第七单元 数学百花园（知识清单）数学北京版六年级上册

第七单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：黄金螺旋线 1、黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来，这些扇形的半径之间存在着规律：从第3个扇形开始，每个扇形的半径等于它前面相邻两个扇形半径的和。 2、黄金螺旋线的画法。 第一步：画一个黄金矩形。 先画一个正方形。 取正方形一条边的中点。 以这个中点为圆心，中点到对角顶点的距离为半径画一个弧。 这个弧会与正方形一条边的延长线相交，延伸出去的这部分矩形，就是一个黄金矩形。这个新的大矩形的长边与短边之比就是黄金比。 第二步：不断分割出新的正方形和黄金矩形。 在这个黄金矩形中，以短边为边长，切割出一个最大的正方形。剩下的部分又是一个小的黄金矩形。 在这个新的、小一点的黄金矩形中，重复上一步操作：再以短边为边长切割出一个正方形，剩下的部分会是一个更小的黄金矩形。 不断重复这个过程，你会得到一系列越来越小的正方形和黄金矩形。 第三步：连接象限点，形成螺旋线。 在每个被切割出的正方形中，以一条对角线为参照，画一条四分之一圆弧（象限弧）。 这些四分之一圆弧的半径分别是每个正方形的边长。 当把这些四分之一圆弧平滑地连接起来时，就形成了一条美丽的黄金螺旋线。 知识点二：铁链的长度 1、铁链的长度和铁环的个数有关，如果n个铁环连在一起，铁链的长度就是[10十（n一1）×8]厘米。 2、解题步骤。 第一步：分析单个环的尺寸。 外直径 （D）：指整个铁环最外端的直径。 内直径 （d）：指铁环中间空心部分的直径。题目有时不直接给出，但会给出铁环铁丝的粗细（铁丝直径）。 关系：外直径 （D） = 内直径 （d） + 2 × 铁丝粗细 第二步：分析两个环相扣的情况（关键步骤）。 当两个环相扣时，一个环会嵌入另一个环的一部分。 嵌入的这部分，其长度正好等于一个铁环的铁丝粗细的2倍（因为左右各嵌入一半）。 因此，每增加一个环，链条实际增加的长度并不是一个环的整个外直径，而是要比外直径短。 题型1：黄金螺旋线 【例1】数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【练1】“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 【练2】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 题型2：铁链的长度 【例2】如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 【练3】如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 【练4】按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 一、选择题 1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中不是轴对称图形的是（    ）。 A．谢尔宾斯基地毯 B．笛卡尔心形图 C．斐波那契螺旋线 D．杨辉三角图 2．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 3．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 4．如图，将大小相同的3个铁环套在一起，拉紧后实际长度是多少？列式为（    ）。 A．20＋20＋20＝60（厘米） B．20＋20＋20－2＝58（厘米） C．20＋20＋20－4＝56（厘米） 5．下图所示铁环每节的长度是（    ）。 A．8cm B．8cm5mm C．7cm5mm 二、填空题 6．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线的长度是（ ）。 7．有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是（ ）。 8．两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，他们重叠的部分有（ ）厘米，5个这样的铁环连在一起有（ ）厘米。 9．有若干个同样大小的圆环，它的外直径5厘米，环宽0.5厘米。 如果将它们扣在一起组成一根链子，再拉紧后测量出链子的长度，圆环的个数增加，长度有怎样的变化规律？请你边计算填表，边思考。 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 将12个这样的圆环扣在一起形成一根链子，用你发现的规律计算出链子拉紧后的长度是（ ）厘米。 10．有六条铁链，每条有四个环（如图）。打开一个环要用1分钟，封闭一个打开的环要用3分钟。现在要把这24个环连成一条铁链，至少要用（ ）分钟。 三、解答题 11．把3个大小相同的铁环连在一起（如下图），拉紧后的长是多少毫米？ 12．下面是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？ 13．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 15．如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 16．现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm （1）请完成表格。 （2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？ （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：黄金螺旋线 1、黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来，这些扇形的半径之间存在着规律：从第3个扇形开始，每个扇形的半径等于它前面相邻两个扇形半径的和。 2、黄金螺旋线的画法。 第一步：画一个黄金矩形。 先画一个正方形。 取正方形一条边的中点。 以这个中点为圆心，中点到对角顶点的距离为半径画一个弧。 这个弧会与正方形一条边的延长线相交，延伸出去的这部分矩形，就是一个黄金矩形。这个新的大矩形的长边与短边之比就是黄金比。 第二步：不断分割出新的正方形和黄金矩形。 在这个黄金矩形中，以短边为边长，切割出一个最大的正方形。剩下的部分又是一个小的黄金矩形。 在这个新的、小一点的黄金矩形中，重复上一步操作：再以短边为边长切割出一个正方形，剩下的部分会是一个更小的黄金矩形。 不断重复这个过程，你会得到一系列越来越小的正方形和黄金矩形。 第三步：连接象限点，形成螺旋线。 在每个被切割出的正方形中，以一条对角线为参照，画一条四分之一圆弧（象限弧）。 这些四分之一圆弧的半径分别是每个正方形的边长。 当把这些四分之一圆弧平滑地连接起来时，就形成了一条美丽的黄金螺旋线。 知识点二：铁链的长度 1、铁链的长度和铁环的个数有关，如果n个铁环连在一起，铁链的长度就是[10十（n一1）×8]厘米。 2、解题步骤。 第一步：分析单个环的尺寸。 外直径 （D）：指整个铁环最外端的直径。 内直径 （d）：指铁环中间空心部分的直径。题目有时不直接给出，但会给出铁环铁丝的粗细（铁丝直径）。 关系：外直径 （D） = 内直径 （d） + 2 × 铁丝粗细 第二步：分析两个环相扣的情况（关键步骤）。 当两个环相扣时，一个环会嵌入另一个环的一部分。 嵌入的这部分，其长度正好等于一个铁环的铁丝粗细的2倍（因为左右各嵌入一半）。 因此，每增加一个环，链条实际增加的长度并不是一个环的整个外直径，而是要比外直径短。 题型1：黄金螺旋线 【例1】数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此即可选择。 【解答】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意。 故答案为：Ａ 【练1】“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 【答案】B 【分析】根据题意可知，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，由于这个图是到第6个扇形，所以把这6个圆弧相加即可 【解答】×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π ＝10×3.14 ＝31.4 所以图中斐波那契螺旋线的长为31.4。 故答案为：B 【练2】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 【答案】C 【分析】根据题意找出半径的变化规律，前面两个半径的和等于下一个半径的长度，所以第六个半径的长度是3＋5＝8cm，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这6个圆弧相加即可。 【解答】3＋5＝8（cm） 由题意得：前6步的半径依次是以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm，8cm ∴前6步所画扇形的弧长总和为： ×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π（cm） 所以则前6步所画扇形的弧长总和为10πcm。 故答案为：C 【点评】本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键。 题型2：铁链的长度 【例2】如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 【答案】C 【分析】观察上图可知，铁环的直径为8厘米，铁环的厚度为5毫米，3个铁环连在一起的长度等于铁环的直径乘3，再减去重复计算的4个铁环的厚度，据此即可解答。 【解答】8×3＝24（厘米） 5×4＝20（毫米）＝2厘米 24－2＝22（厘米） 3个铁环连在一起，长22厘米。 故答案为：C 【练3】如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 【答案】B 【分析】根据题意知：5个大小相同的铁环连在一起，且每个铁环是4厘米。总长也就是5个4相乘，但铁环是环环相扣的，也就是有重复的计算，找到有几个重复计算的，然后减去就是总长了。且要记得单位换算。 【解答】5×4＝20（厘米）  20厘米＝200毫米 8×5＝40（毫米）  200－40＝160（毫米） 所以5个大小相同的铁环连在一起，总长是160毫米。 故答案为：B 【点评】本题主要考查长度计算，解答本题的关键是找到重复计算的，且能掌握单位之间的换算。 【练4】按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 【答案】B 【分析】通过观察可知，后一幅图比前一幅图的长度多4厘米，那么第12幅图比第一幅图多（12－1）×4＝44厘米，然后加上8厘米即可解答。 【解答】（12－1）×4＋8 ＝44＋8 ＝52（厘米） 故答案为：B 【点评】此题主要考查学生对图形规律问题的解答。 一、选择题 1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中不是轴对称图形的是（    ）。 A．谢尔宾斯基地毯 B．笛卡尔心形图 C．斐波那契螺旋线 D．杨辉三角图 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此即可选择。 【解答】A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不合题意。 故答案为：C 2．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图可知，这个螺旋线是由4个大小半径不同的圆弧组成的，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这4个圆弧相加即可。 【解答】阴影部分内部是边长为1的正方形， 由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为2，第三个扇形的半径为3，第四个扇形的半径为5； ×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2π×5×2 ＝π＋π＋π＋π ＝π 将圆弧连接起来得到的这一段斐波那契螺旋线的弧长为： 故答案为：C 3．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答。 【解答】A．是轴对称图形，故该选项是正确的； B．不是轴对称图形，故该选项是错误的； C．不是轴对称图形，故该选项是错误的； D．不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故答案为：A 4．如图，将大小相同的3个铁环套在一起，拉紧后实际长度是多少？列式为（    ）。 A．20＋20＋20＝60（厘米） B．20＋20＋20－2＝58（厘米） C．20＋20＋20－4＝56（厘米） 【答案】C 【分析】一个铁环长度是20厘米，3个铁环长度就是（20＋20＋20）厘米。将这3个铁环套在一起，每处连接点有2个铁环的厚度不计入总长度中，一共有2个连接点，共有4个铁环的长度不计入总长度中。用3个铁环的长度减去4厘米，就求出拉紧后的实际长度。 【解答】20＋20＋20－4＝56（厘米） 拉紧后实际长度是56厘米。 故答案为：C 5．下图所示铁环每节的长度是（    ）。 A．8cm B．8cm5mm C．7cm5mm 【答案】B 【分析】根据题意可知，16厘米为两节铁环连在一起的长度，而两节铁环的接头处有2个5毫米的厚度，即两节铁环的总长度为：16厘米＋5毫米＋5毫米＝17厘米，依此选择即可。 【解答】A．8cm＋8cm＝16cm，即不满足； B．8cm5mm＋8cm5mm＝17 cm，因此满足； C．7cm5mm＋7cm5mm＝15 cm，即不满足。 故答案为：B 【点评】此题考查的是厘米与毫米之间的换算，先计算出两节铁环的总长度是解答此题的关键。 二、填空题 6．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线的长度是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这5个圆弧相加即可。 【解答】由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5…，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，故前五个正方形内形成的曲线的长度是： ×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2 ＝π＋π＋π＋π＋π ＝6π 所以前五个正方形内形成的曲线的长度是6π。 【点评】本题考查圆的周长公式，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长。 7．有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是（ ）。 【答案】34 【分析】根据题意找出半径的变化规律，前面两个数的和等于下一个数的大小，所以第九项的长度应该是第七项和第八项的和，据此即可填空。 【解答】由分析可知： 该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和， 这列数中第九项是。 【点评】本题考查了数字的规律，正确理解题意时解题的关键。 8．两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，他们重叠的部分有（ ）厘米，5个这样的铁环连在一起有（ ）厘米。 【答案】2 64 【分析】已知每个铁环长16厘米，两个同样的铁环连在一起长28厘米，2个铁环的长度之和减连在一起的长度再除以2就可得到重叠部分的长度；5个铁环连在一起，则有4个重合位置，其长度为5个铁环的总长减已重叠部分的总长度。 【解答】根据分析重叠部分的长度为： （16×2－28）÷2 ＝（32－28）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 每个重叠部分减少2×2＝4厘米，5个这样的铁环连在一起的长度为： 16×5－4×2×2 ＝80－16 ＝64（厘米） 【点评】解答此题的关键是，如何求出重叠部分的长度，再用总长度减去重叠部分的长度就是要求的答案。 9．有若干个同样大小的圆环，它的外直径5厘米，环宽0.5厘米。 如果将它们扣在一起组成一根链子，再拉紧后测量出链子的长度，圆环的个数增加，长度有怎样的变化规律？请你边计算填表，边思考。 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 将12个这样的圆环扣在一起形成一根链子，用你发现的规律计算出链子拉紧后的长度是（ ）厘米。 【答案】9 13 17 49 【分析】（1）根据题干可知：1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格，由此即可得出规律进行解答； （2）设环的个数为n，拉紧后总长为S，根据上面规律，找出个数与总长度之间的关系，进而求出12个圆环拉紧后的长度 【解答】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格如下： 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （   9   ） （   13   ） （   17   ） （2）观察上表可得：当有n个环时，拉紧后的总长度S就是：S＝1＋4n厘米； 所以当n＝12时，总长度是：1＋12×4＝49（厘米）， 则12个圆环拉紧后的长度是49厘米。 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 10．有六条铁链，每条有四个环（如图）。打开一个环要用1分钟，封闭一个打开的环要用3分钟。现在要把这24个环连成一条铁链，至少要用（ ）分钟。 【答案】16 【分析】把第一条铁链的每个都打开，总共打开4个环，就可以全部连起来。 【解答】打开4个环，需要（分钟） 连接4次，需要（分钟） （分钟） 【点评】本题考查的是优化问题，要把两个环连在一次，只需要打开一个就可以了。 三、解答题 11．把3个大小相同的铁环连在一起（如下图），拉紧后的长是多少毫米？ 【答案】82毫米 【分析】拉紧后的长度就是三个铁环的长度之和再减去重叠部分的长度即可得出。此处需要知道有几个重叠的长度，先看图的左边重叠部分的长度实际上算了两次，也就是左边铁环加上中间的铁环；同理可知右边重叠部分的长度实际上也算了两次。据此解答即可。 【解答】30＋30＋30＝90（毫米） 2＋2＋2＋2＝8（毫米） 90－8＝82（毫米） 答：拉紧后长度是82毫米。 【点评】本题考查学生利用加减法来分析问题和解决问题的能力，此处知晓重叠部分是几次是解答的关键。 12．下面是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？ 【答案】152毫米 【分析】根据题图可知，当五个铁环连在一起时，有4个连接点，每个连接点中有2个铁环的厚度不能计入组成图形的长度中，用五个铁环的长度和减去8个铁环的厚度，即可求出组成图形的长度。 【解答】4厘米＝40毫米 40×5－8×6 ＝200－48 ＝152（毫米） 答：它的长度是152毫米。 【点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，即可求出实际总量。 13．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 【答案】672个 【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。 【解答】2016÷3＝672（个） 672×1＝672（个） 答：前2016个数中共有672个偶数。 【点评】找到题干中的数列规律是解题的关键。 14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】7.065平方厘米 【分析】由题意可知，第1步中扇形的半径是1厘米，第2步中扇形的半径是1厘米，第3步中扇形的半径是（1＋1）厘米，第4步中扇形的半径是（1＋1＋1）厘米，扇形的面积是所在圆面积的，最后利用“”求出第4步画的新扇形的面积，据此解答。 【解答】3.14×（1＋1＋1）2× ＝3.14×9× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 答：第4步画的新扇形的面积是7.065平方厘米。 【点评】根据图形求出扇形的半径并掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 15．如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 【答案】94.2平方厘米 【分析】观察图形可知，涂色部分是由4个大小不相同的扇形组成，这4个扇形的圆心角都 90°，所以都是圆的；分别是以A点为圆心、AD为半径画的圆，以B点为圆心、BE为半径画的圆，以C点为圆心、CF为半径画的圆，以D点为圆心、DG为半径画的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，再乘，求出这4个扇形的面积，再相加，就是涂色部分的面积。 【解答】AD＝2厘米 BE＝2＋2＝4（厘米） CF＝4＋2＝6（厘米） DG＝6＋2＝8（厘米） 3.14×22×＋3.14×42×＋3.14×62×＋3.14×82× ＝3.14×1＋3.14×4＋3.14×9＋3.14×16 ＝3.14×（1＋4＋9＋16） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 答：涂色部分的面积是94.2平方厘米。 【点评】关键是找出4个扇形的半径，然后根据圆的面积公式列式计算。 16．现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm （1）请完成表格。 （2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？ （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的？ 【答案】（1）见详解 （2）45厘米 （3）S＝1＋4a； （4）19个 【分析】（1）根据题干可知，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格， （2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，由此进行解答； （3）依据上面规律，代入数据即可得出用字母a、S表示的关系式； （4）设有n个圆环扣成的，由上面得出的关系式即可得出一个方程，解方程即可。 【解答】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格： 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm 5 9 13 17 21 25 …… （2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米， 所以，当n＝11时，总长度为： 1＋11×4 ＝1＋44 ＝45（厘米） 答：11个圆环拉紧后的长度是45厘米。 （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式： S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a ＝1＋4a 答：关系式为：S＝＝1＋4a （4）解：设圆环的个数为x，根据上面关系式可得： 1＋4x＝77 4x＝76 X＝19 答：是由19个圆环扣成的。 【点评】此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $