第三章 圆 学情评估卷 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 足球比赛常依据VAR(视频助理裁判)判定球是否出界，以得到更加公正的比赛判罚．如图，把足球与场地边界线看作圆与直线，它们的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 (第1题) (第3题) 　　　　(第4题) (第5题) 2．下列命题为假命题的是(　　) A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．经过三个点一定可以作圆 C．三角形的内心到三边的距离都相等 D．半径相等的两个半圆是等弧 3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是(　　) A．30° B．35° C．40° D．55° 4．如图，四边形ABCD内接于圆，∠A＝2∠C，则∠C等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝50°，则∠CAD的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．90° 6．如图，AB切⊙O于点B，OA＝，AB＝1，弦BC∥OA，则劣弧BC的长为(　　) A. B. C. D．π (第6题) (第7题) (第8题) 7．如图，将一枚圆形铜钱放入一个透明的矩形袋子ABCD中，铜钱与矩形袋子的下边沿BC相切于点E，与上边沿AD交于点F，G，若AB＝3，FG＝8，则该圆形铜钱的半径为(　　) A. B. C．5 D．4 8．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝12，在AB上取点E，连接EO并延长交CD于点F.若OE∶OF＝1∶2，则AB的长为(　　) A．12 B．6 C．2 D．4 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 9．一条长为2π的弧所对的圆心角为120°，则这条弧所在圆的半径是________. 10．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，若sin∠BAC＝，BC＝2，则⊙O的半径为______. (第10题)　(第11题) (第12题) 11．如图，点C在以AB为直径的半圆O上，半径r＝1，∠B＝40°，则的长为________．(结果保留π) 12．如图，OA⊥OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2，将OB所在直线绕点O按顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为____________．(旋转角度小于180°) 13．如图，扇形AOB中，∠AOB＝140°，C为OA的中点，OA＝4，CD⊥AO交于点D，以OC为半径作交OB于点E，则图中阴影部分的面积为________. (第13题) (第14题) 14．如图，在⊙O中，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，过点C作DE⊥OC，交⊙O于点D，E，则DE的最大值为________. 三、解答题(共6小题，共58分) 15．(6分)如图，已知弧上的三点A，B，C.用尺规作图法，找出所在圆的圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) 16.(8分)如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F，G，H，D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． (1)若∠C＝40°，求∠AOB的度数； (2)若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长. 17．(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长. 18．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OF⊥AC，交⊙O于点F，垂足为E. (1)∠CAB的度数为________； (2)求OE的长； (3)求阴影部分的面积. 19．(12分)如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E. (1)求证：DE∥AC； (2)若tan A＝，CE＝5，求BE的长． 20．(14分)【问题提出】 (1)如图①，四边形ABCD为圆的内接四边形．已知∠C＝3∠A，BD＝4，则的长为________． 【问题解决】 (2)如图②，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板ABCD的长BC为10 m，宽AB为6 m．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为2 m的圆形部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边BC，CD相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的部件．已知该直线交AB于点M，与⊙E交于点P，Q，且点P位于点Q的左侧，求MP的长. 答案 一、1.C　2.B　3.B　4.C　5.A　6.C 7．A　8.D 二、9.3　10.3　11. 12．60°或120°　13.2π＋2　14.6 三、15.解：如图，点O即为所求． 16．解：(1)∵∠C＝40°， ∴∠ABC＋∠BAC＝180°－40°＝140°. ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴∠BAO＝∠BAC， ∠ABO＝∠ABC， ∴∠OAB＋∠OBA＝(∠BAC＋∠ABC)＝×140°＝70°， ∴∠AOB＝180°－70°＝110°. (2)设DE与⊙O相切于点I，如图， 易知EH＝EI，DI＝DG， ∴△CDE的周长为CD＋CE＋DE ＝CD＋CE＋EI＋DI ＝CG＋CH. ∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F，G，H， ∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∴CG＋CH＝(AB＋BC＋AC)－(AH＋AF＋BF＋BG) ＝6＋9＋8－2×(AF＋BF) ＝6＋9＋8－2AB ＝6＋9＋8－2×6＝11， 即△CDE的周长为11. 17．(1)证明：如图，连接BD， ∵∠BAD＝90°， ∴点O在BD上，即BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC＋∠CDE＝90°. ∵∠DEC＝∠BAC， ∴∠BAC＋∠CDE＝90°. ∵＝，∴∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC＋∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE. ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线． (2)解：如图，设AC与BD交于点F. ∵DE∥AC，∠BDE＝90°， ∴∠BFC＝90°，即BF⊥AC， ∴易得CB＝AB＝4，AF＝CF＝AC. 在Rt△BCD中，BD＝＝2. ∵S△BDC＝BC·CD＝BD·CF， ∴CF＝＝＝， ∴AC＝2CF＝. 18．解：(1)30° (2)∵AB＝6，∴OA＝AB＝3. ∵OF⊥AC，∴∠AEO＝90°. ∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA＝1.5. (3)如图，连接OC. ∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°. ∵∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∴∠COE＝120°－60°＝60°. 易知△OAF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°＝∠COE. ∵OE＝OA，OA＝OF，∴OE＝FE. 又∵∠CEO＝∠AEF，∴△OEC≌△FEA. ∴阴影部分的面积＝扇形COF的面积． ∵OC＝OA＝3， ∴扇形COF的面积为＝， ∴阴影部分的面积为. 19．(1)证明：连接OD，如图． ∵DE是⊙O的切线，切点是D， ∴OD⊥DE.∴∠ODE＝90°. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°. ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°. ∴∠AOD＝90°. ∴∠AOD＝∠ODE. ∴DE∥AC. (2)解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，则∠CFE＝90°， ∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB. 又∵∠ABC＝∠CFE＝90°， ∴∠ECF＝∠A. ∵tan A＝， ∴tan∠ECF＝＝tan A＝， ∴CF＝2EF， ∴CF2＋EF2＝5EF2＝CE2＝25， ∴EF＝(负值已舍去)， ∴CF＝2EF＝2. ∵∠ODE＝∠CFD＝∠DOC＝90°，OD＝OC， ∴四边形ODFC是正方形， ∴CF＝OC＝2， ∴AC＝2OC＝4， 设BC＝x， ∵tan A＝＝， ∴AB＝2x. ∵BC2＋AB2＝AC2，即x2＋4x2＝80， ∴x＝4(负值已舍去)，∴BC＝4， ∴BE＝BC＋CE＝9. 20．解：(1)3π (2)如图，连接AC，BD交于点O，则直线EO平分剩余木板面积． 过点E作EF⊥CD于点F，作EH⊥BC于点H. 则∠EFC＝∠EHC＝90°， ∴易得四边形EFCH为矩形， ∴HC＝EF. ∵⊙E与BC，CD相切，⊙E的直径为2 m， ∴EF＝EH＝1 m．∴HC＝1 m. 延长FE交AB于点G，则∠BGF＝90°， ∴易得四边形GBHE为矩形， ∴BG＝EH＝1 m，GE＝BH＝BC－HC＝9 m，∴AG＝5 m. 过点O作ON⊥GE，交GE于点N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴易得点N为GF的中点， ∴GN＝NF＝5 m，∴NE＝4 m. ∵ON＝AB－GB＝2 m， ∴OE＝＝2(m)． 易知ON∥AB，∴△ONE∽△MGE， ∴＝， ∴ME＝＝(m)， ∴MP＝ME－PE＝m. 学科网（北京）股份有限公司 $