第六单元 数学百花园（期末知识清单）数学北京版五年级上册

第六单元 数学百花园 期末复习知识清单 考点一：密铺问题 1、密铺。 用一种或几种形状、大小完全相同的图形进行拼接，使得图形与图形之间既不留空隙、也不重叠，这种铺满平面的方法叫做密铺，也叫平面图形的镶嵌。 2、关键条件。 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 不重叠：图形与图形之间不能叠在一起。 密铺的核心原理 3、图形能否密铺，关键在于围绕一点拼在一起的几个图形的内角能否拼成一个周角（360°）。 因为在一个顶点周围，各个图形的角汇聚在一起。如果这些角的度数之和正好是360°，那么这个点就能被完美地铺满，没有空隙也不重叠。再将这个模式向四周延伸，就能铺满整个平面。 4、通过动手操作，发现能密铺的图形有等边三角形、长方形、等腰梯形、正六边形，不能密铺的图形有圆、正五边形和正八边形。 考点二：鸡兔同笼问题 1、经典问题。 “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”— 出自《孙子算经》。 翻译：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问鸡和兔各有多少只？ 2、问题模型。 已知：鸡和兔子的总头数（即总只数）、总脚数。 未知：鸡的只数、兔子的只数。 隐含条件：每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚。 3、解决鸡兔同笼的方法。 方法一：列表尝试法（枚举法） 优点：方法简单直观，容易理解。 缺点：如果总头数很大，尝试过程会非常繁琐。 适用：总头数较小的情况。 方法二：假设法（最常用、最重要的方法） 这是解决此类问题的核心思想，有两种假设思路。 思路一：假设全是鸡（“砍足法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是鸡。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 2。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数少了多少只。脚数差 = 实际总脚数 - 假设总脚数。 置换：为什么脚会少？因为我们把兔子也当成了鸡（每只兔子少算了2只脚）。每将1只鸡置换为1只兔子，总脚数就会增加 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次增加的脚数，就得到了需要置换出多少只兔子，也就是兔子的实际只数。兔的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求鸡：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 思路二：假设全是兔（“抬腿法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是兔子。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 4。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数多了多少只。脚数差 = 假设总脚数 - 实际总脚数。 置换：为什么脚会多？因为我们把鸡也当成了兔子（每只鸡多算了2只脚）。每将1只兔子置换为1只鸡，总脚数就会减少 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次减少的脚数，就得到了需要置换出多少只鸡，也就是鸡的实际只数。鸡的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求兔：兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数。 方法三：方程（为初中学习打基础） 步骤： 设兔有 x只，则鸡有 (总头数 - x)只。 根据总脚数列出方程：4x + 2 × (总头数 - x) = 总脚数。 解这个一元一次方程，先求出 x（兔的只数），再求鸡的只数。 题型1：密铺问题 【例1】在下列图形中，可以密铺的有（ ）个。 【练1】下面的图案是用哪些图形密铺的？（ ）、（ ）和（ ）。 题型2：鸡兔同笼问题 【例2】端午节期间，超市卖出面值为500元和300元的购物卡共140张，共收入52000元，其中面值500元的购物卡卖出（ ）张，面值300元的购物卡卖出（ ）张。 【练2】我校四年级学生分组参观洛阳白马寺，每人一次只能参观一个景点。参观天王殿的学生有（ ）人，齐云塔的学生有（ ）人。 一、选择题 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．前进小学“环保卫士”小分队11人参加捡废弃塑料瓶活动，男生每人捡了5个，女生每人捡了3个，一共捡了49个废弃塑料瓶。“环保卫士”小分队有女生（    ）人。 A．3 B．5 C．6 D．8 3．某家具厂委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（    ） A．没有破损：100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套 D．有破损；18套 4．快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 5．为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有（     ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．下面（    ）组图形都可以密铺。 A．正方形、三角形、正六边形 B．三角形、圆、长方形 C．正五边形、梯形、直角三角形 D．平行四边形、正六边形、圆 8．用一种形如的地砖（不能切割）来铺地，下面哪一种地面不能用这种地砖铺满？（    ） A．B．C．D． 二、填空题 9．可以密铺的平面图形有（ ）（写出2个即可）。 10．悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 11．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。单峰骆驼比双峰骆驼略高，腿更细长，更适应炎热的沙漠环境；双峰骆驼身上长着厚厚的毛，更适应在寒漠中行走。现有12只骆驼，共16个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有（ ）只，双峰骆驼有（ ）只。 12．“何人不爱牡丹花，占断城中好物华。”4~5月份的洛阳，牡丹花竞相争艳，游客络绎不绝。某店出售各种牡丹种子，有20粒装和30粒装两种不同的规格共40袋，共980粒种子。其中20粒装的牡丹种子有（ ）袋，30粒装的牡丹种子有（ ）袋。 13．端午节是我国的传统节日之一，吃粽子是端午节的一项重要习俗。由下表信息可知，早餐店在端午节卖出A品牌粽子（ ）个，B品牌粽子（ ）个。 14．螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有（ ）只。 15．一个长方体鱼缸的缸口贴了一圈装饰花边，如图1，花边是由正六边形和等边三角形按图2的样式密铺得到的。 （1）照这样贴一圈，正六边形和等边三角形的总个数正好是90个，其中正六边形有（ ）个。 （2）如果正好贴了90个图形，正六边形的边长是0.6分米，那么这条花边连起来后的总长度是（ ）分米。 16．图形的密铺。 （1）经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）°。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等。 三、操作题 17．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 四、解答题 18．下面三幅图中，哪幅图可以看成是密铺？为什么？    19．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    20．某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 21．厂家委托“货拉拉”运送陶瓷罐子到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣30元。“货拉拉”这次一共运送了100套陶瓷罐子，得到395元运费。这次运送陶瓷罐子安全送达的是几套，破损的是几套？ 22．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中，小林投了15个球，进了10个（没有罚球），总共得了24分。他在这场比赛中投进了几个3分球？ 23．物流公司包运1000只花瓶，每只花瓶运费0.4元，损坏一只不仅没有运费，还需要赔偿损失费5.1元。已知运输队最终获得运费383.5元，请问此次包运损坏了几只花瓶？ 24．42名男生去公园野营，5人共用一顶大帐篷，3人共用一顶小帐篷，一共租了10顶帐篷，正好够用。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 数学百花园 期末复习知识清单 考点一：密铺问题 1、密铺。 用一种或几种形状、大小完全相同的图形进行拼接，使得图形与图形之间既不留空隙、也不重叠，这种铺满平面的方法叫做密铺，也叫平面图形的镶嵌。 2、关键条件。 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 不重叠：图形与图形之间不能叠在一起。 密铺的核心原理 3、图形能否密铺，关键在于围绕一点拼在一起的几个图形的内角能否拼成一个周角（360°）。 因为在一个顶点周围，各个图形的角汇聚在一起。如果这些角的度数之和正好是360°，那么这个点就能被完美地铺满，没有空隙也不重叠。再将这个模式向四周延伸，就能铺满整个平面。 4、通过动手操作，发现能密铺的图形有等边三角形、长方形、等腰梯形、正六边形，不能密铺的图形有圆、正五边形和正八边形。 考点二：鸡兔同笼问题 1、经典问题。 “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”— 出自《孙子算经》。 翻译：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问鸡和兔各有多少只？ 2、问题模型。 已知：鸡和兔子的总头数（即总只数）、总脚数。 未知：鸡的只数、兔子的只数。 隐含条件：每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚。 3、解决鸡兔同笼的方法。 方法一：列表尝试法（枚举法） 优点：方法简单直观，容易理解。 缺点：如果总头数很大，尝试过程会非常繁琐。 适用：总头数较小的情况。 方法二：假设法（最常用、最重要的方法） 这是解决此类问题的核心思想，有两种假设思路。 思路一：假设全是鸡（“砍足法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是鸡。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 2。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数少了多少只。脚数差 = 实际总脚数 - 假设总脚数。 置换：为什么脚会少？因为我们把兔子也当成了鸡（每只兔子少算了2只脚）。每将1只鸡置换为1只兔子，总脚数就会增加 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次增加的脚数，就得到了需要置换出多少只兔子，也就是兔子的实际只数。兔的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求鸡：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 思路二：假设全是兔（“抬腿法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是兔子。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 4。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数多了多少只。脚数差 = 假设总脚数 - 实际总脚数。 置换：为什么脚会多？因为我们把鸡也当成了兔子（每只鸡多算了2只脚）。每将1只兔子置换为1只鸡，总脚数就会减少 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次减少的脚数，就得到了需要置换出多少只鸡，也就是鸡的实际只数。鸡的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求兔：兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数。 方法三：方程（为初中学习打基础） 步骤： 设兔有 x只，则鸡有 (总头数 - x)只。 根据总脚数列出方程：4x + 2 × (总头数 - x) = 总脚数。 解这个一元一次方程，先求出 x（兔的只数），再求鸡的只数。 题型1：密铺问题 【例1】在下列图形中，可以密铺的有（ ）个。 【答案】3 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角和除以360°没有余数或者360°除以一个多边形的内角和没有余数，这样的多边形能密铺。 【解答】四边形的内角和是360°，所以长方形、梯形可以密铺。 三角形内角和是180°，所以三角形可以密铺。 圆不能密铺。 正五边形的内角和是540°，正五边形不能密铺。 正六边形的内角和是720°，正六边形能密铺。 在下列图形中，可以密铺的有3个。 【练1】下面的图案是用哪些图形密铺的？（ ）、（ ）和（ ）。 【答案】正方形 等边三角形 正六边形 【分析】根据密铺的意义，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺。 【解答】图案中用了正方形、等边三角形和正六边形来密铺。 题型2：鸡兔同笼问题 【例2】端午节期间，超市卖出面值为500元和300元的购物卡共140张，共收入52000元，其中面值500元的购物卡卖出（ ）张，面值300元的购物卡卖出（ ）张。 【答案】50 90 【分析】假设都是500元的购物卡，根据总收入与实际收入的差，除以500元和300元的差，求出300元购物卡的张数，进而求出500元购物卡的张数即可。 【解答】假设都是500元的购物卡，则300元的购物卡有： （500×140－52000）÷（500－300） ＝18000÷200 ＝90（张） 则500元的购物卡有：140－90＝50（张） 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 【练2】我校四年级学生分组参观洛阳白马寺，每人一次只能参观一个景点。参观天王殿的学生有（ ）人，齐云塔的学生有（ ）人。 【答案】25 12 【分析】根据鸡兔同笼问题，假设9组都是参观齐云塔的人数，则应该有（9×3）人，比实际的人数少，因为一组参观齐云塔的人数比一组参观天王殿的人数少（5－3）人，用实际的人数减去应有的人数，再除以（6－4）即可求出参观天王殿的组数，最后乘5即可求出参观天王殿的学生有多少人，用总人数减去参观天王殿的人数就是参观齐云塔的人数。 【解答】（37－9×3）÷（5－3） ＝（37－27）÷2 ＝10÷2 ＝5（组） 5×5＝25（人） 37－25＝12（人） 所以参观天王殿的学生有25人，齐云塔的学生有12人。 一、选择题 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小货车有x辆。因为大、小货车共25辆，所以大货车有（25－x）辆。用大、小货车各自车辆数乘每辆车可以运多少吨货物，再相加，等于总的运货数173吨，列出方程即可。 【解答】设小货车有x辆，则大货车有（25－x）辆。 因为大货车每车运9吨，小货车每车运5吨，所以大货车共运（25－x）×9吨，小货车共运5x吨，所以共运（25－x）×9＋5x＝173。 故答案为：C 2．前进小学“环保卫士”小分队11人参加捡废弃塑料瓶活动，男生每人捡了5个，女生每人捡了3个，一共捡了49个废弃塑料瓶。“环保卫士”小分队有女生（    ）人。 A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决该问题。假设11人全是男生，那么一共可以捡11×5＝55（个）废弃塑料瓶。实际捡了49个废弃塑料瓶，两者相差：55－49＝6（个）。每将一名男生换成一名女生，所捡的瓶子数量就会减少：5－3＝2（个），直接用6除以2即可算出女生的人数。 【解答】11×5＝55（个） 55－49＝6（个） 5－3＝2（个） 6÷2＝3（人），即“环保卫士”小分队有女生3人。 故答案为：A 3．某家具厂委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（    ） A．没有破损：100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套 D．有破损；18套 【答案】C 【分析】已知安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。假设“货拉拉”这次运送的100套茶具全部安全送达，则一共得到运费（5×100）元，比实际多了（5×100－410）元，多出的钱数就是运输中损坏少得的钱数，每损坏一套不但得不到运费还要扣除40元，那么用多出的钱数除以损坏每套扣除的钱数和运费，计算出损坏的套数，再用总数减去损坏的套数计算出安全送达的套数。 【解答】5×100－410 ＝500－410 ＝90（元） 90÷（5＋40） ＝90÷45 ＝2（套） 100－2＝98（套） 所以这次运送茶具有破损，其中安全送达的是98套。 故答案为：C 4．快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题可通过假设法，先算出全部不损坏时的运费，再对比实际运费，结合损坏一只玻璃杯少得的费用，进而求出损坏的玻璃杯数量。 【解答】 假设500只玻璃杯都没损坏，可得运费：（元） 实际运费是87元，少得的运费：（元） 每损坏1只，不仅拿不到0.2元运费，还要赔偿0.8元，总共损失：（元） 损坏的玻璃杯数量：（只） 故答案为：D 5．为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有（     ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】几何图形密铺只要形成一个周角就行，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺；四边形的内角和是360°，能整除360°，可以密铺；五边形的内角和是540°，不能整除360°，不能密铺；圆不能密铺；据此即可解答。 【解答】 为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有3种。 故答案为：C 6．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【解答】根据多边形内角和（n－2）×180°。 ①三角形内角和是： （3－2）×180° ＝1×180° ＝180° 则正三角形的内角度数是180°÷3＝60° 60°×6＝360° 正三角形能密铺； ②正方形的内角和是： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°÷360°＝1 正方形能密铺； ③五边形的内角和是： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷360°＝1……180° 540°不能被360°整除，正五边形不能密铺； ④六边形的内角和是： （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷360°＝2 正六边形能密铺。 瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有①②④。 故答案为：B 7．下面（    ）组图形都可以密铺。 A．正方形、三角形、正六边形 B．三角形、圆、长方形 C．正五边形、梯形、直角三角形 D．平行四边形、正六边形、圆 【答案】A 【分析】平面图形密铺的特点：用一种或几种全等图形进行拼接；拼接处不留空隙、不重叠；连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，密铺的图形的公共顶点处的角的度数之和正好是360°。 正方形：正方形的内角和是360°，用4个相同的正方形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用正方形密铺，拼接点处有4个角；所以正方形能密铺。 三角形：三角形的内角和是180°，用6个相同的三角形拼接时，三角形有三个角，每个角只需用两次，拼接点的六个角刚好能拼成一个周角，所以用三角形密铺，拼接点处有6个角；所以三角形能密铺。 正六边形：正六边形的内角和是720°，用3个相同的正六边形拼接时，拼接点的三个角刚好能拼成一个周角，所以用正六边形密铺，拼接点处有3个角；所以正六边形能密铺。 圆：圆是由一条封闭的曲线围成的，同样大小的圆铺在一起圆与圆之间有空隙，所以圆不能密铺。 长方形：长方形的内角和是360°，用4个相同的长方形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用长方形密铺，拼接点处有4个角；所以长方形能密铺。 正五边形：正五边形的内角和是 540°÷360°不能整除，所以正五边形不能密铺。 梯形：梯形的内角和是360°，用4个相同的梯形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用梯形密铺，拼接点处有4个角；所以梯形能密铺。 直角三角形：三角形的内角和是180°，用6个相同的直角三角形拼接时，三角形有三个角，每个角只需用两次，拼接点的六个角刚好能拼成一个周角，所以用直角三角形密铺，拼接点处有6个角；所以直角三角形能密铺。 平行四边形：平行四边形的内角和是360°，用4个相同的平行四边形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用平行四边形密铺，拼接点处有4个角；所以平行四边形能密铺。 【解答】根据分析： A．正方形、三角形和正六边形都可以密铺，符合题意。 B．三角形和长方形可以密铺，圆不可以密铺，不符合题意。 C．梯形和直角三角形可以密铺，正五边形不可以密铺，不符合题意。 D．平行四边形和正六边形可以密铺，圆不可以密铺，不符合题意。 故答案为：A 8．用一种形如的地砖（不能切割）来铺地，下面哪一种地面不能用这种地砖铺满？（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 形如的地砖由两个小正方形组成的，那么地面想要用这种地砖铺满，则底面需要由偶数块小正方形组成，由此即可选择。 【解答】A．3×2÷2＝3（块），可以用3块地砖铺满； B．4×2÷2＝4（块），可以用4块地砖铺满； C．4×3÷2＝6（块），可以用6块地砖铺满； D．5×3÷2＝7.5（块），不切割地砖则铺不满。 故答案为：D 二、填空题 9．可以密铺的平面图形有（ ）（写出2个即可）。 【答案】三角形、正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【解答】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如三角形、正方形、长方形等。 即可以密铺的平面图形有（三角形、正方形）（写出2个即可）。 （答案不唯一） 10．悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 【答案】√ √ × √ 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一种图形能否密铺，关键看围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角360°。 【解答】正方形的四个内角都是直角，直角为90°，4个90°相加为90°×4＝360°，所以正方形可以密铺。正方形地砖可以选择。在旁边的括号里画“√”。 正三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个正三角形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 正五边形的每个内角是108°，360°÷108°＝3……36°，不能整除，这意味着正五边形不能在拼接时彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，所以正五边形地砖不能选择，在旁边的括号里画“×”。 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，3个正六边形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 所以，（√）（√）（×）（√） 11．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。单峰骆驼比双峰骆驼略高，腿更细长，更适应炎热的沙漠环境；双峰骆驼身上长着厚厚的毛，更适应在寒漠中行走。现有12只骆驼，共16个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有（ ）只，双峰骆驼有（ ）只。 【答案】8 4 【分析】假设12只全是双峰骆驼，则一共有（12×2＝24）个驼峰，而实际只有16个驼峰，多了（24－16＝8）个驼峰，双峰骆驼比单峰骆驼多1个驼峰，因此用多的驼峰数除以1，即可得到单峰骆驼的只数，用骆驼的总数减单峰骆驼的只数，就是双峰骆驼的只数。 【解答】12×2＝24（个） 24－16＝8（个） 2－1＝1（个） 8÷1＝8（只） 12－8＝4（只） 这些骆驼中单峰骆驼有（8）只，双峰骆驼有（4）只。 12．“何人不爱牡丹花，占断城中好物华。”4~5月份的洛阳，牡丹花竞相争艳，游客络绎不绝。某店出售各种牡丹种子，有20粒装和30粒装两种不同的规格共40袋，共980粒种子。其中20粒装的牡丹种子有（ ）袋，30粒装的牡丹种子有（ ）袋。 【答案】22 18 【分析】假设法解题，先假设全是30粒装的种子，计算出与实际粒数的差额，再根据每袋两种规格种子的粒数差，求出20粒装的袋数，最后用总袋数减去20粒装的袋数得到30粒装的袋数。 【解答】假设全是30粒装的种子。 总粒数：30×40＝1200（粒） 与实际粒数差额：1200－980＝220（粒） 每袋两种规格粒数差：30－20＝10（粒） 20粒装的袋数：220÷10＝22（袋） 30粒装的袋数：40－22＝18（袋） 所以，20粒装的牡丹种子有22袋，30粒装的牡丹种子有18袋。 13．端午节是我国的传统节日之一，吃粽子是端午节的一项重要习俗。由下表信息可知，早餐店在端午节卖出A品牌粽子（ ）个，B品牌粽子（ ）个。 【答案】18 12 【分析】用假设法解决，先假设卖出的全是A品牌的粽子，这时卖出的总价比实际多24元。是因为把B品牌的粽子每个多算了2元，24元里面有12个2，所以B品牌有12个，那么A品牌有18个。 【解答】假设卖出的全是A品牌的粽子。 30×5－126 ＝150－126 ＝24（元） B品牌：24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（个） A品牌：30－12＝18（个） 所以，卖出A品牌粽子18个，卖出B品牌粽子12个。 14．螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有（ ）只。 【答案】2 【分析】假设全是螳螂和蝉，因为螳螂和蝉都有6条腿，如果7个头对应的全是螳螂和蝉，那么腿的总数应该是6×7＝42（条）。但实际腿数是34条，比假设的情况少了42－34＝8（条）腿。这是因为每把一只黄雀当成螳螂或蝉就会多算6－2＝4（条）腿。计算黄雀的数量：总共多算了8条腿，所以求黄雀的数量列式为8÷4，计算即可。 【解答】假设全是螳螂和蝉。 6×7＝42（条） 42－34＝8（条） 6－2＝4（条） 8÷4＝2（只） 螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有2只。 15．一个长方体鱼缸的缸口贴了一圈装饰花边，如图1，花边是由正六边形和等边三角形按图2的样式密铺得到的。 （1）照这样贴一圈，正六边形和等边三角形的总个数正好是90个，其中正六边形有（ ）个。 （2）如果正好贴了90个图形，正六边形的边长是0.6分米，那么这条花边连起来后的总长度是（ ）分米。 【答案】（1）30 （2）36 【分析】（1）从图②可以看出，每一个正六边形旁边都有2个等边三角形，也就是说等边三角形个数是正六边形个数的2倍；把正六边形的个数看成1份，那么等边三角形的个数就是2份，用正六边形和等边三角形的总个数除以总份数即可求出正六边形的个数； （2）由图可知，等边三角形的边长与正六边形的边长相等，把1个正六边形和2个等边三角形看成一组，90个图形就是这样的90÷（1＋2）组。因为是围成一圈密铺的，所以每组的长度可以看成是0.6＋0.6＝1.2（分米），因此花边的总长度列式为1.2×30。 【解答】（1）90÷（1＋2） ＝90÷3 ＝30（个） 所以其中正六边形有30个。 （2）0.6＋0.6＝1.2（分米） 90÷（1＋2）×1.2 ＝90÷3×1.2 ＝30×1.2 ＝36（分米） 所以这条花边连起来后的总长度是36分米。 16．图形的密铺。 （1）经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）°。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等。 【答案】（1）360 （2）梯形 长方形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则不能密铺。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360°。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：梯形的内角和是：（4－2）×180°＝360°，梯形能密铺；长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成360度，能单独密铺。 【解答】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360°。 （2）梯形：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有梯形、长方形等。（答案不唯一） 三、操作题 17．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 【答案】见详解 【分析】观察涂色三角形的形状和六边形的特点，由于六边形的内角和为720°，正六边形每个内角是120°，而该三角形可以通过拼接组成六边形的内角。从六边形的中心出发，连接各个顶点，这样就可以把六边形分割成6个与涂色部分同样的三角形，从而清晰看出密铺方式。 【解答】 四、解答题 18．下面三幅图中，哪幅图可以看成是密铺？为什么？    【答案】③ 可以看成是密铺。理由见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接：（2）拼接处不留空隙。不重叠：（3）连续铺成一片。据此解答。 【解答】第一幅不是密铺，第二幅不是密铺，第三幅图是密铺。理由：因为第一幅图空隙，所以不是密铺；第二副图中，图形之间重叠，不是密铺；第三幅图中图形之间既不留空隙，也不重叠地铺满，是密铺。 【点评】本题考查平面图形密铺的特点，需熟练掌握。 19．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    【答案】能；见详解 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。 【解答】能密铺。 如图：    【点评】掌握密铺图形的定义是解题的关键。 20．某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【答案】 智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 【分析】假设15台全部是智能清扫机器人，即3×15＝45（个），比实际少了52－45＝7（个）轮子，智能配送机器人比智能清扫机器人每台多：4－3＝1（个）轮子，即智能配送机器人的台数是：7÷1＝7（台），智能清扫机器人台数是：15－7＝8（台） 【解答】52－3×15 ＝52－45 ＝7（个） 7÷（4－3） ＝7÷1 ＝7（台） 15－7＝8（台） 答：智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 21．厂家委托“货拉拉”运送陶瓷罐子到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣30元。“货拉拉”这次一共运送了100套陶瓷罐子，得到395元运费。这次运送陶瓷罐子安全送达的是几套，破损的是几套？ 【答案】97套；3套 【分析】此题可用假设法，假设100套陶瓷罐子都安全送达，100乘5可以求出安全运送100套的运费是500元，而实际只得到395元的运费，损失了105元，因为破损1套扣30元，1套的运费是5元，即破损1套35元就没有了，105里面有几个35，就破损了几套，用105除以35可以求出破损的有3套，最后用100减3即可求出安全送达的数量。 【解答】假设全部安全送达。 应得运费：5×100＝500（元） 500－395＝105（元） 5＋30＝35（元） 105÷35＝3（套） 100－3＝97（套） 答：安全送达97套，破损3套。 22．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中，小林投了15个球，进了10个（没有罚球），总共得了24分。他在这场比赛中投进了几个3分球？ 【答案】4个 【分析】假设小林投进的全是3分球，则得分为3×10＝30（分），比实际得分多得30－24＝6（分），这是因为每个3分球比2分球多得3－2＝1（分），据此可求出小林投中的2分球的个数，用6除以1即为2分球的个数，再用10减去投进的2分球的个数即为投进的3分球的个数。据此列式解答。 【解答】假设投中的全是3分球。 3×10＝30（分） 30－24＝6（分） 3－2＝1（分） 6÷1＝6（个） 10－6＝4（个） 答：他在这场比赛中投进了4个3分球。 23．物流公司包运1000只花瓶，每只花瓶运费0.4元，损坏一只不仅没有运费，还需要赔偿损失费5.1元。已知运输队最终获得运费383.5元，请问此次包运损坏了几只花瓶？ 【答案】3只 【分析】损毁一只，不给运费，还要赔偿5.1元，那么每损坏一只就要少收入5.1＋0.4元；先求出应付的运费钱数，然后求出实际少付了多少钱，用实际少付的钱数除以每损坏一只就要少收入的钱数就是损坏花瓶的只数。据此解答。 【解答】（1000×0.4－383.5）÷（5.1＋0.4） ＝（400－383.5）÷5.5 ＝16.5÷5.5 ＝3（只） 答：此次包运损坏了3只花瓶。 24．42名男生去公园野营，5人共用一顶大帐篷，3人共用一顶小帐篷，一共租了10顶帐篷，正好够用。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】6顶；4顶 【分析】假设都是大帐篷，则够5×10＝50（人）用，已知比假设少了：50－42＝8（人），一顶小帐篷比一顶大帐篷少（5－3）人，所以小帐篷有：8÷（5－3）＝4（顶），然后用10减去小帐篷的数量可得大帐篷的数量。 【解答】（5×10－42）÷（5－3） ＝（50－42）÷2 ＝8÷2 ＝4（顶） 10－4＝6（顶） 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶。 【点评】解题关键在于理解假设法的原理，准确找出人数差异与帐篷容纳人数差异之间的关系，从而顺利解决问题。 25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【答案】（1）见详解 （2）③ （3）图见详解 【分析】（1）（2）从多边形的一个顶点作与不与它相邻顶点的连接线，将求多边形内角和变成几个三角形内角和的和，并找出求多边形内角和的规律，即可解答； （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，据此选择平行四边形并设计出密铺图案即可。 【解答】（1） 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 四边形中共画出1条线段，将其分成2个三角形， 180°×（2）＝（360°）。 五边形 五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形 180°×（3）＝（540°）。 六边形 六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形， 180°×（4）＝（720°）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可推导出n边形的内角和是180°×（n－2），这个多边形的内角和是③。 （3）360°÷360°＝1 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $