精品解析：广西钦州市浦北县2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题

2025年秋季学期高二年级期中教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，须用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，并将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再利用虚部的定义可得答案. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 下列说法正确的是(　　) A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【解析】 【分析】概率表示事件发生的可能性的大小，具有随机性，频率代表实验中事件实际发生的次数与试验总次数之比，为实际值，由此判断即可. 【详解】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场； B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈； C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率； D选项，概率为90%，即可能性为90%. 故选D. 【点睛】本题考查概率的特点以及概率与频率之间的关系，由概率的随机性即可判断. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解. 【详解】因为的斜率， 所以其倾斜角为30°. 故选：A. 4. 已知圆与圆，则两圆位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案． 【详解】两圆圆心分别为，，半径分别为2和3， 所以圆心距为，因为，故两圆外切. 故选：C 5. 在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将所有的情况枚举出来再分析即可. 【详解】用表示通过主席台的次序,则所有可能的次序为,,,,,,共6种,其中B先于A,C通过的有和,共2种,故所求概率. 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型的一般方法,根据枚举求解即可.属于基础题型. 6. 已知、，点M在x轴上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点A关于x轴的对称点的坐标，由两点之间线段最短，可得选项． 【详解】如图，点A关于x轴的对称点为，则当点M为与x轴的交点时，取得最小值， 即. 故选：B． 【点睛】本题考查点关于线的对称点和两点间的距离公式的应用之最短距离，属于基础题． 7. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示圆及点在圆外，列出不等式求解. 【详解】方程表示圆， 则，即，解得或. 点在圆外， 则，即，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 8. 若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过定点的坐标及曲线所表示的图形，再数形结合即可得解. 【详解】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ） A. 甲获胜的概率是 B. 甲不输的概率是 C. 乙输的概率是 D. 乙不输的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断. 【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误； 故选：BCD 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线的四段方程，作出图象，数形结合求解. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【解析】 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 13. 已知复数z满足：（为虚数单位），则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】设，代入化简，根据复数相等可求出，，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】设（a，）， 则，代入， 则， ∴，， 即，， ∴， ∴. 故答案为：5. 14. 一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程有实数根的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法原理可得基本事件个数为个；方程有实根等价于，可得；通过对立事件可求得对立事件的概率，从而利用对立事件概率和为求得结果. 【详解】由题意知：基本事件共有个 方程有实根 其对立事件为：，包含：，，共个基本事件 所求概率为 本题正确结果： 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、对立事件的概率求解.当符合题意的基本事件个数较多时，通常采用求解对立事件概率的方式，间接法求解所求概率. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，（）， （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 16. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程求得交点，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程； （2）设垂直直线为，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 联立，解得，交点， 设与直线平行的直线方程为 把代入可得，可得， ∴所求的直线方程为：. 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为， ∵到的距离为，解得或， ∴直线的方程为：或 17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出、；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果. （2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】 设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B相互独立. 因为两轮选拔之间相互独立 所以，. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率. 【小问2详解】 设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立. 则. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 18. 已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长； （3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【详解】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆方程为. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. （1）求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ （2）设为曲线C上任一点，求的取值范围； （3）设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设，根据列方程化简可得结论； （2）设，则，由该直线与圆有公共点，可得关于的不等式，求解可得取值范围； （3）联立直线和圆C方程，消元后利用韦达定理代入到，进行坐标运算可得关于的方程，解出m即可. 即可求证； 【详解】（1）设，因为， 故， 化简得：， 整理可得， 配方得：， 点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆； （2）设，则， 由直线l：与圆C有公共点， 由（1）知圆C方程为， 则， 化简得：，解得， 故的取值范围是； （3）设，，联立， 消去y得， 由，得 ①， 根据韦达定理得：，， 由以MN为直径的圆过原点，得到， 所以 ， 解得满足①式， 所以存在实数，使得以MN为直径的圆过原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二年级期中教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，须用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，并将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列说法正确的是(　　) A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水可能性是90% 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为 A. B. C. D. 6. 已知、，点M在x轴上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ） A. 甲获胜的概率是 B. 甲不输的概率是 C. 乙输的概率是 D. 乙不输的概率是 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，则的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线间的距离为1，则__________. 13. 已知复数z满足：（为虚数单位），则__________. 14. 一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程有实数根的概率是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，（）， （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 16. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线与直线垂直，且到距离为，求直线的方程. 17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 18. 已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长； （3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. （1）求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ （2）设为曲线C上任一点，求的取值范围； （3）设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $