专题11 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学讲义通过系统梳理圆中瓜豆原理（圆弧轨迹）的知识体系，以“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”为框架，用图文结合的方式呈现主动点与从动点的定量关系，分模型1-1至1-4及隐圆轨迹类型，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于结合中考真题提炼模型，例题涵盖中点、旋转、相似等类型，如“动点Q为AP中点求轨迹”培养几何直观与推理能力，分层练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升学生模型意识与问题解决能力。

专题11 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 12 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 例2（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例7（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2.（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 3．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（　　） A．1 B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 8．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是 ． 9．（25-26·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 11．（2025·海南·模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则 ，线段BE的最小值为 ． 12．（25-26·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 13．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立]如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决]请就图①中为何最长进行证明． [初步应用]（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸]如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 15．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ． 16．（2025·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ．（2）求的最大值为 ． 16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    17．（2025·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 12 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于，连接，∴， ∵，，，∵点是的中点，即， ∴是的中位线，，当最小时，最小，当运动到时，最小， ∵半径为10，∴此时的最小值．故选：B． 例2（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，，∴，，∴， 故是等腰直角三角形，∴，，故， 又∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，在中，， ∵点是弦的中点，∴，故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小；此时．故选：C． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，，，， ，，．， 在以为圆心，3为半径的圆上，连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得，此时，故答案为：． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 例7（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，过点Q作，交于点M，以点M为圆心，为半径作圆，连接交于点，如图所示：    ∵，∴，∴，∵，∴， ∵点A的坐标为，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴点Q在上，∴当M、Q、C在同一直线上，即Q与重合时，最小， ∵，，∴， ∴，∴最小值为，故B正确．故选：B． 2.（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形，∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵，∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，，∴， ∴的最小值为，故选：C． 3．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，连接， ∵，∴点到轴的距离为，到轴的距离为，∴， 将绕点逆时针旋转度得，则，∴与轴的负半轴的夹角为， ∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运用，连接，∴， ∵点，的运动方向不同，∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，，∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴，∴．故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点，∴，∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为，∴的最小值为，故选：A． 5．（2025山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形是正方形，，，，， 在和中，，，， ，即，∴当F在上时，最小， ∵正方形的边长为4，，的最小值是；故答案为：B． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， ∵点C为弦的中点，∴，∴，∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外）， 以为直径作，过P点作直线于H，交于M、N， 当时，，则，当时，，解得，则， ∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 即，解得，∴ ， ． ∴点C到直线的最小距离为．故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，∴， ∵四边形是矩形∴，， 四边形是矩形，，， ，，，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，，， 的最小值为．故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，，∵是的直径，∴O为的中点，， ∵D为的中点，∴是的中位线则，∴， 如图，当点P在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的， ∵ 的直径为4，∴因此的延长线交于点，此时的长最大， 由题意得，，， 在中，，，∴，∴，故答案为：． 9．（25-26·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则， ∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动； ∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴，∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴，∴，∴， ∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为；故答案为：4． 11．（2025·海南·模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则 ，线段BE的最小值为 ． 【答案】 【详解】连接，∵点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∴点是在以为圆心，半径为的圆上， ∴当点在线段上时，线段BE最小，最小值为：，故答案为：，． 12．（25-26·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，， ∴，，四边形正方形， 又， 在与中， 故答案为：2． 解法2 如图：连接、、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2 ， 在上做点，使，则，连接 在与中，，则 在上做点，使，则，连接 在与中， ，则 如图所示连接 在与中，， 故答案为：2． 13．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：（1）当点A、E、O三点共线时，是边的中点，∴， ∴，故答案为：； （2）∵四边形是正方形，∴，，∴， 即，∴， 在和中，∴，∴，， 由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接， ∵，∴，即， ∵，∴，∴， 当最小时，、、三点共线，， ∴∴线段长的最小值为．故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立]如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决]请就图①中为何最长进行证明． [初步应用]（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸]如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【详解】解：[问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时，∵在中，， 又，∴，即， 当点C与点B重合时，，∴综上可得，， ∵点C为上任意一点，∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）若点P在外，如图①， 则，，∴，∴的半径为2； 若点P在内，如图②，则，， ∴，∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5．故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，，∴， ∴，∴的最小值是． [拓展延伸]取点，连接，∵，，∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点，∴，∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点，∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，，∴，∵的半径为，即，∴， ∴线段有最大值为，∴线段的最大值为．故答案为： 15．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：如图，设的中点为，连接，， ∵M是的中点，E是的中点，∴为的中位线，∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵中，E是的中点，，， ∴，∴， 当点在下方时，∴此时最小，为．故答案为：． 16．（2025·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ．（2）求的最大值为 ． 【答案】 或 / 【详解】解：如图所示， ∵的半径长为，为直径，，∴ 又∵是的切线，∴，∴ ∵，．∴, ∵∴∴ 在中，； 如图所示，过点作于点， ∵，∴ ∵，∴，∴ 在中，故答案为：或． （2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， 则； ∵，∴，∴即 又∵∴∴ ∴∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最大值为故答案为：． 16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 17．（2025·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．    【答案】（1）见解析，；（2）；（3），见解析；（4） 【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点， ∴，，∴，， ∵，，∴，， ∴，，∴，∴，∵，∴； （2）如图，∵，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，       ∴，∴，， ∴的最小值为，的最大值为； （3）如图，过作于，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （4）如图，连接，∵，，，∴，而，    ∴，∴， ∵，∴，，∴； 如图，同理可得：，∴，，∴； 综上：当时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $