第七单元 数学百花园（期末知识清单）数学北京版六年级上册

该小学数学“数学百花园”单元知识清单聚焦黄金螺旋线与铁链长度两大核心考点，通过“考点解析+题型示例+分层练习”的结构，构建了从概念理解到问题解决的递进式学习支架。 清单以“考点—题型—应用”三级体系呈现知识，黄金螺旋线部分拆解画法步骤并关联斐波那契数列规律，铁链长度结合铁环尺寸推导计算公式，培养学生几何直观与运算能力。设计“易错点标注”如铁环相扣重叠长度计算，分层练习覆盖选择填空解答题，既便于学生自主复习，也为教师教学提供精准素材支持。

第七单元 数学百花园 期末复习知识清单 考点一：黄金螺旋线 1、黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来，这些扇形的半径之间存在着规律：从第3个扇形开始，每个扇形的半径等于它前面相邻两个扇形半径的和。 2、黄金螺旋线的画法。 第一步：画一个黄金矩形。 先画一个正方形。 取正方形一条边的中点。 以这个中点为圆心，中点到对角顶点的距离为半径画一个弧。 这个弧会与正方形一条边的延长线相交，延伸出去的这部分矩形，就是一个黄金矩形。这个新的大矩形的长边与短边之比就是黄金比。 第二步：不断分割出新的正方形和黄金矩形。 在这个黄金矩形中，以短边为边长，切割出一个最大的正方形。剩下的部分又是一个小的黄金矩形。 在这个新的、小一点的黄金矩形中，重复上一步操作：再以短边为边长切割出一个正方形，剩下的部分会是一个更小的黄金矩形。 不断重复这个过程，你会得到一系列越来越小的正方形和黄金矩形。 第三步：连接象限点，形成螺旋线。 在每个被切割出的正方形中，以一条对角线为参照，画一条四分之一圆弧（象限弧）。 这些四分之一圆弧的半径分别是每个正方形的边长。 当把这些四分之一圆弧平滑地连接起来时，就形成了一条美丽的黄金螺旋线。 考点二：铁链的长度 1、铁链的长度和铁环的个数有关，如果n个铁环连在一起，铁链的长度就是[10+（n-1）×8]厘米。 2、解题步骤。 第一步：分析单个环的尺寸。 外直径 （D）：指整个铁环最外端的直径。 内直径 （d）：指铁环中间空心部分的直径。题目有时不直接给出，但会给出铁环铁丝的粗细（铁丝直径）。 关系：外直径 （D）=内直径（d）+ 2 × 铁丝粗细 第二步：分析两个环相扣的情况（关键步骤）。 当两个环相扣时，一个环会嵌入另一个环的一部分。 嵌入的这部分，其长度正好等于一个铁环的铁丝粗细的2倍（因为左右各嵌入一半）。 因此，每增加一个环，链条实际增加的长度并不是一个环的整个外直径，而是要比外直径短。 题型1：黄金螺旋线 【例1】数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【练1】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 题型2：铁链的长度 【例2】下图所示铁环每节的长度是（    ）。 A．8cm B．8cm5mm C．7cm5mm 【练2】如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 一、选择题 1．如图，将大小相同的3个铁环套在一起，拉紧后实际长度是多少？列式为（    ）。 A．20＋20＋20＝60（厘米） B．20＋20＋20－2＝58（厘米） C．20＋20＋20－4＝56（厘米） 2．如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 3．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 5．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 8．下图中有六个小正方形，它们的边长是一组斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8（单位：），用这些数作半径，可画出美妙的螺旋线。请计算图中螺旋线的长度是（ ）。（结果可用含有的式子表示）。 9．如下图，两个同样的铁环连在一起，长28厘米，每个铁环长16厘米，10个这样的铁环依次连在一起长（ ）厘米。 10．现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度。 圆环个数 1 2 3 4 … 总长度（cm） 5 9 13 17 … 像这样，10个圆环拉紧后的长度是（ ）厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是（ ）厘米。 三、解答题 11．有10根铁链，每根长5厘米，铁链粗0.5厘米，把它们连成一条长链，链长多少厘米？ 12．图是5个大小相同的铁链连在一起的图形．它的长度是多少？10个这样的铁环连在一起有多长？ 13．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是多少？ 14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学百花园 期末复习知识清单 考点一：黄金螺旋线 1、黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来，这些扇形的半径之间存在着规律：从第3个扇形开始，每个扇形的半径等于它前面相邻两个扇形半径的和。 2、黄金螺旋线的画法。 第一步：画一个黄金矩形。 先画一个正方形。 取正方形一条边的中点。 以这个中点为圆心，中点到对角顶点的距离为半径画一个弧。 这个弧会与正方形一条边的延长线相交，延伸出去的这部分矩形，就是一个黄金矩形。这个新的大矩形的长边与短边之比就是黄金比。 第二步：不断分割出新的正方形和黄金矩形。 在这个黄金矩形中，以短边为边长，切割出一个最大的正方形。剩下的部分又是一个小的黄金矩形。 在这个新的、小一点的黄金矩形中，重复上一步操作：再以短边为边长切割出一个正方形，剩下的部分会是一个更小的黄金矩形。 不断重复这个过程，你会得到一系列越来越小的正方形和黄金矩形。 第三步：连接象限点，形成螺旋线。 在每个被切割出的正方形中，以一条对角线为参照，画一条四分之一圆弧（象限弧）。 这些四分之一圆弧的半径分别是每个正方形的边长。 当把这些四分之一圆弧平滑地连接起来时，就形成了一条美丽的黄金螺旋线。 考点二：铁链的长度 1、铁链的长度和铁环的个数有关，如果n个铁环连在一起，铁链的长度就是[10+（n-1）×8]厘米。 2、解题步骤。 第一步：分析单个环的尺寸。 外直径 （D）：指整个铁环最外端的直径。 内直径 （d）：指铁环中间空心部分的直径。题目有时不直接给出，但会给出铁环铁丝的粗细（铁丝直径）。 关系：外直径 （D）=内直径（d）+ 2 × 铁丝粗细 第二步：分析两个环相扣的情况（关键步骤）。 当两个环相扣时，一个环会嵌入另一个环的一部分。 嵌入的这部分，其长度正好等于一个铁环的铁丝粗细的2倍（因为左右各嵌入一半）。 因此，每增加一个环，链条实际增加的长度并不是一个环的整个外直径，而是要比外直径短。 题型1：黄金螺旋线 【例1】数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此即可选择。 【解答】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意。 故答案为：Ａ 【练1】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 【答案】C 【分析】根据题意找出半径的变化规律，前面两个半径的和等于下一个半径的长度，所以第六个半径的长度是3＋5＝8cm，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这6个圆弧相加即可。 【解答】3＋5＝8（cm） 由题意得：前6步的半径依次是以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm，8cm ∴前6步所画扇形的弧长总和为： ×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π（cm） 所以则前6步所画扇形的弧长总和为10πcm。 故答案为：C 【点评】本题考查的是弧长的 题型2：铁链的长度 【例2】下图所示铁环每节的长度是（    ）。 A．8cm B．8cm5mm C．7cm5mm 【答案】B 【分析】根据题意可知，16厘米为两节铁环连在一起的长度，而两节铁环的接头处有2个5毫米的厚度，即两节铁环的总长度为：16厘米＋5毫米＋5毫米＝17厘米，依此选择即可。 【解答】A．8cm＋8cm＝16cm，即不满足； B．8cm5mm＋8cm5mm＝17 cm，因此满足； C．7cm5mm＋7cm5mm＝15 cm，即不满足。 故答案为：B 【点评】此题考查的是厘米与毫米之间的换算，先计算出两节铁环的总长度是解答此题的关键。 【练2】如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 【答案】C 【分析】观察上图可知，铁环的直径为8厘米，铁环的厚度为5毫米，3个铁环连在一起的长度等于铁环的直径乘3，再减去重复计算的4个铁环的厚度，据此即可解答。 【解答】8×3＝24（厘米） 5×4＝20（毫米）＝2厘米 24－2＝22（厘米） 3个铁环连在一起，长22厘米。 故答案为：C 一、选择题 1．如图，将大小相同的3个铁环套在一起，拉紧后实际长度是多少？列式为（    ）。 A．20＋20＋20＝60（厘米） B．20＋20＋20－2＝58（厘米） C．20＋20＋20－4＝56（厘米） 【答案】C 【分析】一个铁环长度是20厘米，3个铁环长度就是（20＋20＋20）厘米。将这3个铁环套在一起，每处连接点有2个铁环的厚度不计入总长度中，一共有2个连接点，共有4个铁环的长度不计入总长度中。用3个铁环的长度减去4厘米，就求出拉紧后的实际长度。 【解答】20＋20＋20－4＝56（厘米） 拉紧后实际长度是56厘米。 故答案为：C 2．如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 【答案】B 【分析】根据题意知：5个大小相同的铁环连在一起，且每个铁环是4厘米。总长也就是5个4相乘，但铁环是环环相扣的，也就是有重复的计算，找到有几个重复计算的，然后减去就是总长了。且要记得单位换算。 【解答】5×4＝20（厘米）  20厘米＝200毫米 8×5＝40（毫米）  200－40＝160（毫米） 所以5个大小相同的铁环连在一起，总长是160毫米。 故答案为：B 【点评】本题主要考查长度计算，解答本题的关键是找到重复计算的，且能掌握单位之间的换算。 3．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 【答案】B 【分析】根据题意可知，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，由于这个图是到第6个扇形，所以把这6个圆弧相加即可 【解答】×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π ＝10×3.14 ＝31.4 所以图中斐波那契螺旋线的长为31.4。 故答案为：B 4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图可知，这个螺旋线是由4个大小半径不同的圆弧组成的，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这4个圆弧相加即可。 【解答】阴影部分内部是边长为1的正方形， 由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为2，第三个扇形的半径为3，第四个扇形的半径为5； ×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2π×5×2 ＝π＋π＋π＋π ＝π 将圆弧连接起来得到的这一段斐波那契螺旋线的弧长为： 故答案为：C 5．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答。 【解答】A．是轴对称图形，故该选项是正确的； B．不是轴对称图形，故该选项是错误的； C．不是轴对称图形，故该选项是错误的； D．不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故答案为：A 二、填空题 6．著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 【答案】55 【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和，由此即可求解。 【解答】有分析可知： 第个数是： 第个数是： 所以其中的第9个数是55。 【点评】本题考查数字类规律，根据题意找到规律是解题关键，属于基础题。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 【答案】7.85 【分析】观察图形可知，从第三步的扇形开始，每个扇形的半径是前面两个扇形半径之和，第一个扇形半径是1cm，第二个扇形半径是1cm，第三个扇形半径是1＋1＝2cm，第四个扇形半径是1＋2＝3cm，第五个扇形半径是2＋3＝5cm，第五步弧线长就是半径为5cm圆的周长的，根据圆的周长公式：π×半径×2，即可求出弧长。 【解答】根据分析可知，弧长：3.14×5×2× ＝15.7×2× ＝31.4× ＝7.85（cm） 【点评】本题考查扇形弧长的求法，根据圆的周长公式进行解答，确定扇形的半径是解题的关键。 8．下图中有六个小正方形，它们的边长是一组斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8（单位：），用这些数作半径，可画出美妙的螺旋线。请计算图中螺旋线的长度是（ ）。（结果可用含有的式子表示）。 【答案】10π 【分析】由图示可知，刨出去一个半径为1的圆的长度，则剩下图中斐波那契螺旋线的长度就是由半径分别为1、2、3、5、8的圆的周长的组成，利用圆的周长公式可计算出来。 【解答】×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＋×2π×5＋×2π×8＋×2π×1 ＝×2π×（1＋2＋3＋5＋8）＋π ＝π×19＋π ＝10π（厘米） 【点评】我们需要仔细审题，细心观察图示，最后得出这些螺旋线就是半径呈斐波那契数列规律排列的圆组成的，在此基础上谨慎列式计算求解。 9．如下图，两个同样的铁环连在一起，长28厘米，每个铁环长16厘米，10个这样的铁环依次连在一起长（ ）厘米。 【答案】124 【分析】根据题意，先求出两个铁环连在一起，重叠的部分的长度，再求出10个铁环连在一起，重叠的部分的长度，最后求出10个这样的铁环依此连在一起的长度。 【解答】16×2－28 ＝32－28 ＝4（厘米） 16×10－4×（10－1） ＝160－4×9 ＝160－36 ＝124（厘米） 【点评】解答此题的关键是，如何求出重叠部分的长度，再用总长度减去重叠部分的长度就是要求的答案。 10．现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度。 圆环个数 1 2 3 4 … 总长度（cm） 5 9 13 17 … 像这样，10个圆环拉紧后的长度是（ ）厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是（ ）厘米。 【答案】41 （4n＋1） 【分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5＋4＝9（厘米）；3个圆环的总长度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。据此解答即可。 【解答】10个圆环的总长度是： 4×10＋1 ＝40＋1 ＝41（厘米） n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米 【点评】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题。 三、解答题 11．有10根铁链，每根长5厘米，铁链粗0.5厘米，把它们连成一条长链，链长多少厘米？ 【答案】41厘米 【分析】观察图形可以发现，相邻的两个铁链之间重叠的部分是两个铁链的粗，先求出一共有几个重叠，然后用铁链的总长减去重叠部分就是实际长度。 【解答】10根铁链有10－1＝9处重叠， 10×5－9×0.5×2 ＝50－9 ＝41（厘米） 答：链长41厘米。 【点评】本题主要考查了重叠问题，求出每处重叠部分的长度是本题解题的关键。 12．图是5个大小相同的铁链连在一起的图形．它的长度是多少？10个这样的铁环连在一起有多长？ 【答案】176毫米；346毫米 【分析】五个连在一起，重叠了5﹣1＝4个铁坏的厚度；同理，10个连在一起，重叠了10﹣1＝9个铁环的厚度，先求出5或10个铁环的长度，然后减去重叠部分的长度就是铁环连在一起的长度；据此解答。 【解答】五个：40×5﹣6×（5﹣1） ＝200﹣24 ＝176（毫米） 十个：40×10﹣6×（10﹣1） ＝400﹣54 ＝346（毫米） 答：5个大小相同的铁链连在一起的图形。它的长度是176毫米，10个这样的铁环连在一起有346毫米。 13．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是多少？ 【答案】6764 【分析】斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。如果把前18项全写出来相加，计算量会很大。考虑裂项解决。关键在题干所给的第20项。写出哪一项裂项会出现第20项即可解答。 【解答】 …… 所以前18项的和＝6765－1＝6764 【点评】解题关键是明白斐波那契数列的特点，并且能观察到哪一项裂项会出现第20项。 14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】7.065平方厘米 【分析】由题意可知，第1步中扇形的半径是1厘米，第2步中扇形的半径是1厘米，第3步中扇形的半径是（1＋1）厘米，第4步中扇形的半径是（1＋1＋1）厘米，扇形的面积是所在圆面积的，最后利用“”求出第4步画的新扇形的面积，据此解答。 【解答】3.14×（1＋1＋1）2× ＝3.14×9× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 答：第4步画的新扇形的面积是7.065平方厘米。 【点评】根据图形求出扇形的半径并掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $