21.2.3因式分解法同步训练2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2.3 因式分解法 同步训练 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（    ） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 4．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 6．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 7．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 二、填空题 8．方程的根是 ． 9．方程的根是 ． 10．等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 11．定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若，则 ． 三、解答题 12．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 14．下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 第三步 解得第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 任务三：解方程：； 15．（1）解方程： （2）计算题小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程． 解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得， 我们称小明这种解法为“平均数法”．下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：．， ∴．直接开平方并整理，得：，． 上述过程中的、、、表示的数分别为______，______，______，______． 学科网（北京）股份有限公司 《21.2.3 因式分解法 同步训练 2024-2025学年人教版数学九年级上册》参考答案 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴或, ∴方程的根为,． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查解一元二次方程，可通过因式分解法直接求解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 即解为 ， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的管家． 甲的解法错误，因为两边同时除以 可能漏解（当 时）；乙的解法正确，通过移项和因式分解得到所有解． 【详解】解：∵方程的解可能为或，甲同学两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解； 乙同学移项得， 移项，得， ， 或， 解得， ∴完全正确的是乙． 故选C． 4．B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 6．D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值． 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 7．D 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识．首先求出一元二次方程的解为或，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得或， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：D． 8．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 或 ， 故答案为：，． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解． 将看作一个整体，对原方程进行因式分解，进而求出方程的根． 【详解】解：， 提取公因式得：， 化简得：， 得：或， 解得：或． 故答案为：． 10． 10 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算．通过求解一元二次方程得到根，结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定有效边长，进而计算周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 或 ， 等腰三角形的边长是方程的解，因此边长可能为 2 或 4， 若腰长为 2，底边为 4，则 ，不满足三角形两边之和大于第三边，故无效， 若腰长为 4，底边为 2，则 ，，满足三角形三边关系， 因此三角形边长为 4、4、2，周长为 ， 故答案为：10． 11．或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，将2阶行列式化成一元二次方程是解题的关键． 根据2阶行列式的定义，将已知行列式表达式转化为关于x的一元二次方程，然后通过移项、化简和因式分解求解即可． 【详解】解：由2阶行列式的定义，得， ∵ ∴ 移项整理得，即， 因式分解得 所以或． 故答案为：或2． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据因式分解法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明： ， 所以方程总有两个实数根． （2）解：， 所以， ∵此方程恰有一个根小于， ， ． 14．任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的2没有变号； 任务二：，； 任务三：，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 任务三：利用因式分解法解答即可求解． 【详解】解：任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号； 任务二：， ， 即， 或， 解得，； 故答案为：，； 任务三：∵， ∴， ∴或， ∴，． 15．（1），（2）7、、、 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）根据“平均数法”解方程，与小明的解题过程进行对比，即可得、、、表示的数． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，或， ∴，． （2）解：， 原方程可变形得， ∴， ∴， ∴， 直接开平方并整理得，． ∴，，，． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $