第02讲 整式与因式分解（专项训练,17题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 代数式（★） 题型02 求代数式的值（★） 题型03 整式的相关概念（★） 题型04 与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★） 题型05 整式的加减运算（★） 题型06 整式加减法的应用（★★） 题型07 幂的混合运算（★） 题型08 整式的乘除运算（★） 题型09 整式的混合运算（★） 题型10 数式的规律探索（★★） 题型11 图形的规律探索（★★） 题型12 利用乘法公式变形求值（★★） 题型13 整式运算的几何意义（★★） 题型14 选用合适的方法分解因式（★） 题型15 因式分解的应用（★★） 题型16 整式的化简求值问题（★） 题型17 与整式运算有关的新定义问题（★★） 能力通关 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 考查知识点：数字规律探索（等差数列）、代数式表示、整数运算. 能力要求：观察分析能力（从具体分子式提炼通用规律）、逻辑推理能力（验证规律合理性）、数学建模能力（用含n的代数式表示规律）. 考法特点：以化学 “烷烃” 球棍模型为新情境，将抽象的数学规律与具体的化学分子结构结合，设问从 “具体物质分子式” 到 “通用规律验证”，层层递进，体现 “从特殊到一般” 的数学思想. 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 2．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 考查知识点：分式方程实际应用、代数式求值、不等式比较. 能力要求：数学建模能力（将漂洗浓度关系转化为分式方程）、运算求解能力（解方程与计算浓度）、数据分析能力（比较不同漂洗方案的用水效率）. 考法特点：以生活中 “衣物漂洗” 为真实情境，给出浓度关系式，设问涵盖 “单步计算”“多步验证”“策略优化”，强调数学在解决实际问题中的实用性，体现 “数学源于生活” 的理念. 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 3．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 考查知识点：四位数的表示（整式运算）、因式分解、整除性质. 能力要求：数学抽象能力（理解 “欢乐年份” 新定义）、逻辑推理能力（证明规律的普遍性）、运算求解能力（计算具体年份的 “欢乐年份”）. 考法特点：设 “欢乐年份” 新定义，结合名人出生年份举例，拉近数学与生活的距离；设问从 “具体计算” 到 “规律猜想与证明”，突出对 “特殊到一般” 思维方法的考查. 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 4．（2025南阳市模拟）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 考查知识点：完全平方公式延伸（二项式展开规律）、数字规律、余数问题（星期几推算）. 能力要求：直观想象能力（观察杨辉三角的系数规律）、逻辑推理能力（推导二项式展开式）、知识迁移能力（用杨辉三角规律解决余数问题）. 考法特点：以传统文化 “杨辉三角” 为载体，将代数展开规律与实际问题（星期几推算）结合，设问涵盖 “规律填空”“展开式书写”“计算应用”“实际预测”，体现传统文化与数学知识的融合，以及数学的应用性. 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 5．（2025厦门市模拟）根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 考查知识点：完全平方公式、多项式乘法、图形面积计算. 能力要求：创新思维能力（设计不同的正方形拼接方案）、动手操作能力（通过图形拼接验证代数恒等式）、逻辑表达能力（列举方案并说明理由）. 考法特点：设问 “选取若干张卡片拼成正方形，列举两种方案（一种边长最大）”，具有开放性；要求结合图形与代数恒等式，体现 “从具体操作到抽象规律” 的考查，突出对 “数学应用与创新” 能力的要求. 【答案】任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，②，③，②，图案见解析；任务3：图见解析：． 【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键． 任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 【详解】解：任务1：如图所示： 周长为：； 任务2：如图所示： ，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片； 任务3：如图所示： ． 题型01代数式（★） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，根据题意，可得，即可． 【详解】解：∵3个纸杯的高度为个纸杯的高度为， ∴每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：， ∴把个这样的杯子叠放在一起，其高度为：， 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用表示三位数的各个位上的数字，再按数位组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键． 【详解】解：∵百位数字为，对应数值为，十位数字是百位的倍，即，对应数值为，个位数字比百位少，即，对应数值为， ∴这个三位数为， 故选：． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“”的实际意义． 【详解】解： 第一天销售量为件．第二天销售量为件． 将两天的销售量相加，即 ∴因此，代数式“”表示两天共售出吉祥物的数量， 故选：C． 题型02 求代数式的值（★） 1．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式和立方和公式以及因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用立方和公式结合完全平方公式推导即可得解． 【详解】解：由立方和公式可得 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，求解代数式的值，通过合并同类项并比较系数和指数，确定未知数m和n的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴是同类项； ∴，， ∴， ∴ 故选：A 4．（2025·重庆·模拟预测）若，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查整体代换思想，把作为整体代入是解题的关键． 由题得，再代入得即可求解． 【详解】由题意可得：， ∴原式 ． 故答案为：10． 题型03 整式的相关概念（★） 1．（2025·吉林长春·二模）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据单项式的系数和次数的定义求出a、b的值，再将a、b的值代入中即可求解． 本题主要考查了单项式，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是a，次数是b， ，， 故答案为： 2．（2025·河北邯郸·二模）在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案． 【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为和，其系数分别为2和， ∴所有单项式的系数的积为， 故答案为：． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ∴项的系数是 故答案为：． 4．（2025盐山县二模）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，确定，结合题意得出，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 题型04 与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★） 1．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的变化规律，根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到． 【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数， 不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 题型05 整式的加减运算（★） 1．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不是单项式，故选项不符合题意； B、，不是单项式，故选项不符合题意； C、，不是单项式，故选项不符合题意； D、，是单项式，故选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 3．（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 【答案】(1) (2)99 【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键． （1）原式去括号，合并同类项即可得到答案； （2）根据非负数的性质求出的值，再代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵， ∴，． 解得：，． 将，代入， 原式． 题型06 整式加减法的应用（★） 1．（2025·江西新余·二模）如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，，得出两阴影部分的周长和为：，设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：，说明只有当时，为定值． 【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，， 利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：， ∵的长固定不变， ∴为定值， 设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，则： ， 将向下平移个单位长度后，两阴影面积和： ， ∴只有当时，为定值， 综上分析可知：只有不变， 故选：C． 3．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则 ． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 4．（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 【答案】(1)70， (2)3，2；理由见解析 (3)不同意 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，整式加减混合运算的应用，理解检验码的计算方法是解答本题的关键． （1）根据d和*的计算方法计算即可； （2）设一个为m，另一个为．根据a，b，c，d， *的计算方法求出各个数分析即可； （3）表示出，然后根据d是10的倍数即可求出x的值． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，． 故答案为：70，6； （2）∵2个数都在奇数位上， ∴设一个为m，另一个为． 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∴时符合题意， ∴， ∴这两个数为3，2或8，7． ∵共有32个班级 ∴这两个数为3，2； （3）由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∵， ∴， ∵d是10的倍数， ∴， ∴该数字为2022000000000． 但不存在班级号、学号、考场号、座位号不可能为00， ∴不同意. 题型07 幂的混合运算（★） 1．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，正确掌握相关性质是解题的关键．先运算积的乘方，再根据单项式除以单项式进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故选：D． 3．（2025·陕西榆林·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ， ． 题型08 整式的乘除运算（★） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式．根据积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（2025·江西·二模）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法计算，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 3．（2025·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘法，根据乘法公式，单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选A． 4．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 【答案】A 【分析】题目主要考查单项式乘以多项式，用字母表示数，理解题意是解题关键． 根据题意得出，然后分析奇偶性即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 为整数， 中一定有一个数为偶数， 是8的倍数， 可能是24． 故选：A 题型09 整式的混合运算（★） 1．（2025·湖北荆州·三模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可．解题的关键是掌握相应的运算法则、运算顺序． 【详解】解： ． 2．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 34．（2025慈利县一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 35．（2025 铁山区二模）化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的乘除法及加减运算法则是解题的关键．直接利用整式的混合运算法则化简． 【详解】原式 ． 题型10 数式的规律探索（★★） 1．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律，根据相邻分子式间的差值求得增加规律是解题关键． 根据C和H随序数的增长规律计算求值即可． 【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为 故第8个分子式为 故答案为∶． 2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 3．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 【详解】解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是推理与论证，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键． （1）按照游戏规则，按照顺序操作得出结果即可； （2）利用同（1）的方法找出数字变化规律，进一步解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， 所以经过3次操作后游戏结束； （2）因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ……， 由此看出从开始3个一循环， ∵， 所以与相同，也就是． 故答案为：3； 5．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论． （1）如图构造正方形：A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （2）由以上几何图形的面积规律可猜测出； （3）提公因数即可转化为本题已经探究出的规律进行求解． 【详解】解：（1）如图， A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出， 故答案为：； （2）根据以上规律可知，为一个边长为的正方形面积， 故， 故答案为：；； （3）， 故答案为：288800． 题型11 图形的规律探索（★★） 1．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案： 结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律．根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； …， 所以第个图案中〇的个数为个，△的个数为个． 由得， （舍去），， 所以的值为． 故选：C． 2．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数． 第一次可得到4个正方形；第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形，然后列出方程求解即可． 【详解】解：第一次可得到4个正方形； 第二次可得到个正方形； 第三次可得到个正方形； 则第n次可得个正方形， ∵若要得到2026个小正方形， ∴ 解得． 故选：D． 3．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 【答案】729 【分析】本题考查了图形类规律探究，先根据给出的图②和图③找出出现“1”的规律，然后根据规律即可得解． 【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0， 前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个）， 同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个）， 前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个）， 前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍，即前64行中“1”的个数为（个）， 故答案为：729． 5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 题型12 利用乘法公式变形求值（★★） 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到，再运用平方差公式即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴， 故， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则 ， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·二模）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】根据，结合，代入解答即可． 本题考查了因式分解，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握公式，因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， 且， ． 故答案为：9． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得和的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴①， ∵， ∴②， 将①代入②得：， 解得， 故答案为：6． 题型13 整式运算的几何意义（★★） 1．（2025沈阳市三模）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（    ）． A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和 B．图中阴影部分面积保持不变 C．阴影部分周长保持不变 D．阴影部分面积和周长都不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长，据此可判断C，根据完全平方公式得到，据此可判断A、B、D． 【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为， 则阴影部分的周长为：，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故A、D说法错误，不符合题意； ∵正方形3和正方形4的面积与的长有关， ∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·河北·模拟预测）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．则 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，完全平方公式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键．根据图2中正方形的组成得到，根据图3长方形的组成得到，即可解决问题． 【详解】解：由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 【答案】(1)5 (2)，， (3)8 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、整式运算的应用，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）结合完全平方公式，可得，然后将代入计算即可； （2）利用图中矩形面积等于长宽、各部分面积之和两种方式表达，即可获得答案； （3）首先将经计算可得，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）根据题意，大矩形的长为，宽为，则其面积为：， 大矩形的面积也可以表示为：， 最终可以得到等式：； （3）根据（2）中方法可以列出等式：， 将，代入上述等式中， 可得． 题型14 选用合适的方法分解因式（★） 1．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确确定公因式是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·全国·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 题型15 因式分解的应用（★★） 1．（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 2．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 4．（2026延安市一模）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）仿照小明的解答把原式化为：，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照小丽的思考把原式化为，再利用偶次方的非负性解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为. 5．（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 题型16 整式的化简求值问题（★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知．试从或中任选一组进行整式化简． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：已知， 若选， 原式 ； 若选， 原式 ． 2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 4．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 题型17 与整式运算有关的新定义问题（★★） 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·河北·二模）定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了定义新运算，代数式求值， 根据题意可知，，再整理可得，然后代入求出值即可． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和相等， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 3．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为（n为正整数），求出，则任意的“登高数”一定是8的倍数，再根据可得不超过2024的所有“登高数”的和即为1到253的自然数之和的8倍，据此求解即可． 【详解】解：设两个连续的正奇数为（n为正整数）， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴任意的“登高数”一定是8的倍数， ∵， ∴不超过2024的所有“登高数”的和为， 故答案为：． 4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 【答案】(1)884 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入到中，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解： （2）证明：∵， ， 始终能被4整除， 始终能被4整除． 1．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的变形运算，由题意得，进而根据勾股定理即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个直角三角形的斜边长， 故答案为：． 3．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，点到原点的距离，利用完全平方公式法将等式左边进行因式分解，非负性求出的值，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴点到原点的距离为． 故答案为： 4．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 5．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)是“三方数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式． （1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解； （2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 故答案为：；； （2）解：是“三方数”，理由如下： 由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是， 当时， 解得：， 故是“三方数”． 1．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 5．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 6．（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 10．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 11．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 代数式（★） 题型02 求代数式的值（★） 题型03 整式的相关概念（★） 题型04 与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★） 题型05 整式的加减运算（★） 题型06 整式加减法的应用（★★） 题型07 幂的混合运算（★） 题型08 整式的乘除运算（★） 题型09 整式的混合运算（★） 题型10 数式的规律探索（★★） 题型11 图形的规律探索（★★） 题型12 利用乘法公式变形求值（★★） 题型13 整式运算的几何意义（★★） 题型14 选用合适的方法分解因式（★） 题型15 因式分解的应用（★★） 题型16 整式的化简求值问题（★） 题型17 与整式运算有关的新定义问题（★★） 能力通关 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 考查知识点：数字规律探索（等差数列）、代数式表示、整数运算. 能力要求：观察分析能力（从具体分子式提炼通用规律）、逻辑推理能力（验证规律合理性）、数学建模能力（用含n的代数式表示规律）. 考法特点：以化学 “烷烃” 球棍模型为新情境，将抽象的数学规律与具体的化学分子结构结合，设问从 “具体物质分子式” 到 “通用规律验证”，层层递进，体现 “从特殊到一般” 的数学思想. 2．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 考查知识点：分式方程实际应用、代数式求值、不等式比较. 能力要求：数学建模能力（将漂洗浓度关系转化为分式方程）、运算求解能力（解方程与计算浓度）、数据分析能力（比较不同漂洗方案的用水效率）. 考法特点：以生活中 “衣物漂洗” 为真实情境，给出浓度关系式，设问涵盖 “单步计算”“多步验证”“策略优化”，强调数学在解决实际问题中的实用性，体现 “数学源于生活” 的理念. 3．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 考查知识点：四位数的表示（整式运算）、因式分解、整除性质. 能力要求：数学抽象能力（理解 “欢乐年份” 新定义）、逻辑推理能力（证明规律的普遍性）、运算求解能力（计算具体年份的 “欢乐年份”）. 考法特点：设 “欢乐年份” 新定义，结合名人出生年份举例，拉近数学与生活的距离；设问从 “具体计算” 到 “规律猜想与证明”，突出对 “特殊到一般” 思维方法的考查. 4．（2025南阳市模拟）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 考查知识点：完全平方公式延伸（二项式展开规律）、数字规律、余数问题（星期几推算）. 能力要求：直观想象能力（观察杨辉三角的系数规律）、逻辑推理能力（推导二项式展开式）、知识迁移能力（用杨辉三角规律解决余数问题）. 考法特点：以传统文化 “杨辉三角” 为载体，将代数展开规律与实际问题（星期几推算）结合，设问涵盖 “规律填空”“展开式书写”“计算应用”“实际预测”，体现传统文化与数学知识的融合，以及数学的应用性. 5．（2025厦门市模拟）根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 考查知识点：完全平方公式、多项式乘法、图形面积计算. 能力要求：创新思维能力（设计不同的正方形拼接方案）、动手操作能力（通过图形拼接验证代数恒等式）、逻辑表达能力（列举方案并说明理由）. 考法特点：设问 “选取若干张卡片拼成正方形，列举两种方案（一种边长最大）”，具有开放性；要求结合图形与代数恒等式，体现 “从具体操作到抽象规律” 的考查，突出对 “数学应用与创新” 能力的要求. 题型01代数式（★） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 题型02 求代数式的值（★） 1．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·重庆·模拟预测）若，则 ． 题型03 整式的相关概念（★） 1．（2025·吉林长春·二模）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 2．（2025·河北邯郸·二模）在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 4．（2025盐山县二模）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 题型04 与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★） 1．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 3．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 题型05 整式的加减运算（★） 1．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 3．（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 题型06 整式加减法的应用（★） 1．（2025·江西新余·二模）如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 3．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 4．（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 题型07 幂的混合运算（★） 1．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·二模）计算：． 题型08 整式的乘除运算（★） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 2．（2025·江西·二模）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 题型09 整式的混合运算（★） 1．（2025·湖北荆州·三模）化简：． 2．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 34．（2025慈利县一模）计算： (1)； (2)． 35．（2025 铁山区二模）化简： 题型10 数式的规律探索（★★） 1．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 3．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 4．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 5．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 题型11 图形的规律探索（★★） 1．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案： 结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 3．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 4．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 题型12 利用乘法公式变形求值（★★） 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 2．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 3．（2025·山东聊城·二模）如果，那么的值为 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 题型13 整式运算的几何意义（★★） 1．（2025沈阳市三模）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（    ）． A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和 B．图中阴影部分面积保持不变 C．阴影部分周长保持不变 D．阴影部分面积和周长都不确定 3．（2025·河北·模拟预测）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．则 ． 4．（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 题型14 选用合适的方法分解因式（★） 1．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 2．（2025·全国·一模）分解因式： ． 3．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 4．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 题型15 因式分解的应用（★★） 1．（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 2．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 4．（2026延安市一模）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 5．（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 题型16 整式的化简求值问题（★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知．试从或中任选一组进行整式化简． 2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 3．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 4．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 题型17 与整式运算有关的新定义问题（★★） 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·二模）定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是 ． 3．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 1．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 3．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为 4．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 5．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 1．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 5．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 6．（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 7．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 9．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    10．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 11．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $