精品解析：广东省中山市迪茵公学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二第一学期期中考试 数学试题 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 2. 直线的方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可. 【详解】直线的斜率为，所以方向向量是. 故选：A. 3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 5. 若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由光的反射性质确定反射光线的倾斜角，进而求斜率，应用点斜式写出解析式即可. 【详解】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点， 经轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率，且反射光线过点， 故反射光线所在的直线方程为． 故选：A 6. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 8. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共13分，在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求，金解选对的得6分，部分选对的筹旗分分，青选错的得6分． 9. 已知椭圆C：，则下列说法正确的是 （ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的短轴长为6 D. 椭圆C的一个焦点为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程可知，，，且焦点在y轴上，进而逐项判断即可. 【详解】由椭圆方程可得，，，且焦点在y轴上， 则椭圆C的长轴长为，故A正确； 椭圆C的离心率为，故B错误； 椭圆C的短轴长为，故C正确； 椭圆C的焦点为或，故D错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C、D的正误，求出结果即可. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当经过点和时，直线方程为，在轴和轴上截距都为0，所以B错误； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且，所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，圆的标准方程为，则圆心，半径， 圆的标准方程为，则圆心，半径， ，则圆外离，则两圆上点的最小距离，所以D正确； 故选：CD. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)．如图所示，正八面体，下列说法中正确的有 （ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成的角为60° D. 若点为棱上的动点，则直线与平面 所成的角的正弦值的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正八面体结构的性质，建立空间直角坐标系，进而写出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，通过向量方法证明面面平行和面面垂直，根据异面直线夹角和线面夹角的向量方法，求出结果，逐一判断各选项正误. 【详解】如图所示，连接，，连接，则以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设几何体棱长为2，则， 所以， 所以， 可知，所以， 又平面，平面，，所以平面， 平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，，所以平面平面，所以A正确； 可知， 设平面的法相量为， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法相量为， 可知， 设平面的法相量为， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法相量为， 可知，所以平面与平面不垂直，所以B错误； 因为， 设异面直线与所成的角为，则， 则，所以C正确； 可知， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点，所以设，， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 设， 令，，则， 可得， 当，即时，， 当时，，可知，即， 可知， 当时，， 所以直线与平面成的角的正弦值的范围为，所以D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中第14题第一空2分，第二空3分，共15分． 12. 两条平行直线与之间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】两条平行直线与之间的距离为. 故答案为： 13. 圆与圆的公共弦长为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的公共弦方程，转化为直线与圆相交弦长问题，由垂径定理，在弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故答案为：． 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则______． 【答案】 ①. 36 ②. 【解析】 【分析】根据题意，运用离心率的计算公式求解即可；联立直线和椭圆方程，求出A点的横纵坐标，进而得到，结合题意及，化简即可. 【详解】椭圆是"西瓜椭圆"， 离心率， 解得. 设， 联立消去并整理得 ， ，即， ， ，易知， 以线段为直径的圆经过点， ，， ，，又， 代入上式并化简得，解得. 故答案为：36， 四、解答题：本题共5 小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步顺． 15. （1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系可设直线方程为，代入点运算求解即可； （2）设圆心为，可得圆的方程为，代入点运算求解即可； （3）根据椭圆的定义可得，，进而可得，即可得椭圆方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线的方程为， 代入点可得，即， 所以所求直线方程为； （2）因为圆心在直线上，可设圆心为， 且半径为5，则圆的方程为， 代入点可得，整理可得，解得或， 所以圆的方程为或； （3）设两焦点分别是，点， 则，，可得， 即，，则， 且焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为. 16. 如图，直三棱柱中，，，棱，M，N分别是、的中点． （1）求的长； （2）求的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知， 所以， 则， 所以． 【解析】 【分析】（1）以点C作为坐标原点O，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用坐标运算计算的值； （3）通过计算·可得答案. 【小问1详解】 如图，以点C作为坐标原点O，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得， ∴. 【小问2详解】 由题意得， ∴ ∴ 【小问3详解】 略 17. 如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在x轴上是否存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由交点三角形周长得到，由离心率求得，从而求出，然后写出椭圆方程； （2）联立方程组并整理得到一元二次方程，由题意得判别式等于0建立等式，同时得到方程的解，从而得到点的坐标，令得到点的坐标，设，写出向量坐标，由建立等式，由等式恒成立得到，从而得证，并求得点的坐标. 【小问1详解】 由椭圆的定义可知的周长为，即， ，， 又∵，∴， 故椭圆C的方程为：， 【小问2详解】 将联立，消元可得， ∵动直线与椭圆有且只有一个公共点， ∴，∴， 此时，，∴ 由得， 假设在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点， 设，则，，， 整理得，对任意实数，恒成立，则， 故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 18. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 平面，平面，故； 为等边三角形，为中点，故； ，且平面，故平面. （2） （3） 假设在棱上存在点，使得平面，且设， 则， ，，，， 则，所以， 要使得平面，则，得， 故， 直线与平面的距离为 【解析】 【分析】（1）平面得到，，得到线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量为，平面的一个法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案. （3）假设存在，设，计算，根据平行得到，确定，再利用向量的距离公式计算得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则，故平面， 平面，故，. 为等边三角形，所以. 以为原点，以、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则，， 令，得平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为. . 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程． （1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出： ①过点，法向量为的平面的方程； ②平面的一般方程； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由） （2）设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程． 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）类比平面内直线的方程，写出平面的方程，并进行证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，类比椭圆，写出方程，化简后得到答案. 【小问1详解】 ①，理由如下： 设平面上除任意一点坐标为， 则，即， 又， 故过点，法向量为的平面的方程为； ②平面的一般方程为，理由如下： 由①可得， 变形为，令， 故平面的一般方程为； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为，理由如下： 由②可得平面的一般方程为， 由于方程在x，y，z轴上存在截距，且截距不为0，故， 变形为，故， 令， 故在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为； 【小问2详解】 以两个定点的中点为坐标原点，以所在直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，以与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，可得，， 所以， 移项得， 两边平方得， 即， 故，两边平方得， ，两边同除以得， ， 令，故曲面的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第一学期期中考试 数学试题 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 5. 若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共13分，在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求，金解选对的得6分，部分选对的筹旗分分，青选错的得6分． 9. 已知椭圆C：，则下列说法正确的是 （ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的短轴长为6 D. 椭圆C的一个焦点为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)．如图所示，正八面体，下列说法中正确的有 （ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成的角为60° D. 若点为棱上的动点，则直线与平面 所成的角的正弦值的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中第14题第一空2分，第二空3分，共15分． 12. 两条平行直线与之间的距离为_____. 13. 圆与圆的公共弦长为_____________. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则______． 四、解答题：本题共5 小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步顺． 15. （1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 16. 如图，直三棱柱中，，，棱，M，N分别是、的中点． （1）求的长； （2）求的值； （3）求证：． 17. 如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在x轴上是否存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由. 19. 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程． （1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出： ①过点，法向量为的平面的方程； ②平面的一般方程； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由） （2）设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $