第01讲 实数及其运算（复习讲义，6考点11题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、有关概念、大小比较、科学记数法、平方根立方根及混合运算等中考必考考点。以“定义-性质-运算”逻辑构建知识网络，通过考情剖析明确命题趋势，知识导航梳理体系，考点解析分题型突破，真题训练融合2024-2025年湖南中考真题，重难突破针对数轴结合、非负性应用等难点，形成系统且针对性强的复习路径。 亮点在于情境化教学与分层突破策略，如通过“弹簧振子压缩”情境题训练正负数意义，结合数轴比较大小培养几何直观与抽象能力。针对实数混合运算，总结“先乘方开方再乘除后加减”步骤强化运算能力，设置三级练习。重难突破中“非负性应用”专题，通过例题培养推理意识，助力学生高效突破考点，教师可据此精准把控节奏，提升备考效率。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 实数的分类 题型01 正负数的意义 题型02 无理数的估算 题型03 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01 科学记数法表示数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01 求一个数的平方根/立方根 题型02 根据平方根/立方根的性质求解 题型03平方根/立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01 实数运算的简单应用 题型02 实数的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 非负性的应用 突破三 实数运算与新定义问题 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 06·优题精选·练能提分 22 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 正数与负数 长沙卷 T3 湖南省卷 T1 理解具有相反意义的量，能用正数和负数表示实际问题中的数量。 绝对值、相反数与倒数 / 湖南省卷 T11 借助数轴理解绝对值和相反数的意义，掌握求实数的绝对值和相反数的方法。 实数的大小比较 湖南省卷 T1 / 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 长沙卷 T1 湖南省卷 T2长沙卷 T2 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 湖南省卷T19 长沙卷 T10 T17 湖南省卷 T19 长沙卷 T3 T17 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合正数与负数、绝对值与相反数、实数的大小比较、平方根与立方根、实数的运算等情境考查实数相关知识，题型以选择题和计算题为主。正数与负数：常结合生活实际（如收支、行走方向、温度变化）考查具有相反意义的量的表示；绝对值与相反数：多融合在数轴分析、实数运算中考查；实数的大小比较：可能单独命题或结合数轴进行判断；平方根与立方根：常在实数运算中作为隐含考点出现；实数的运算：每年必考，题型稳定，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程的准确性和规范性。 考点一 实数及其分类 1.正数、负数的意义 (1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 (2)表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2.实数的概念 (1)整数和分数称为有理数； 【本质】：有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. (2) 无限不循环小数叫做无理数； 【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等. 【补充2】常见的无理数：①开方开不尽的数，如：、等.②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等.③具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.④某些三角函数，如sin60°、cos20°. (3)有理数和无理数统称为实数。 3.实数的分类 (1)按定义分类： (2)按性质分类： 1．（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·湖南省卷·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2025年湖南长沙市一中·一模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 示意图及三要素 原点 正方向 单位长度 数轴上的点和两点间的距离 (1)数轴上的点和 实数 是 一一 对应的； (2)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）.。 2. 相反数 定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 性质与意义 (1)实数a的相反数是-a（a与b互为相反数 ⇔a+b=0）； (2) 相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (3)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 3. 绝对值 定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a| 性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 【几何意义补充】|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 4.倒数 倒数 两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2024·湖南省卷·中考真题）计算： ． 2.(2025年湖南省长沙市长郡教育集团联考中考一模)的倒数是（    ） A． B． C． D． 3.(2025年湖南省中考数学仿真试卷)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 考点三 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 5. 倒数比较法： 6. 作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 7. 特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 1．（2025·湖南省卷·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 2.(2025年湖南省邵阳市双清区·中考三模)比较大小： ．0（填“＞”、“＝”或“＜”）． 3.(2025年湖南省邵阳市邵东市·中考一模)实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 考点四 科学记数法与近似数 1.科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=108 2.近似数（长沙） 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 1．（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南省卷·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 考点五 平方根、算术平方根与立方根 概念 性质 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 【补充1】平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 【补充2】常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【补充3】实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1.(2023·湖南邵阳·中考真题)的立方根是 。 2.(2025年湖南省初中毕业水平测试BEST数学B卷）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 考点六 实数的运算 1.实数的运算法则： (1)实数的加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数。 (2)实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. (3)实数的乘法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0. (4)实数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ③0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 (5) 乘方运算：求几个相同因数乘积的运算。写作：aⁿ（aⁿ表示 n个a连续相乘。) 【补充】①正数的任何次幂都是正数；②0的任何正整数次幂都是0；③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. (6)开方运算：①开平方是求一个数的平方根的运算。②开立方是求一个数的立方根的运算。 2.零指数幂、负整数指数幂 (1)零指数幂:任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a⁰ = 1 （其中 a ≠ 0） (2)负整数指数幂:任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为： （其中 a ≠ 0, n 是正整数） 3.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 4.实数的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 5.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 1．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 【典例1】(2025·长沙市湖南师大附中教育集团联考一模)人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】(2025·邵阳市双清区·中考三模)冰箱保鲜室的温度为零上，记作，那么冷冻室的温度为零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南常德·一模）下列各数为负数的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 【变式1】（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）已知m为整数，且，则m值为 ． 【变式3】（2025·岳阳·三模）若为正整数，且满足，则 ． ►题型03 实数的分类 1.有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 2.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D．5 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·一模）下面各数中，最小的有理数是（   ） A． B． C． D．3 【变式3】（2025·湖南益阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的性质（数轴、相反数、绝对值、倒数） 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0； （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数； 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数； 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 【典例1】（2025·湖南·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【典例2】（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）下列各组数互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．2与 D．与 【变式2】（2025·湖南张家界·二模）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）的绝对值是（　　） A． B． C．2 D． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 【典例1】在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【典例2】（2025·湖南长沙·三模）某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（   ） A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）下列实数中，最大的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南怀化·二模）下列四个实数中，绝对值最小的是（   ） A． B．3 C．0.5 D． 命题点四 科学记数法 ►题型01 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。用科学记数法表示带单位的大数的技巧：。 【典例】（2025·湖南怀化·一模）电影《哪吒2》火爆全球，截至2025年4月1日票房累计达到亿，用科学记数法表示亿这个数是（　  　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市自然资源和规划局发布的《长沙市国土空间总体规划(2021—2035年)》中指出，到2035年，长沙市域常住人口规模严格控制在14000000人以内，城镇化率达到．其中数据14000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·三模）随着风电技术的进步和风电规模的大型化，2023年我国并网发电达到了430000000千瓦．430000000用科学记数法可表示为 ． 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 ►题型01求一个数的平方根/立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【易错失分点】求的平方根，要先把去根号，再求平方根 【典例】 （2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）8的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【典例】（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【变式1】 （2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． ►题型03 平方根/立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例】（2025九年级·湖南·学业考试）物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 【变式1】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（25-26·湖南岳阳·二模）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数运算的简单应用 【典例】（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）湖南省某中学地理兴趣小组开展气温观测活动发现1月某日受强冷空气影响，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日娄底最高气温比最低气温高（      ） A．1℃ B．5 ℃ C． D． 【变式2】（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． ►题型02 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【典例1】（2024·湖南·中考真题）计算：． 【典例2】（2025·湖南株洲·三模）计算： 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）计算： 【变式2】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【变式3】（2025·湖南永州·三模）计算：． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【变式1】点在数轴上的位置如图所示，试比较、、大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【变式3】若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 突破二 非负数的应用 【典例】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【变式1】若与互为相反数，则的值为 ． 【变式2】已知，则的平方根为 ． 【变式3】若有理数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是（  ） A．12或8 B．10 C．8 D．10或8 突破三 实数运算与新定义问题 【典例】对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【变式2】定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 【变式3】定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出生日期中的“日”，得到一个计算结果．只要学生把计算结果报出来，王老师就可以推测出学生的生日．聪明的言言经过思考，也发现了其中的数学奥秘，并能够准确地推测出生日．如果A同学报出来的计算结果是1042，那么言言推测出A同学的生日是 月 日． 【变式1】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【变式2】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 1.（2025·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作米，那么跳1.7米应记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.（2025·湖南·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·湖南邵阳·模拟预测）实数2，0，，中，最大的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 4.（2025九年级·湖南·学业考试）4月9日，据猫眼专业版数据，《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．将数据15600000000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说法中：①一个有理数不是整数就是分数．②非负有理数不包括零．③有原点、正方向和单位长度的线段就是数轴．④倒数等于它本身的数只有两个．⑤只有负数的绝对值等于它的相反数．⑥符号相反的两个数互为相反数，其中错误的有 （填序号）． 7.（2025·湖南邵阳·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 8.（2025·湖南长沙·三模）计算：． 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 10.（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 11.（2025·娄底市娄星区校·三模联考）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 12.（2025·娄底市娄星区校·三模联考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 13.（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 14.(2025·云南省·中考真题)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（    ） A．元 B．5元 C．元 D．10元 15.(2025·江西省·中考真题)在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 16.(2025·重庆市·中考真题)6的相反数为　　 A．-6 B．6 C． D． 17.(2025·上海市·中考真题)据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 18.(2025·重庆市·中考真题)若为正整数，且满足，则 ． 19.(2025·四川省成都市·中考真题)任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 20．(2025·重庆市·中考真题)若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 21.(2025·云南省·中考真题)计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 实数的分类 题型01 正负数的意义 题型02 无理数的估算 题型03 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01 科学记数法表示数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01 求一个数的平方根/立方根 题型02 根据平方根/立方根的性质求解 题型03平方根/立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01 实数运算的简单应用 题型02 实数的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 33 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 非负性的应用 突破三 实数运算与新定义问题 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 06·优题精选·练能提分 40 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 正数与负数 长沙卷 T3 湖南省卷 T1 理解具有相反意义的量，能用正数和负数表示实际问题中的数量。 绝对值、相反数与倒数 / 湖南省卷 T11 借助数轴理解绝对值和相反数的意义，掌握求实数的绝对值和相反数的方法。 实数的大小比较 湖南省卷 T1 / 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 长沙卷 T1 湖南省卷 T2长沙卷 T2 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 湖南省卷T19 长沙卷 T10 T17 湖南省卷 T19 长沙卷 T3 T17 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合正数与负数、绝对值与相反数、实数的大小比较、平方根与立方根、实数的运算等情境考查实数相关知识，题型以选择题和计算题为主。正数与负数：常结合生活实际（如收支、行走方向、温度变化）考查具有相反意义的量的表示；绝对值与相反数：多融合在数轴分析、实数运算中考查；实数的大小比较：可能单独命题或结合数轴进行判断；平方根与立方根：常在实数运算中作为隐含考点出现；实数的运算：每年必考，题型稳定，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程的准确性和规范性。 考点一 实数及其分类 1.正数、负数的意义 (1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 (2)表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2.实数的概念 (1)整数和分数称为有理数； 【本质】：有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. (2) 无限不循环小数叫做无理数； 【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等. 【补充2】常见的无理数：①开方开不尽的数，如：、等.②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等.③具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.④某些三角函数，如sin60°、cos20°. (3)有理数和无理数统称为实数。 3.实数的分类 (1)按定义分类： (2)按性质分类： 1．（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解． 【详解】解：将向东走80米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作米． 故选：A． 2．（2024·湖南省卷·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“”，则支出为“”， 那么支出180元记作元． 故选：C． 3．（2025年湖南长沙市一中·一模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义和无理数的定义，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数，也考查了绝对值，零指数幂． 【详解】， 故选：D． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 示意图及三要素 原点 正方向 单位长度 数轴上的点和两点间的距离 (1)数轴上的点和 实数 是 一一 对应的； (2)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）.。 2. 相反数 定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 性质与意义 (1)实数a的相反数是-a（a与b互为相反数 ⇔a+b=0）； (2) 相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (3)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 3. 绝对值 定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a| 性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 【几何意义补充】|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 4.倒数 倒数 两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2024·湖南省卷·中考真题）计算： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2024． 2.(2025年湖南省长沙市长郡教育集团联考中考一模)的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 3.(2025年湖南省中考数学仿真试卷)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数等基础知识，由数轴可得四点表示的数，这些数中找出互为相反数的两个数即可． 【详解】解：数轴上A、B、C、D四个点表示的数分别为，而2与互为相反数， 即点B与点D表示的数互为相反数， 故选：D． 考点三 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 5. 倒数比较法： 6. 作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 7. 特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 1．（2025·湖南省卷·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 2.(2025年湖南省邵阳市双清区·中考三模)比较大小： ．0（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】变形3=，后比较被开方数的大小即可． 【详解】∵3=，7＜9， ∴， ∴即＜0， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练把一个非负数变形为二次根式表示的数是解题的关键． 3.(2025年湖南省邵阳市邵东市·中考一模)实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，掌握一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离是解题关键．根据四个实数与原点的距离判断即可． 【详解】解：由数轴可知，实数离原点的距离最远， 绝对值最大的是d， 故选：D． 考点四 科学记数法与近似数 1.科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=108 2.近似数（长沙） 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 1．（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 2．（2024·湖南省卷·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 考点五 平方根、算术平方根与立方根 概念 性质 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 【补充1】平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 【补充2】常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【补充3】实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1.(2023·湖南邵阳·中考真题)的立方根是 。 【答案】2 【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：，8的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 2.(2025年湖南省初中毕业水平测试BEST数学B卷）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，根据立方根和算术平方根的定义化简，再根据无理数的定义判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是无理数，该选项符合题意； 、，是有理数，该选项不合题意； 、，是有理数，该选项不合题意； 、是有理数，该选项不合题意； 故选：． 考点六 实数的运算 1.实数的运算法则： (1)实数的加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数。 (2)实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. (3)实数的乘法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0. (4)实数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ③0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 (5) 乘方运算：求几个相同因数乘积的运算。写作：aⁿ（aⁿ表示 n个a连续相乘。) 【补充】①正数的任何次幂都是正数；②0的任何正整数次幂都是0；③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. (6)开方运算：①开平方是求一个数的平方根的运算。②开立方是求一个数的立方根的运算。 2.零指数幂、负整数指数幂 (1)零指数幂:任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a⁰ = 1 （其中 a ≠ 0） (2)负整数指数幂:任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为： （其中 a ≠ 0, n 是正整数） 3.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 4.实数的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 5.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 1．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 3．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 【典例1】(2025·长沙市湖南师大附中教育集团联考一模)人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负表示相反意义的量是关键． 根据低于正常体温记作，则高于用正数，由此即可求解． 【详解】解：∵低于正常体温记作， ∴高于正常体温应该记作， 故选：B ． 【典例2】（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， 故选：C． 【变式1】(2025·邵阳市双清区·中考三模)冰箱保鲜室的温度为零上，记作，那么冷冻室的温度为零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对具有相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行表示即可． 【详解】∵零上，记作， ∴零下，应记作． 故选：A． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南常德·一模）下列各数为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义，根据有理数的乘方、绝对值的性质及相反数的定义分别对各选项进行计算，再根据结果判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，是正数，该选项不合题意； 、，是负数，该选项符合题意； 、，是正数，该选项不合题意； 、，是正数，该选项不合题意； 故选：． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握该知识点是解题的关键．由于，根据算术平方根得到，即可判断的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）已知m为整数，且，则m值为 ． 【答案】3 【分析】利用夹逼法估算的大小后确定m的整数解即可． 本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ，且m为整数， ， 故答案为： 【变式3】（2025·岳阳·三模）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． ►题型03 实数的分类 1.有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 2.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，求一个数的立方根，解题关键是明确无理数的定义，掌握无理数常见形式．根据无理数定义逐个判断，即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、5是有理数，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，正确理解定义是解题的关键． 根据无理数的定义去甄别即可． 【详解】解：A、是有理数，故该项正确，符合题意； B、是无理数，故该项错误，不符合题意； C、是无理数，故该项错误，不符合题意； D、是无理数，故该项错误，不符合题意； 故选A． 【变式2】（2025·湖南·一模）下面各数中，最小的有理数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查实数分类、有理数比较大小等知识，先判断、是无理数，再由正数负数即可得到答案，熟记实数分类及正数负数是解决问题的关键． 【详解】解：、是无理数， 只需要比较和的大小， ， 最小的有理数是， 故选：C． 【变式3】（2025·湖南益阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，代数式求值，掌握有理数的分类是解题的关键，注意0比较特殊，是整数，既不是正数也不是负数．根据整数，非负数的定义得出，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， 整数有、，，，，共5个，即， 非负数有、，，，，，共6个，即， ，故答案为：。 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的性质（数轴、相反数、绝对值、倒数） 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0； （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数； 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数； 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 【典例1】（2025·湖南·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数等基础知识，由数轴可得四点表示的数，这些数中找出互为相反数的两个数即可． 【详解】解：数轴上A、B、C、D四个点表示的数分别为，而2与互为相反数， 即点B与点D表示的数互为相反数， 故选：D． 【典例2】（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数的性质，零指数幂，求代数式的值．先根据相反数，倒数的定义求出，，再代入原式，根据任何不等于零的数的次幂都等于，即可得到结果． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， 故． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）下列各组数互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．2与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数，根据绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数的定义分别计算判断即可． 【详解】解：A、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，，所以与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、，，所以与互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·湖南张家界·二模）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）的绝对值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的求解，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解： 的绝对值是2， 故选：C． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 【典例1】在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，正确运用比较大小的法则是解题的关键． 根据负数大的反而小，0大于一切负数，正数大于0即可比较大小． 【详解】解：， 这四个数中，最小的数是， 故答案为：A． 【典例2】（2025·湖南长沙·三模）某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（   ） A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握负数小于、正数，以及两个负数比较大小的规则是解题的关键．根据有理数大小比较的规则，比较四个城市的最低气温，找出最小的温度对应的城市． 【详解】解：有理数大小比较中，负数小于和正数，两个负数比较绝对值大的反而小． ，，且， ． 又， 即沈阳的最低气温是四个城市中最低的． 故选： ． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小的比较；根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，零大于一切负数，即可完成． 【详解】解：∵， 且， ∴， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）下列实数中，最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较的方法，也考查了无理数的估算．任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于零，负实数都小于零，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，依此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大的实数是． 故选：D． 【变式3】（2025·湖南怀化·二模）下列四个实数中，绝对值最小的是（   ） A． B．3 C．0.5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，先分别求出各个数的绝对值，然后在比较实数的大小即可． 【详解】解∶，，，， ∵， ∴绝对值最小的是， 故选：C 命题点四 科学记数法 ►题型01 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。用科学记数法表示带单位的大数的技巧：。 【典例】（2025·湖南怀化·一模）电影《哪吒2》火爆全球，截至2025年4月1日票房累计达到亿，用科学记数法表示亿这个数是（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市自然资源和规划局发布的《长沙市国土空间总体规划(2021—2035年)》中指出，到2035年，长沙市域常住人口规模严格控制在14000000人以内，城镇化率达到．其中数据14000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3】（2025·湖南·三模）随着风电技术的进步和风电规模的大型化，2023年我国并网发电达到了430000000千瓦．430000000用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 ►题型01求一个数的平方根/立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【易错失分点】求的平方根，要先把去根号，再求平方根 【典例】 （2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）8的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作．据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意； B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意； 故选：D． ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【典例】（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 【变式1】 （2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根满足且，因此必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ►题型03 平方根/立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例】（2025九年级·湖南·学业考试）物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，把h的值代入中即可求解． 【详解】解：把代入，得， 故答案为：2． 【变式1】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 【变式2】（25-26·湖南岳阳·二模）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数运算的简单应用 【典例】（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解； 【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）湖南省某中学地理兴趣小组开展气温观测活动发现1月某日受强冷空气影响，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日娄底最高气温比最低气温高（      ） A．1℃ B．5 ℃ C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴这天的最高气温比最低气温高， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． ►题型02 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【典例1】（2024·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 【典例2】（2025·湖南株洲·三模）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，算术平方根，先化简零次幂，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，根据绝对值的意义，特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先求算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 【变式3】（2025·湖南永州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 【变式1】点在数轴上的位置如图所示，试比较、、大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图示，可得：，据此判定出、、大小关系即可． 【解答】解：， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了数轴，有理数大小比较，理清的取值范围是解答本题的关键． 【变式2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 【变式3】若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 突破二 非负数的应用 【典例】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 【变式1】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 【变式3】若有理数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是（  ） A．12或8 B．10 C．8 D．10或8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出m、n的值，再根据m或n 作为腰进行分类讨论．由已知等式，结合非负数的性质求出m、n的值，再根据m、n分别为等腰三角形的腰，分类求解即可求出的周长． 【详解】解：， ， ， 当为腰时，三边长分别为：2、2、4，不符合三边关系； 当为腰时，三边长分别为：2、4、4，符合三边关系，则周长为：； 故选：B． 突破三 实数运算与新定义问题 【典例】对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【变式1】定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 【变式2】定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 【变式3】定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出生日期中的“日”，得到一个计算结果．只要学生把计算结果报出来，王老师就可以推测出学生的生日．聪明的言言经过思考，也发现了其中的数学奥秘，并能够准确地推测出生日．如果A同学报出来的计算结果是1042，那么言言推测出A同学的生日是 月 日． 【答案】 9 17 【分析】本题主要考查了新定义，设A同学的生日的月份为a，日期为b，则计算的结果为，可证明一定是100的倍数，且，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：设A同学的生日的月份为a，日期为b，则根据题意计算的结果为， ∵a为正整数， ∴为正整数， ∴一定是100的倍数， ∵，且b为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A同学的生日是9月17日， 故答案为：9；17． 【变式1】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 【变式2】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 1.（2025·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作米，那么跳1.7米应记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，理解基准值与正负数的关系是关键． 跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数．跳1.7米比基准少0.3米，应记作米． 【详解】解：∵跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数． ∴跳2.1米比基准多0.1米，记作米． 同理，跳1.7米比基准少（米）， ∴应记作米． 选项中只有D符合条件， 故选：D． 2.（2025·湖南·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后可进行排除选项． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选B． 3.（2025·湖南邵阳·模拟预测）实数2，0，，中，最大的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算，比较实数2、0、、的大小，需先明确各数的数值或近似值，再按大小关系排序即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4.（2025九年级·湖南·学业考试）4月9日，据猫眼专业版数据，《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．将数据15600000000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选：D． 6.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说法中：①一个有理数不是整数就是分数．②非负有理数不包括零．③有原点、正方向和单位长度的线段就是数轴．④倒数等于它本身的数只有两个．⑤只有负数的绝对值等于它的相反数．⑥符号相反的两个数互为相反数，其中错误的有 （填序号）． 【答案】②③⑤⑥ 【分析】根据有理数的分类，数轴的定义，倒数的性质，绝对值的性质，相反数的意义逐项分析判断即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，故①正确， ②非负有理数包括零，故②错误， ③规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴，故③错误， ④倒数等于它本身的数只有两个，分别为1和-1，故④正确， ⑤负数和0的绝对值等于它的相反数，故⑤错误 ⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故⑥错误 故答案为：②③⑤⑥ 【点睛】本题考查了有理数的分类，数轴的定义，倒数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，掌握相关定义、性质是解题的关键． 7.（2025·湖南邵阳·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，掌握一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离是解题关键．根据四个实数与原点的距离判断即可． 【详解】解：由数轴可知，实数离原点的距离最远， 绝对值最大的是d， 故选：D． 8.（2025·湖南长沙·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘法法则，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解∶原式 ． 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简，负整数指数幂，零指数幂以及特殊三角形的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 10.（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 11.（2025·娄底市娄星区校·三模联考）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12.（2025·娄底市娄星区校·三模联考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 13.（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 14.(2025·云南省·中考真题)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（    ） A．元 B．5元 C．元 D．10元 【答案】A 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 15.(2025·江西省·中考真题)在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 16.(2025·重庆市·中考真题)6的相反数为　　 A．-6 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 17.(2025·上海市·中考真题)据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 18.(2025·重庆市·中考真题)若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 19.(2025·四川省成都市·中考真题)任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 20．(2025·重庆市·中考真题)若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 21.(2025·云南省·中考真题)计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 1 / 10 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