第三章 圆 辅助线添加方法训练 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

圆的辅助线添加方法 初中数学中有关圆的问题中,往往需要添加辅助线,添加辅助线的目的 是利用圆的性质和定理,帮助我们更好地理解问题和解决问题。在实际应用中,需要根据具体问题的条件和要求,灵活选择合适的辅助线添加方法。 圆的辅助线添加方法有以下几种: 1. 连接半径:连接圆心和圆上的某一点,构造出半径,利用圆的性质进行推理和计算。 例1.如图,⊙O是 ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30 ,则劣弧的长等于( ) A. B. C. D. 2. 作弦心距:作出弦的垂直平分线,与弦相交得到弦心距,用于解决与弦、弧有关的问题。 例2.如图,某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形,一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道,连车带货一起最高为多少米( ) A.3m B.3.4m C.4m D.2.8m 3. 构造直径:通过连接圆上两点构造直径,利用直径所具有的性质。 例3.如图,在⊙O中,弦AB=3cm,圆周角∠ACB=60 ,求⊙O的直径. 4. 切线的性质:涉及切线时,可添加过切点的半径等辅助线。 例4.如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 . (1)先作∠ACB的平分线,设它交AB于点O,再以点O为圆心,OB长为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)求证:AC是所作⊙O的切线; (3)若BC=,sinA=,求 AOC的面积. . 5. 构造相似三角形:根据具体情况构造相似三角形,利用相似关系解决问题。 例5.如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点. (1)求证:;O D G C A E F B P (2)求证:是的切线; (3)若,且的半径长为,求和的长度. 6. 转移线段:通过添加辅助线,将一些线段进行转移,以便更好地利用已知条件。 例6.如图,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60 ,点O在∠B内,点D为上的动点,点M,N,P分别是AD,DC,CB的中点.若⊙O的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是( ) A. B. C. D. 7. 添加辅助圆:适当地添加辅助圆,多用于路径问题和极值问题 例7.如图,在边长为6的等边 ABC中,点D、点E分别是边BC、AC上的点,且BD=CE,连接BE、AD,相交于点F.连接CF,则CF的最小值为 6 . 培优训练题: 一、填空题 1. 一名伐木工人锯一根圆木,如图,当圆木半径,弦时,则圆木被锯部分的最大高度为_. 2、 如图,的半径为,弦,点在上移动,使的面积为的点有且只有_个. 3. 如图,为的直径,为弦,于点,交于点,若,,则_. 4、 已知等边三角形ABC的边长为2,D为BC的中点,连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A,D重合),以点O为圆心,为半径作圆,当⊙O与 ABC的边有且只有两个公共点时,DO的取值范围为_. 5.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点,连接AP,过点A作AP的垂线交射线PB于点C,当 PAB是等腰三角形时,线段BC的长为 . 6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1﹣a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90 ,则a的最大值是 . 7.如图,AB是半⊙O的直径,点C在半⊙O上,AB=5cm,AC=4cm.D是上的一个动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为 . 8.如图,等边 ABC中,AB=3,点D,点E分别是边BC,CA上的动点,且BD=CE,连接AD、BE交于点F,当点D从点B运动到点C时,则点F的运动路径的长度为. . 二.选择题 9.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上,点P在 CD 上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是( ) A.45 B.60 C.75 D.90 10. 如图,一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1.5 cm 11.如图,AB为的直径,BC为的切线,弦AD∥OC,直线CD交的BA延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是的切线;②;③;④.其中正确结论的个数有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( ) A.60 B.120 C.60 或120 D.30 或150 13.如图, ABC中,∠C=90 ,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为( ) A.1 B. C. D