精品解析：上海市嘉定区第二中学2025-2026学年高三上学期期中质量评估数学试卷

嘉定二中2025年第一学期期中考试 高三数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格，填对1-6题得4分､7-12题得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，则___________． 2. 不等式的解集为________. 3. 函数的最小正周期为______. 4. 已知，是两两垂直的单位向量，则________． 5. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 6. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 7. 已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是______． 8. 已知在处取得极值，则的最小值为__________. 9. 若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与（，）互为“邻位复数”， 则的最大值_______． 10. 若函数存在极值点，则的取值范围是__________. 11. 如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________． 12. 对任意数集，满足表达式且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中的元素之和为___________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（ ） A. B. 3 C. -3 D. 15. 已知函数 的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 16. 若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（ ） A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题 C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 19. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； （2）已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 21. 对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在内是单调递增或递减函数；②若存在，使得函数在的值域也是．那么我们把函数叫做“闭函数”． （1）判断函数是不是闭函数，并说明理由； （2）若函数为“闭函数”，则实数在变化时，求的最大值； （3）若函数为闭函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉定二中2025年第一学期期中考试 高三数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格，填对1-6题得4分､7-12题得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的运算直接求解即可． 【详解】， ． 故答案为：． 2. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解． 【详解】, 故答案为：． 3. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 4. 已知，是两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】用向量的模的定义直接运算即可得出答案. 【详解】因为，是两两垂直的单位向量， 所以，则. 故答案为：. 5. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可计算出，再由共轭复数定义及模长公式即可得. 【详解】易知 ， 所以，可得. 故答案为：5 6. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 7. 已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据侧面展开图是半圆解得，再由求出可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得， 又由，可得，， 所以圆锥的侧面积是. 故答案为：. 8. 已知在处取得极值，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】解：由， 因为函数在处取得极值，所以有， 则， 因为， 所以， 当且仅当，结合，即时取等号. 故答案为：8 9. 若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与（，）互为“邻位复数”， 则的最大值_______． 【答案】9 【解析】 【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知，所求表达式表示点到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解. 【详解】因为复数与互为“邻位复数”， 所以，故，即， 其表示的是点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而表示点到原点的距离， 故的最大值为原点到圆心的距离加半径， 即， 所以的最大值为， 故答案为：9. 10. 若函数存在极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，有解得到，排除和得到答案. 【详解】，，则， 有极值点，则有解，则， 解得或， 当时，，函数单调递增，不满足； 当时，，函数单调递增，不满足； 综上所述：. 故答案为： 11. 如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表示向量的坐标，进而得出，最后利用基本不等式求解最小值． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系， ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 12. 对任意数集，满足表达式且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中的元素之和为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】， 当或时，， 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0， 当时，该函数取得极小值，图象如图： 观察图象知，当与图象有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图象有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图象有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为90. 故答案为：90. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据两不等式所表示的集合之间关系结合必要非充分条件的判定即可得到答案. 【详解】根据， 则“”无法推出“”， “”可以推出“”， 故“”是“”的必要非充分条件， 故选：B. 14. 直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（ ） A. B. 3 C. -3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出的斜率，利用倾斜角的定义，建立起的倾斜角与的倾斜角的关系，可得答案. 【详解】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为， 直线的斜率. 故选：C. 15. 已知函数 的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质得出，由此得出，即可得出的最大值结合选项即得. 【详解】， ，即， 函数的值域为， ， 则的最大值是， 若，值域为，； 若，值域为，； 若，值域为，. 故选：D. 16. 若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（ ） A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题 C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点， 设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可； 对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可. 【详解】（1）对命题： 设，的隔离直线为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 若，记，，则二次函数有两个不同零点， 记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故， 若，则符合题意，若，由对任意x都成立， 注意到的对称轴为，从而，即， 所以，又的对称轴为，∴， 即，∴，故，同理可得，， 即，的最小值为，故命题为假命题； （2）对命题： 注意到函数和均经过， 若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即， 由恒成立，即， 整理得：对于均成立. 若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立； 若，记， 则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：， 此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分， 即对于无法成立.故，此时直线， 下面证明. 令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题. 故选：B 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明:如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以，即，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以，即直线与平面所成角为. 18. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 【答案】⑴ ⑵单调递增区间是,值域是． 【解析】 【分析】⑴ 利用定义即可求解的值； ⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域． 【详解】解：角的终边与单位圆交于点， ， ； ⑵由； 由， 得，， 又，所以的单调递增区间是； ， ， ， 故得的值域是． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 19. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； （2）已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可构造方程求得的值； （2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可. 【小问1详解】 由偶函数定义知：， 即，. 【小问2详解】 由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示： 设直线：， 联立，消去得， 所以， 由韦达定理有， 从而， 所以线段的中点的坐标为，即， 从而直线的斜率与的斜率的乘积为， 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标、离心率首先确定的值，即可以先得到的值，利用平方关系即可求出的值，从而得解. （2）画出图形，若要证明直线的斜率与的斜率的乘积为定值，只需证明为定值，设直线方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得证. （3）由题意先根据得到，进一步利用弦长公式、点到直线的距离公式得到面积的表达式，从而利用函数的观点即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆的左右焦点分别为、， 所以， 又因为， 所以， 从而椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， 其中， 又直线：上有点， 所以 ， 若，则有，即， 所以，此时， 如图所示： 原点到的距离为， 而 ， 所以面积的表达式为 ， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以面积的取值范围. 21. 对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在内是单调递增或递减函数；②若存在，使得函数在的值域也是．那么我们把函数叫做“闭函数”． （1）判断函数是不是闭函数，并说明理由； （2）若函数为“闭函数”，则实数在变化时，求的最大值； （3）若函数为闭函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是闭函数，理由为： 令，在上为增函数，满足条件① 若存在区间，使在上的值域是， 则（），方程组无解，所以不满足条件②， 所以函数不是闭函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由闭函数的定义进行判断即可. （2）由题意得，转化为方程在上有两个不等实根，从而可得，求出的范围，再由可求出结果. （3）先利用导数判断出在上为增函数，则由为闭函数可得在上有两个不等实根，令，转化为与的图象有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间和最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，易知在上为增函数， 因为为闭函数， 所以存在区间，使在上的值域是， 所以， 所以在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根， 所以，解得或， 所以， 因为或， 所以当时，取得最大值. 【小问3详解】 令， 所以， 令，则， 所以在上为增函数， 所以，即， 所以在上为增函数， 因为为闭函数， 所以方程在上有两个不等实根， 所以方程在上有两个不等实根， 令，则与的图象有两个不同的交点， ， 令，则， 所以在上为增函数，， 因为， 所以存在唯一，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $