专题6.6 线段的比较与运算（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

本初中数学讲义聚焦线段的比较与运算，以直线与线段的基本事实为起点，通过线段比较方法、和差运算构建知识支架，最终落脚于中点及等分点的理解与应用，形成从基础事实到综合应用的递进式学习路径。 资料以生活实例（如木匠弹墨线、弯曲公路改直）培养数学眼光，通过即学即练与变式训练（如中点分类计算）发展数学思维，结合规范符号表达与图示提升数学语言能力。课中助力教师分层教学，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题6.6 线段的比较与运算 教学目标 1. 掌握直线与线段的基本事实，并能判断生活中的一些现象的数学原理。 2. 掌握线段的比较方法并能够熟练的比较线段的大小关系。 3. 掌握线段的和与差，能够结合图形在线段长度的计算中熟练应用。 4. 掌握线段的中点及其等分点的概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 线段的比较； （2） 线段的和与差； （3）线段的中点。 2. 难点 （1）线段的长短比较以及长度的计算； （2）线段的中点的理解与运用。 知识点01 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 1条直线。简单说成 。经过一点有 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 是最短的。简单说成两点之间，线段 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 叫做这两点间的距离。 【即学即练1】 1．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（　　） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【即学即练2】 2．下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 知识点02 线段的比较 1. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点 ，另一个端点朝 ，另一个端点离重合端点越远线段越 。 【即学即练1】 3．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段AB和A'B'的长短，下列结论正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A'B'＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【即学即练2】 4．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 知识点03 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练1】 5．如图，在下列各关系式中，不正确的是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AC+BD C．AC﹣BC＝AD﹣DB D．AD﹣AC＝BD﹣BC 【即学即练2】 6．如图1，已知线段a，b，c，如图2，用尺规作线段AB，则AB＝ （用含a，b，c的代数式表示）． 知识点04 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成 的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成 的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成 的四部分的点； 以此类推。 【即学即练1】 7．如图，C是线段AB的中点，D为线段CB上一点，下列等式： （1）BD＝AC﹣CD；（2）BC＝2CD；（3）CD＝AD﹣BC；（4）AD﹣BD＝2CD． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 8．如图，点D是线段AC的中点，点B是线段AC的三等分点，若AB＝6，则线段BD的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【即学即练3】 9．若A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）cm． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】小明想把一根细木条固定在木板上，他先钉上一个钉子，发现木条还能转动，于是就又钉上一个钉子，这时细木条就被固定了，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 【变式2】毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【变式3】在实际生产和生活中，下列四个现象：①用两个钉子把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设天线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型02 比较线段的长短 【典例1】如图，用一支角度固定的圆规比较线段a，b的长短，则（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【变式1】已知线段AB和线段CD，以下方法一定能说明线段AB比线段CD短的是（　　） A．通过观察猜测线段AB比线段CD短 B．用刻度尺量得线段AB＝10厘米，线段CD＝8厘米 C．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD上 D．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD的延长线上 【变式2】体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是　 ． 题型03 线段长度的计算 【典例1】如图，已知AB＝6cm，BC＝4cm，则AC的长度为（　　） A．2cm B．4cm C．3cm D．1cm 【变式1】如图，点M、N在线段AB上，点N是AB的中点，，则线段AB的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式2】如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 【变式3】如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm 【变式4】线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm 【变式5】如图所示，点C是线段AB上一点，AC＜CB，M、N分别是AB、CB的中点，AC＝8，NB＝5，求线段MN的长． 【变式6】如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． （1）若AB＝12，BC＝15，求AD的长． （2）若AB＝2BD，AB+DC＝36，E是AC的中点，求BE的长． 【变式7】如图，C是线段AB上一点，M，N分别是线段AC，CB的中点． （1）若AB＝10cm，求线段MN的长； （2）P是线段CN上一点，若AB＝13.2cm，AM＝2.4cm，CP＝2cm，求线段PN的长． 1．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线a，b，c，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短 3．如图，已知线段AB，CD，小军同学进行如下操作：用圆规在线段CD上截取CM＝AB．则下列结论一定成立的是（　　） A．AB＝CD B．AB＞CD C．CM＝MD D．AB＜CD 4．如图，线段AB＝DE，C为线段AE的中点，下列式子不正确的是（　　） A．BC＝CD B．CD＝DE C．BC＝AD﹣CE D． 5．如图，O，P是线段AB上两点，已知AB＝10，AP＝6，OB＝7，则OP的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 7．点B在直线AC上，线段AB＝5，BC＝3，则A，C两点间的距离是（　　） A．8 B．2 C．8或2 D．无法确定 8．下列是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（　　） 如图，点C在线段MN上，且MC：CN＝5：4，MN＝36，P是MN的中点，求PC的长． 解：因为MN＝36，MC：CN＝5：4， 所以MC※＝20． 又因为P是MN的中点， 所以MP＝☆MN＝△， 所以PC＝MC﹣◎＝2． A．※代表MN B．☆代表 C．△代表18 D．◎代表CN 9．已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．5cm或7cm 10．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（　　） A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm 11．如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　 　 ． 12．已知A、B、C三个车站位置如图所示，则B、C之间的距离为 ． 13．如图，线段AB上有M，D，C，N四点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，有下列结论：①MN（AB﹣MD）；②MN，③DM（DA﹣DC）；④AN（MN+AB），其中正确的结论是　 　 ． 14．线段AB＝6，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若BD＝3AC，则CD＝　 ． 15．如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝7，则线段BC的长为　 　 ． 16．根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点D为线段AB的中点，点C在线段AB上．如图，若BC＝2CD，点E为BD中点，AE＝18cm，求线段AC的长． 解：∵点D是AB的中点， ∴BD＝ ， ∵点E为BD中点， ∴ ， ∴AE＝ + ， ∵AE＝18， ∴ ＝24， ∴AD＝BD＝12， 又∵BC＝2CD， ∴CD＝ 　 　 BD＝4， ∴AC＝AD+CD＝16． 17．如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3的三部分，M为AD的中点，BM＝9cm，求CM和AD的长． 18．如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝12cm，AM＝5cm，求BC的长； （2）如果MN＝8cm，求AB的长． 19． 如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 20．如图，点M在线段AB上，且，点N为线段AM的中点． （1）若AB＝27cm，求BN的长； （2）在直线AB上有一点E，满足BM＝3BE，若BE＝t，请直接写出AE的长（用含t的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 线段的比较与运算 教学目标 1. 掌握直线与线段的基本事实，并能判断生活中的一些现象的数学原理。 2. 掌握线段的比较方法并能够熟练的比较线段的大小关系。 3. 掌握线段的和与差，能够结合图形在线段长度的计算中熟练应用。 4. 掌握线段的中点及其等分点的概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 线段的比较； （2） 线段的和与差； （3）线段的中点。 2. 难点 （1）线段的长短比较以及长度的计算； （2）线段的中点的理解与运用。 知识点01 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 有且只有 1条直线。简单说成 两点确定一条直线 。经过一点有 无数 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 线段 是最短的。简单说成两点之间，线段 最短 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 长度 叫做这两点间的距离。 【即学即练1】 1．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（　　） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【解答】解：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：两点确定一条直线， 故选：A． 【即学即练2】 2．下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【解答】解：A、B、D依据两点确定一条直线；C依据两点之间线段最短． 故选：C． 知识点02 线段的比较 1. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点 重合 ，另一个端点朝 同一侧 ，另一个端点离重合端点越远线段越 长 。 【即学即练1】 3．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段AB和A'B'的长短，下列结论正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A'B'＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【解答】解：用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短，A′B′＜AB， 故选：C． 【即学即练2】 4．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【解答】解：根据图形可知，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，a、d的长度大于正方形的边长， 再a与d比较，因为a往下少了一点，所以最长的是d． 故选：D． 知识点03 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练1】 5．如图，在下列各关系式中，不正确的是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AC+BD C．AC﹣BC＝AD﹣DB D．AD﹣AC＝BD﹣BC 【答案】B 【解答】解：∵AB+BC＝AC，AD﹣CD＝AC， ∴AD﹣CD＝AB+BC， 故A不符合题意； ∵AC+BD＝AB+BC+BD＞AB，AC﹣BC＝AB， ∴AC﹣BC≠AC+BD， 故B符合题意； ∵AD﹣BD＝AB，AC﹣BC＝AB， ∴AC﹣BC＝AD﹣BD， 故C不符合题意； D．∵BD﹣BC＝CD，AD﹣AC＝CD， ∴AD﹣AC＝BD﹣BC， 故D不符合题意， 故选：B． 【即学即练2】 6．如图1，已知线段a，b，c，如图2，用尺规作线段AB，则AB＝a+b﹣c （用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】a+b﹣c． 【解答】解：由图可知，AD＝a+b，BD＝c， ∴AB＝a+b﹣c． 故答案为：a+b﹣c． 知识点04 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成 相等 的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成 相等 的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成 相等 的四部分的点； 以此类推。 【即学即练1】 7．如图，C是线段AB的中点，D为线段CB上一点，下列等式： （1）BD＝AC﹣CD； （2）BC＝2CD； （3）CD＝AD﹣BC； （4）AD﹣BD＝2CD． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BC， （1）BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD，故（1）正确； （2）不能证明BD＝2CD，故（2）错误； （3）CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故（3）正确； （4）AD﹣BD＝AC+CD﹣BD＝BC+CD﹣BD＝BD+CD+CD﹣BD＝2CD，故（4）正确， ∴正确的有3个． 故选：C． 【即学即练2】 8．如图，点D是线段AC的中点，点B是线段AC的三等分点，若AB＝6，则线段BD的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【解答】解：由条件可知AC＝3AB＝18， ∵点D是线段AC的中点， ∴， ∴BD＝AD﹣AB＝9﹣6＝3． 故选：C． 【即学即练3】 9．若A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）cm． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 【答案】D 【解答】解：如图所示，当点C在AB的延长线上时， ∵线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点， ∴，， ∴EF＝EB+BF＝6+2＝8cm； 如图所示，当点C在线段AB上时， ∵线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点， ∴，， ∴EF＝EB﹣BF＝6﹣2＝4cm． 故选：D． 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】小明想把一根细木条固定在木板上，他先钉上一个钉子，发现木条还能转动，于是就又钉上一个钉子，这时细木条就被固定了，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【解答】解：本题包含的数学事实是：两点确定一条直线； 故选：B． 【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 【答案】D 【解答】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面，不符合题意； B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线，不符合题意； C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短，不符合题意； D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线，符合题意． 故选：D． 【变式2】毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【解答】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C． 【变式3】在实际生产和生活中，下列四个现象：①用两个钉子把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设天线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解答】解：①②中的现象可以用两点确定一条直线来解释； ③④中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释． 故选：D． 题型02 比较线段的长短 【典例1】如图，用一支角度固定的圆规比较线段a，b的长短，则（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【答案】A 【解答】解：根据线段的大小比较得：a＞b． 故选：A． 【变式1】已知线段AB和线段CD，以下方法一定能说明线段AB比线段CD短的是（　　） A．通过观察猜测线段AB比线段CD短 B．用刻度尺量得线段AB＝10厘米，线段CD＝8厘米 C．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD上 D．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD的延长线上 【答案】C 【解答】解：A．通过观察猜测线段AB比线段CD段，由于观察存在误差，不能说明线段AB比线段CD短，故选项A错误； B．用刻度尺量得线段AB＝10厘米，线段CD＝8厘米，由于存在误差，不能说明线段AB比线段CD短，故选项B错误； C．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD上，能说明线段AB比线段CD短，故选项C正确； D．将线段AB移到线段CD的位置，使点A与点C重合，点B在线段CD的延长线上，说明线段AB比线段CD长，故选项D错误． 故选：C． 【变式2】体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是　小智　 ． 【答案】小智． 【解答】解：由图可得，OC＞OD＞OB＞OA， ∴表示最好成绩的点是点C， 故答案为：小智． 题型03 线段长度的计算 【典例1】如图，已知AB＝6cm，BC＝4cm，则AC的长度为（　　） A．2cm B．4cm C．3cm D．1cm 【答案】A 【解答】解：∵AC+BC＝AB， ∴AC＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm， 故选：A． 【变式1】如图，点M、N在线段AB上，点N是AB的中点，，则线段AB的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【解答】解：∵AMAN＝3， ∴AN＝9， ∵点N是AB的中点， ∴AN＝BNAB＝9， ∴AB＝18， 故选：D． 【变式2】如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 【答案】C 【解答】解：∵BCAC， ∴设BC＝2x，则AC＝3x， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD＝x， ∵线段AB＝15cm， ∴AC+BC＝5x＝15， 解得：x＝3（cm）， ∴AD＝3x+x＝4x＝12（cm）． 故选：C． 【变式3】如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm 【答案】D 【解答】解：∵点E在直线AB上， ∴点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧； 当点E在点A左侧，如图所示： ∵AB＝10cm，AE＝3cm ∴DE＝BA+AE﹣BD＝10+3﹣4＝9cm； 当点E在点A左侧，如图所示： ∵D为BC的中点，BD＝4cm， ∴CD＝BD＝4cm， ∵AB＝10cm， ∴AC＝2cm， ∵AE＝3cm ∴点E在点C右侧，则CE＝AE﹣AC＝1cm， ∴DE＝CD﹣CE＝4﹣1＝3cm； 综上所述，DE的长为3cm或9cm， 故选：D． 【变式4】线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm 【答案】C 【解答】解：如图1，当Q点在P点右侧时， ∵线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴BQ＝AB﹣AP﹣PQ＝30﹣12﹣10＝8（cm）． 如图2，当Q点在P点左侧时， ∵AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴AQ＝AP﹣PQ＝12﹣10＝2（cm）， ∵AB＝30cm， ∴BQ＝AB﹣AQ＝30﹣2＝28（cm）， 综上所述，BQ长为8cm或28cm． 故选：C． 【变式5】如图所示，点C是线段AB上一点，AC＜CB，M、N分别是AB、CB的中点，AC＝8，NB＝5，求线段MN的长． 【答案】MN＝4． 【解答】解：∵N是CB的中点，NB＝5， ∴CB＝2NB＝2×5＝10， ∵AC＝8， ∴AB＝AC+CB＝8+10＝18， ∵M是AB的中点， ∴， ∴MN＝MB﹣NB＝9﹣5＝4， ∴线段MN的长为4． 【变式6】如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． （1）若AB＝12，BC＝15，求AD的长． （2）若AB＝2BD，AB+DC＝36，E是AC的中点，求BE的长． 【答案】（1）15； （2）9． 【解答】解：（1）C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． ∵DC＝4BD， ∴BC＝5BD． ∵BC＝15， ∴BD＝3． ∵AB＝12， ∴AD＝AB+BD＝15． （2）∵AB＝2BD，DC＝4BD， ∴DC＝2AB． ∵AB+DC＝36， ∴AB＝12，DC＝24， ∴BD＝6， ∴AC＝AB+BD+DC＝42． ∵E是AC的中点， ∴， ∴BE＝AE﹣AB＝9． 【变式7】如图，C是线段AB上一点，M，N分别是线段AC，CB的中点． （1）若AB＝10cm，求线段MN的长； （2）P是线段CN上一点，若AB＝13.2cm，AM＝2.4cm，CP＝2cm，求线段PN的长． 【答案】（1）5cm； （2）2.2cm． 【解答】解：（1）因为M，N分别是线段AC，CB的中点， 所以， 所以MN＝MC+CN ＝5cm； （2）因为M，N分别是线段AC，CB的中点，AB＝13.2cm，AM＝2.4cm， 所以， 因为CP＝2cm， 所以PN＝CN﹣CP＝4.2﹣2＝2.2（cm）． 1．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：C． 2．如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线a，b，c，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短 【答案】A 【解答】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短， 故选：A． 3．如图，已知线段AB，CD，小军同学进行如下操作：用圆规在线段CD上截取CM＝AB．则下列结论一定成立的是（　　） A．AB＝CD B．AB＞CD C．CM＝MD D．AB＜CD 【答案】D 【解答】解：由图可知：CM＜CD， 又∵用圆规在线段CD上截取CM＝AB， ∴AB＜CD； 无法判断CM，MD的大小关系， 故选：D． 4．如图，线段AB＝DE，C为线段AE的中点，下列式子不正确的是（　　） A．BC＝CD B．CD＝DE C．BC＝AD﹣CE D． 【答案】B 【解答】解：∵C为线段AE的中点， ∴， ∵AB＝DE， ∴AC﹣AB＝CE﹣DE， ∴BC＝CD，故A正确； 由图可知，BC＝AD﹣AB﹣CD＝AD﹣CE，故C正确； ∵CD＝CE﹣DE，， ∴，故D正确； 现有条件无法判断CD＝DE，故B不正确． 故选：B． 5．如图，O，P是线段AB上两点，已知AB＝10，AP＝6，OB＝7，则OP的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：设OP＝x， ∵AP＝6，OB＝7， ∴OA＝AP﹣OP＝6﹣x，BP＝OB﹣OP＝7﹣x， ∵AB＝10， ∴OA+OP+BP＝AB＝10，即6﹣x+x+7﹣x＝10， 解得x＝3． 故选：B． 6．如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵AC＝AB+BC，BD＝CD+BC， 又∵AC＝BD， ∴AB＝CD． 故选：B． 7．点B在直线AC上，线段AB＝5，BC＝3，则A，C两点间的距离是（　　） A．8 B．2 C．8或2 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：点B在直线AC上，线段AB＝5，BC＝3， 当C点在线段AB上时，如图， ∵AB＝5，BC＝3， ∴AC＝AB﹣BC＝2， ∴A、C两点之间的距离为2； 当C点在线段AB的延长线上时， ∵AB＝5，BC＝3， ∴AC＝AB+BC＝8， ∴A、C两点之间的距离为8． 故选：C． 8．下列是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（　　） 如图，点C在线段MN上，且MC：CN＝5：4，MN＝36，P是MN的中点，求PC的长． 解：因为MN＝36，MC：CN＝5：4， 所以MC※＝20． 又因为P是MN的中点， 所以MP＝☆MN＝△， 所以PC＝MC﹣◎＝2． A．※代表MN B．☆代表 C．△代表18 D．◎代表CN 【答案】D 【解答】解：∵MN＝36，MC：CN＝5：4， ∴MN＝20， ∵P是MN的中点， ∴MPMN＝18， ∴PC＝MC﹣MP＝2， 故※代表MN，☆代表，△代表18，◎代表MP． 故选：D． 9．已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．5cm或7cm 【答案】C 【解答】解：由题知， 当点C在线段AB上时，如图所示， 因为AB＝8cm，BC＝6cm， 所以AC＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）． 又因为点M是线段AC的中点， 所以； 当点C在线段AB的延长线上时，如图所示， 因为AB＝8cm，BC＝6cm， 所以AC＝AB+BC＝8+6＝14（cm）． 又因为点M是线段AC的中点， 所以， 综上所述，AM的长为1cm或7cm． 故选：C． 10．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（　　） A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm 【答案】C 【解答】解：当PB的2倍最长时，得 PB＝30cm， APPB＝20cm， AB＝AP+PB＝50cm， 这条绳子的原长为2AB＝100cm； 当AP的2倍最长时，得 AP＝30cm，APPB， PBAP＝45cm， AB＝AP+PB＝75cm， 这条绳子的原长为2AB＝150cm． 故选：C． 11．如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　两点之间，线段最短　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：小聪设计的理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 12．已知A、B、C三个车站位置如图所示，则B、C之间的距离为a+b ． 【答案】a+b． 【解答】解：∵AC＝4a+3b，AB＝3a+2b， ∴B、C之间的距离为： AC﹣AB＝（4a+3b）﹣（3a+2b） ＝4a+3b﹣3a﹣2b ＝a+b． 故答案为：a+b． 13．如图，线段AB上有M，D，C，N四点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，有下列结论：①MN（AB﹣MD）；②MN，③DM（DA﹣DC）；④AN（MN+AB），其中正确的结论是　②③　 ． 【答案】②③． 【解答】解：∵点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点， ∴AM＝MCAC，DN＝NBDB， ∴MN＝AB﹣AM﹣NB＝AB（AC+DB）＝AB（AB+CD）（AB﹣CD）， 故结论①错误，结论②正确； DM＝MC﹣DCAC﹣DC（AD+DC）﹣DC（AD﹣DC）， 故结论③正确； AN＝AB﹣BN＝ABBD＝AB（AB﹣DA）（AB+DA）， 故结论④错误． 故答案为：②③． 14．线段AB＝6，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若BD＝3AC，则CD＝　12或6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分两种情况： 当点D在点B的右侧时，如图： ∵点C是线段AB的中点，AB＝6， ∴CBAB＝3， ∵BD＝3AC＝9， ∴CD＝CB+BD＝3+9＝12， 当点D在点B的左侧时，如图： ∵点C是线段AB的中点，AB＝6， ∴CBAB＝3， ∵BD＝3AB＝9， ∴CD＝BD﹣CB＝9﹣3＝6， ∴线段CD的长为12或6， 故答案为：12或6． 15．如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝7，则线段BC的长为　8或20　 ． 【答案】8或20． 【解答】解：如图1，∵点E为线段AC的中点，CE＝7， ∴AC＝2CE＝14， ∵CD＝3， ∴AD＝AC﹣CD＝14﹣3＝11， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴AD＝DC+BC＝11， ∴BC＝11﹣3＝8； 如图2，∵点E为线段AC的中点，CE＝7， ∴AC＝2CE＝14， ∵CD＝3， ∴AC+CD＝14+3＝17， ∴AD＝17， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BD＝AD＝17， ∴BC＝BD+CD＝17+3＝20； 综上所述，BC＝8或BC＝20． 16．根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点D为线段AB的中点，点C在线段AB上．如图，若BC＝2CD，点E为BD中点，AE＝18cm，求线段AC的长． 解：∵点D是AB的中点， ∴BD＝ AD ， ∵点E为BD中点， ∴ BD AB ， ∴AE＝ AD +DE AB ， ∵AE＝18， ∴AB ＝24， ∴AD＝BD＝12， 又∵BC＝2CD， ∴CD＝ 　　 BD＝4， ∴AC＝AD+CD＝16． 【答案】AD，BD，AB，AD，DE，AB，AB，． 【解答】解：∵点D是AB的中点， ∴BD＝ ADAB， ∵点E为BD中点， ∴DE BDAB， ∴AE＝ AD+DEAB， ∵AE＝18，∴AB＝24， ∴AD＝BD＝12， 又∵BC＝2CD， ∴CD BD＝4， ∴AC＝AD+CD＝16． 17．如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3的三部分，M为AD的中点，BM＝9cm，求CM和AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AB＝2x（cm），BC＝5x（cm），CD＝3x（cm） 则AD＝AB+BC+CD＝10x（cm）， ∵M是AD的中点 ∴AM＝MDAD＝5xcm ∴BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3xcm ∵BM＝9cm， ∴3x＝9， 解得：x＝3， 故CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x＝2×3＝6cm， AD＝10x＝10×3＝30（cm）． 18．如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝12cm，AM＝5cm，求BC的长； （2）如果MN＝8cm，求AB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点， ∴AC＝2AM， ∵AM＝5cm， ∴AC＝10cm， ∵AB＝12cm， ∴BC＝AB﹣AC＝2cm； （2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， ∴BC＝2NC，AC＝2MC， ∵MN＝NC+MC＝8cm， ∴AB＝BC+AC＝2MN＝2×8＝16cm． 19． 如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【答案】（1）CD＝1； （2）AC＝9． 【解答】解：（1）∵点C是线段AE的中点，AC＝3， ∴AC＝CEAE＝3， ∴AE＝6， ∵DE＝2， ∴CD＝CE﹣DE＝1； （2）由于CD：AD＝1：4，设CD＝x，则AD＝4x， ∵点B是线段AD的中点， ∴AB＝BD＝2x， ∵BD﹣CD＝BC，即2x﹣x＝3， 解得x＝3， 即CD＝3＝BC， ∴AB＝BD＝6， ∴AC＝AB+BC＝9． 20．如图，点M在线段AB上，且，点N为线段AM的中点． （1）若AB＝27cm，求BN的长； （2）在直线AB上有一点E，满足BM＝3BE，若BE＝t，请直接写出AE的长（用含t的式子表示）． 【答案】（1）21cm； （2）或． 【解答】解：（1）由题知 BM：AM＝5：4，不妨设BM＝5x，AM＝4x， ∴BM+AM＝9x， ∵AB＝27cm，且 AB＝BM+AM， ∴BM+AM＝9x＝27， ∴x＝3， ∴AM＝12cm，BM＝15cm， ∵点N是线段AM的中点， ∴， ∴BN＝BM+MN＝15+6＝21cm； （2）当点E在点B左侧时，如图所示： ∵BM：AM＝5：4， ∴， ∵MB＝3EB， ∴， ∴MB＝3t， ∵， ∴． 当点E在点B右侧时，如图所示： 同上述过程可知， AM，BM＝3t，BE＝t， ∴AE＝AM+BM+BE， 综上所述，AE的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $