解】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可． 解答：解：∵AC==5=，BC=AB=4=， ∴b＞a＞c， 即c＜a＜b． 故选C． 7. 如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选D． 8. 如图，函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由可知：， 当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第二、三、四象限； ∴符合题意的只有D选项； 故选D． 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．若点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（　　　） A. B. C. 1或3 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3m-5=m+1或3m-5=-（m+1），解出m的值． 【详解】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴3m-5=m+1或3m-5=-（m+1）， 解得：m=3或1， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 10. 如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为（　　） A. 12 B. 13 C. 25 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，由图形可知大正方形的边长即为直角三角形的斜边长，利用勾股定理得到的值，再根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，得到，最后结合完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：大正方形的面积是13， 大正方形的边长，即直角三角形的斜边长为， 直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为， ， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积， ， 即， ， 故选：C． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 12. 已知，点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，轴上的点，其横坐标为零，得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ，解得； ∴代入纵坐标， 故点； 故答案为：． 13. 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 14. 若一个三角形三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积是______ ． 【答案】96 【解析】 【详解】∵122+162=144+256=400=202， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是：=96（cm2）， 故答案为96. 15. 是的立方根，的立方根是，则______． 【答案】512 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 16. 如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 17. 观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝_____，b＝_____，c＝_____． 【答案】2n，n2﹣1，n2+1． 【解析】 【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数． 【详解】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5 n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10 n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17… ∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1． 故答案为2n，n2﹣1，n2+1． 考点：勾股数． 18. 学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为份，所获得的利润为元，则与的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据利润等于卖出报纸的收入加上退回报纸的退款减去总成本，列出关系式并化简即可． 【详解】解：根据题意，卖出报纸份的收入为元，退回报纸份的退款为元，总成本为元， 因此，利润与的关系式为：， ∴； 故答案为． 三、解答题（共8小题，计66分，解答应写出过程） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握立方根、算术平方根及实数的运算是解题的关键； （1）根据立方根可进行求解； （2）根据算术平方根及实数的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. 某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图． 请你根据此图填空： （1）水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报； （2）若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数． 【答案】（1）1000，30 （2）持续干旱50天时，水库的水将干涸 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）从图象中获取信息作答即可； （2）待定系数法求出函数解析式，求出时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图象可知，水库原蓄水量是1000万立方米，当时，，故持续干旱30天后，发出严重干旱预报； 【小问2详解】 设关于的函数表达式为：， 由题意可得， 解得， 所以函数表达式为． 当时，， 解得． 故持续干旱50天时，水库的水将干涸． 22. 如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，即可根据证明； （2）由中，，，则，，由全等三角形性质可得，，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 23. 已知：． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）求的面积； （3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与图形的性质，网格图与三角形的面积． （1）确定出点A、B、C的位置，顺次连接即可； （2）过点C向x轴、y轴作垂线，垂足为D、E，由即可求解； （3）分两种情况讨论，当点在x轴上时，；当点在y轴上时，，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C向x轴、y轴作垂线，垂足为D、E， 【小问3详解】 解：当点在x轴上时， ， 即， ， 点的坐标为或； 当点在y轴上时， ， 即， ， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 24. 如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． （1）求两点之间的距离； （2）若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】（1）400海里 （2）该轮船行驶的最短距离为192海里 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． 【小问2详解】 如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 25. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、点，且的面积为9． （1）求的值； （2）如图2，若点是线段上一动点，过点作，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而求解即可； （2）由题意可设直线的表达式为，然后可得，即直线的表达式为，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于点、点， ∴令时，则有，解得：；令时，则有， ， ， ， ， ， 解得：， 由题图知， ； 【小问2详解】 解：，设直线的表达式为， 则， ， 直线的表达式为， 令，得， ， ， 线段的长为， ． 26. 阅读一下： 在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 应用一下： （1）若点、，则轴，的长度为___________； （2）若点，且轴，且，则点的坐标为_________； 拓展一下： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，根据上述规定解决下列问题： （3）如图1，已知，，则___________； （4）如图2，已知，，若，则___________； （5）如图3，已知，点在的正半轴上，且三角形的面积为，设，写出关于的表达式（不要求化简，不注明变量取值范围）． 【答案】（1）1；（2）或；（3）5；（4）或；（5） 【解析】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． （1）根据若，则轴，且线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）由轴，可设点的坐标为，根据列方程，解之即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （4）根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （5）根据两点之间的折线距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由点、可知：轴，的长度为， 故答案为：1． （2）由轴，可设点的坐标为， ∵，， ，解得：或1， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． （3）∵，， ∴． 故答案为：5． （4）∵，，， ， 解得：． 故答案为：或． （5）设点的坐标为，知， ∵， 根据三角形面积公式有， ∴ ∵， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $