2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册期末学情评估卷

一、选择题(每题3分，共30分) 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin B的值是(　　) A. B. C. D. 2．二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° (第3题) (第5题) (第6题) 4.已知二次函数y＝kx2－2x－1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k>－1 B．k<1 C．k≥－1且k≠0 D．k<1且k≠0 5．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BOD＝110°，则∠ACD的度数是(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0，3)，tan ∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为(　　) A．6　 B．6 　 C．12 　 D．8 7．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(　　) A．140 m B．160 m C．180 m D．200 m (第7题) 8．已知二次函数y＝a(x－m)2＋k(a，m，k为常数，且a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … －2 －1 1 3 5 6 … y … 5 0 －4 0 12 21 … 将该函数图象平移得到新抛物线y1＝a(x－m＋1)2＋k，若点(n，5)在新抛物线上，则n的值为(　　) A．－3 B．4 C．±4 D．±3 9．二次函数y＝ax2＋2ax＋b与一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2 ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为(　　) A．2 －2 B.－2 C.－1 D.－1 二、填空题(每题4分，共32分) 11. 请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：________________. 12．如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面0.8米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度i＝1∶10，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是____________米. 13.一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm.现将该三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为________cm.(结果保留π) (第12题) (第13题) 　　(第14题) (第15题) 14．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos C＝________. 15．如图，⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，⊙O的半径为6，则BF的长为________. 　　　　(第16题) (第17题) 16．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在O点正上方的A处发出一球，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间满足表达式y＝－2＋4，球网BC离点O的水平距离为5 m，甲发球过网后，乙在球场上N处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.2 m，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是________. 17.如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子ACDB分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC＝BD，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，分别交⊙O于点M，N，经测量OM＝AM＝4，则图中阴影部分的面积为________. 18．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a＋b＝0；②函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；③若关于x的方程ax2＋bx＋c＝a－1无实数根，则0<a<；④代数式<0.其中正确的是________．(填序号) 三、解答题(19题6分，20，21题每题8分，22题10分，23题12分，24题14分，共58分) 19．计算：6tan 230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°＋cos 60°. 20.已知抛物线y＝x2－4x＋3上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 m 0 3 … (1)m＝________；将其配方成y＝a(x－k)2＋h的形式为____________________． (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象． (3)填空：①当x<n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是__________； ②将原抛物线沿着x轴翻折所得的抛物线对应的函数表达式为________________. 21．如图，一艘轮船沿正东方向航行，上午8：00在A处观察到灯塔P在其北偏东60°的方向上，航行一段时间后，于上午10：00到达B处，在B处观察到灯塔P在其西北方向上，已知轮船航行速度为60海里/时，求轮船在航行过程中与灯塔P的最短距离．(精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73) 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为58，求tan ∠ADB的值. 23．如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图②)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角． (1)请仅就图②的情形证明∠APB>∠ADB； (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m．求塑像AB的高．(结果精确到0.1 m．参考数据：≈1.73) 24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC. (1)求抛物线的表达式． (2)如图①，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 答案 一、1.D　2.B　3.D　4.C　5.A　6.D 7．B　8.D　9.A　10.C 二、11.y＝2－3(答案不唯一) 12．8　13.8π　14.　15.6 16．5<n<7　17.16＋ 18．①②③④ 三、19.解：原式＝6×－×－2×＋＝2－－＋＝1－. 20．解：(1)－1；y＝(x－2)2－1 (2)如图所示，即为所求． (3)①n≤2　②y＝－x2＋4x－3 21．解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，PC的长为轮船在航行过程中与灯塔P的最短距离，设PC＝x海里， 在Rt△PAC中，∠PAC＝90°－60°＝30°， ∴tan 30°＝， ∴AC＝＝x(海里)， 在Rt△PBC中，∠PBC＝45°， ∴tan 45°＝，∴BC＝x海里， ∵AC＋BC＝AB， ∴x＋x＝2×60＝120，解得x≈44. 答：轮船在航行过程中与灯塔P的最短距离约为44海里． 22．(1)证明：连接OA，∵AG＝GD， ∴OF⊥AD.∴∠FGA＝90°. ∴∠AFG＋∠GAF＝90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠GAF＝∠BAF. ∴∠BAF＋∠AFG＝90°. ∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠OAF＋∠BAF＝∠OAB＝90°. 又∵OA为⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． (2)解：∵⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，AG＝GD， ∴OA：AG＝5：4. 设AG＝GD＝4a，∴OA＝5a. ∴OG＝＝3a. ∴FG＝OF－OG＝2a. ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，即∠DEA＝90°＝∠FGA. ∵∠DAE＝∠FAG， ∴∠ADB＝∠AFG. ∴tan ∠ADB＝tan ∠AFG＝＝＝2. 23．(1)证明：如图，设AD与⊙O相交于点M，连接BM，则∠AMB＝∠APB. ∵∠AMB>∠ADB， ∴∠APB>∠ADB. (2)解：由题意知∠AHP＝90°. 在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6 m，tan ∠APH＝， ∴AH＝PH·tan 60°＝6×＝6(m)． ∵∠APB＝30°， ∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°. 在Rt△BHP中，tan ∠BPH＝， ∴BH＝PH·tan 30°＝6×＝2(m)． ∴AB＝AH－BH＝6－2＝4≈4×1.73≈6.9. ∴塑像AB的高约为6.9 m. 24．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点， ∴y＝－. ∴y＝－x2＋2x＋3. (2)存在．∵y＝－x2＋2x＋3， ∴当x＝0时，y＝3， ∴C.∴OC＝3， ∵B，∴OB＝3＝OC. ∴∠OBC＝45°. 设直线BC的表达式为y＝kx＋3， 把B的坐标代入，得k＝－1， ∴y＝－x＋3. 如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D， 设P的坐标为， 则D的坐标为， ∴PD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m＝－2＋. ∵PQ⊥BC，∴∠PQD＝90°＝∠PEB. ∵∠PDQ＝∠BDE， ∴∠DPQ＝∠OBC＝45°. ∴PQ＝PD·cos 45°＝PD. ∴当PD最大时，PQ最大． ∵PD＝－2＋， ∴当m＝时，PD的长取得最大值，为，此时PQ最大，为. ∴P. (3)点M的横坐标xM的取值范围为≤xM≤0或3≤xM≤. 学科网（北京）股份有限公司 $